Séries de Fourier Convolution Transformée de Fourier et représentation spectrale Echantillonnage

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1 PLAN Signaux et systèmes Signaux analogiques et numériques Energie et puissance Systèmes Séries de Fourier Convolution Transformée de Fourier et représentation spectrale Echantillonnage Théorème de Shannon Transformée de Laplace Introduction à la théorie des distributions

2 Signaux et systèmes Signaux et Systèmes Traitement du signal - Conditionnement - Caractérisation - Détection et estimation - Filtrage - Modélisation et identification - Codage / décodage - Interprétation/décision Automatique - Commande des systèmes - Asservissement/correction

3 Représentation des signaux Un signal est une représentation physique d une information envoyée d une source vers un destinataire Exemple : signaux de la parole musique variation d une pression en fonction du temps une tension ou un courant lumière, longueur d onde

4 Représentations temporelles des signaux Un signal s écrit : = () Exemple : = sin =

5 Représentations temporelles des signaux Signal analogique : signal qui évolue continuellement dans le temps, le signal et donc représenté par une fonction () définie sur un intervalle. Chacun des point de cet intervalle représente un instant où le signal est défini, sa valeur à l instant est ()

6 Représentations temporelles des signaux Signal numérique : signal qui évolue de façon discontinue en ne prenant qu une suite des valeurs,,, le signal est représenté par la suite de ces valeurs aux différents instants, la valeur de la fonction à l instant est représentée par. Le plus souvent les instants sont équidistants (pas d échantillonnage). Le signal est donc représenté par :,

7 Représentations temporelles des signaux sont souvent considéré comme des réels, mais les physiciens trouvent souvent commode d utiliser des signaux à valeurs complexes. Lorsque varie continuellement, est qualifié d analogique (continu) Lorsque varie discontinûement, est qualifié de numérique (discret)

8 Système Un système est une région de l environnement qui est délimité par des frontières et qui interagit avec le milieu extérieur Signal d entrée Système Signal de sortie Un système est un dispositif physique ou abstrait qui transforme un ou plusieurs signaux en un ou plusieurs signaux Exemple : Radio, Microphone, appareil photographique, Encodeur MP3, Téléphone,

9 Modélisation des systèmes Un système statique non-linéaire = (,) Exemple : ()=sin () = () Un système dynamique non-linéaire Exemple : =,, +1 =,, = +sin 2()

10 Modélisation des systèmes Exemple de système non-linéaire (système chaotique) = 10( ) = 28 '() ' = 8 3 '()

11 Modélisation des systèmes Exemple de système non-linéaire (système chaotique) x 3 (k) x 2 (k) x 1 (k)

12 Système linéaire Un système linéaire est un système qui vérifie le principe de superposition () Système () () Système () ) () +* () ) () +* () Système

13 Système linéaire Un système linéaire est dit invariant dans le temps si un décalage dans le temps de l entrée entraine un décalage de la sortie de la même valeur () Système () (++) Système (++) Il y a invariance dans le temps. Le système est appelé linéaire invariant dans le temps (LTI)

14 Energie et puissance d un signal Une classification des signaux suivant leur énergie peut être faîte. L information que transmet un signal est portée par son énergie Définition : Soit un signal analogique, l énergie dissipée entre les instants, et, est / 0 - (). / 1 Soit un signal numérique, l énergie dissipée entre les instants et est 0 2 (3) 45 1

15 Energie et puissance d un signal Définition : Soit un signal analogique, la puissance dissipée entre les instants, et, est / ().,, / 1 Soit un signal numérique, la puissance dissipée entre les instants et est (3) 45 1

16 Energie et puissance d un signal () est appelée la puissance instantanée du signal () () désigne la valeur absolue ou le module de () selon que le signal est réel ou complexe. Définition : Un signal analogique est dit à énergie finie si 9: - (). = 6 < : Un signal numérique est dit à énergie finie si 9: 2 (3) = 6 < :

17 Energie et puissance d un signal Un signal ayant une énergie infinie peut avoir une puissance moyenne finie. Définition : Un signal analogique est dit de puissance moyenne finie si 9/ 1 2, - (). / a une limite P finie lorsque, tend vers + Un signal numérique est dit de puissance moyenne finie si (3) a une limite P finie lorsque tend vers +

18 Energie et puissance d un signal Tout signal d énergie finie admet une puissance moyenne nulle. Tout signal de puissance moyenne finie non nulle a une énergie totale infinie. Le cas particulier des signaux périodiques : / < ; =- (). = A cause de sa périodicité, l énergie totale dissipée sur n importe quelle période est aussi A de sorte que l énergie totale dissipée est infinie.

19 Energie et puissance d un signal Le plus simple des signaux périodique est : =;>(?) s appelle l élongation du signal ; est l élongation maximale ou amplitude, est la période de f A B = est la fréquence de f /? est la pulsation Lorsque le temps est mesuré en seconde la fréquence est mesurée en Hertz et la pulsation en radian par seconde La plupart des signaux déterministes sont des superpositions de signaux sinusoïdaux.

20 Séries et transformées de Fourier

21 Séries et transformées de Fourier Les séries et transformées de Fourier jouent un rôle très important en théorie du signal et dans quelques autres domaines de la Physique. Les transformées de Fourier permettent de résoudre certaines équations différentielles dont la résolution est notablement plus lourde par les approches classiques. La transformée de Fourier d un signal permet de mettre en évidence son spectre fréquentiel c est-à-dire de caractériser le contenu fréquentiel du signal.

22 Séries et transformées de Fourier Dans un premier temps nous verrons que toute fonction périodique peut s écrire sous certaines conditions sous la forme d une somme pondérée de fonctions exponentielles complexes ou sous forme d une somme pondérée de sinus et de cosinus. Dans un second temps, nous allons aborder les transformées de Fourier et nous étudierons ses propriétés et quelques applications.

23 Séries et transformées de Fourier Le développement en séries de Fourier est utiliser pour représenter une classe de fonctions périodiques. Définition : Une fonction () où C est dite périodique si elle vérifie : +, = (1) T est appelée période et est définie par le plus petit réel non nul vérifiant (1) Il est évident que tout multiple de T vérifie également (1) +, = et n La fonction de période T est dite T-périodique

24 Séries et transformées de Fourier Exemple : sin +4E = sin +2E = sin () F +4E = F +2E = F () On étudiera les fonction 2E-périodique. Les résultats se transposeront facilement aux fonctions quelconques de période T. En effet, soit une fonction f(t),-périodique. En utilisant le changement de variable : / et si on définit la fonction G() par : G =, 2E = () Alors la fonction G() est 2E-périodique, en effet on a : G +2E =, 2E (+2E) =, 2E +, = +, = = G()

25 Séries et transformées de Fourier Les coefficients de Fourier complexes sont donnés par : // F = 1, - ()HA. // Le développement en séries de Fourier est donné par : 5: = 2 F 5: HA Le coefficient F = correspond à la moyenne de ().

26 Séries et transformées de Fourier L expression : J = +2 J cos? +M sin (?) 5 S appelle une série de Fourier en sinus et cosinus de f(t). Les coefficients de Fourier sont donnés par : // J = = 1, - () //. // J = 2 - ()cos?, // // M = 2 - ()sin?, //..

27 Séries et transformées de Fourier Donc la série de Fourier associée à f(t) est donnée par : J = + 2 J cos? +M sin (?) 5 Deux questions se posent : 1. La série de Fourier associée à f(t) est-elle convergente? 2. En cas de convergence, peut-on dire que la série converge vers f(t)?

28 Séries et transformées de Fourier Définition : Une fonction f admet une discontinuité de première espèce en un point = si les limites à droite et à gauche de = existent. (Celle-ci ne sont pas forcément égales sauf en cas de continuité).

29 Séries et transformées de Fourier Théorème de Dirichlet : Soit :C C une fonction périodique de période, = 2E satisfaisant les conditions suivantes : A. Les discontinuités de si elles existent sont de première espèce et sont en nombre fini dans tout intervalle fini. B. admet en tout point une dérivée à droite et une dérivée à gauche. Alors la série de Fourier associée à est convergente et on a : : J = + 2 J cos? +M sin (?) 5 > F> = Q +0 +( 0) >.>F> 2

30 Séries et transformées de Fourier Propriétés : Si est paire : 1. J = / 2. M = 0 Si est impaire : // R ()cos? //. = S / // R ()cos? =. 1. J = 0 2. M = / // R sin (?) //. = S / // R ()sin? =.

31 Séries et transformées de Fourier Théorème de Parseval: Soit :C C une fonction périodique de période, = 2E telle que f et f soient continues par morceaux. Les coefficients de la série de Fourier en cosinus et sinus vérifient - (). = = : E 2 J = +E2 J +M 5

32 Séries et transformées de Fourier Le développement en séries de Fourier permet de représenter les fonctions périodiques au moyen de séries. On peut néanmoins chercher à mettre en œuvre des outils similaires pour les fonctions qui ne sont pas périodiques. Autrement dit, pour les fonctions périodiques de période infinie. Dans ce cas, on utilise la variable T = = 1/, On peut alors écrire le développement en série de Fourier : 5: = 2 F 5: H@U < La fonction f(t) n étant pas supposée périodique cela revient à dire que sa période est infinie, autrement dit on prend la limite T, ou de manière équivalente on considère des variations infimes de T : δt 0.

33 Séries et transformées de Fourier On aboutit donc à l intégrale : 9: = - V(T) H@U.T : On peut alors montrer qu on a la relation inverse 9: V(T) = - H@U. : Définition : Soit une fonction f(t) absolument intégrable sur R telle que f(t) et sa dérivée f (t) sont continues (éventuellement par morceaux) sur tout intervalle fini de R. La transformée de Fourier de f(t), notée F(f(t)) est définie par : 9: V T = V( ) = R H@U. :

34 Séries et transformées de Fourier Propriétés de la transformée de Fourier : La linéarité : V ) +*W = )V +*V(W ) Translation dans l espace de départ : V ( J) = H@UX V Dilatation ou contraction dans l espace : V ( ) = 1 V T Transformée de Fourier d une dérivée d une fonction : V.(). = 2>ETV T

35 Séries et transformées de Fourier Transformée de Fourier de la dérivée nième d une fonction : V. (). = 2>ET V T Théorème de Perseval: Soit f(t) une fonction à énergie finie et F(ν) sa transformée de Fourier, également à énergie finie. Les fonctions f(t) et F(ν) ont la même énergie : 9: - V(). : 9: = - V(T).T :

36 Exercices

37 Transformée de Laplace

38 Transformée de Laplace Pour comprendre, étudier le fonctionnement de nombreux systèmes, il est nécessaire de modéliser leurs comportements, c.-à-d. de décrire leur fonctionnement avec des principes plus ou moins simples : Exemples: Le niveau de l'eau est proportionnel au temps de remplissage, a débit constant. La tension aux bornes d'un condensateur est proportionnelle a la quantité de charge accumulée. La population de bactéries croit de 10% par jour. Modélisation =>(souvent) équation différentielle difficile à résoudre

39 Transformée de Laplace La transformée de Laplace sert à Résoudre des équations différentielles souvent difficiles. Représenter un système linéaire sous forme de fonction de transfert

40 Transformée de Laplace Définition : soit () une fonction définie pour 0. La transformée de Laplace notée V(3) ou,z[()] est définie par : 9: V 3 = - () 4. = 3 est une variable complexe. Elle est à comparer à la variable ]? de la transformée de Fourier. Exemple :,Z ^ = 1,Z = 4,Z _ = 4 0,Z X = 49X

41 Transformée de Laplace Propriétés : Linéarité : `a bc d +ef d = b`a c d +e`a f d = bg h +ei h Translation fréquentielle : g h b = `a[j bh c(d)] Translation temporelle : `a c d b = j bh g h Contraction (changement d échelle) : `a c bd = k b g h b

42 Propriétés : Transformée de Laplace Dérivation : `a lc d ld = hg(h) Dérivée m èoj `a lm c d ld m = h m g(h) Intégration : `a -c d ld = k h g(h)

43 Transformée de Laplace Théorème de la valeur initiale : la valeur initiale de la fonction () est donnée par : lim(). Cette valeur correspond à : lim V(3) = 4 9: lim() = lim 3V(3) = 4 9: Théorème de la valeur finale : la valeur initiale de la fonction () est donnée par : lim (). Cette valeur correspond à : limv(3) : 4 = lim () = lim 3V(3) : 4 =

44 Transformée de Laplace Définition : soit f() une fonction définie pour 0. Sa transformée de Laplace est V 3. La transformée de Laplace inverse de V(3) notée,z [V(3)] est définie par : = - V(3) 4. 9: =

45 Exercices