TD N O 8 ESPACES PROBABILISÉS FINIS CORRIGÉ

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1 Lycée Dupuy de Lôme 0/07 Mathématiques ECS TD N O ESPACES PROBABILISÉS FINIS CORRIGÉ Un jeu de cartes comporte cartes. On en choisit au hasard qui forment une main.. Quelle est la probabilité d obtenir exactement trois cœurs?. Quelle est la probabilité d obtenir au moins un cœur?. Quelle est la probabilité d obtenir deux carrés ensemble de quatre cartes de même hauteur? Modélisation de cette expérience. L univers Ω est l ensemble des mains possibles ensemble de cartes. Il contient éléments; L ensemble des événements est P Ω; On munit Ω de la probabilité uniforme P.. Soit A l événement : «la main contient exactement coeurs». PA CardA CardΩ Il nous faut donc déterminer CardA. Pour obtenir une main de A, on va : choisir un ensemble de coeurs parmi les disponibles. Il y a possibilités. puis, choisir un ensemble de cartes, qui ne sont pas des coeurs. Il y a Ceci nous donne CardA 4. PA 4 4 possibilités.. Soit B l événement : «la main contient au moins un coeur». Son événement contraire est B : «la main ne contient pas de coeur». C est l ensemble des mains de cartes parmi les 4 cartes qui ne sont pas des coeurs. On a alors Card B 4 4 donc P B. Ainsi PB P B 4. Soit C l événement : «la main contient deux carrés». Le jeu contient carrés ensemble de 4 cartes de même valeur. Pour choisir une main de C, on choisit donc un ensemble à deux éléments dans l ensemble des carrés l ordre des deux carrés ne compte pas. Il y a possibilités. On a donc CardC. Alors PC Une urne contient 9 boules numérotées de à 9. On tire deux boules. Déterminer la probabilité d obtenir deux boules portant des numéros de même parité dans les cas suivants :. On tire les deux boules simultanément.. On tire une boule et on la remet avant de tirer la deuxième boule.. Modélisation de l expérience. L univers Ω est l ensemble des parties à éléments de l ensemble E,9. Il contient 9 éléments; L ensemble des événements est P Ω ; On munit Ω de la probabilité uniforme P.

2 Lycée Dupuy de Lôme 0/07 Mathématiques ECS Soient : A l événement : «les deux boules portent des numéros impairs» A l événement : «les deux boules portent des numéros pairs» A l événement : «les deux boules portent des numéros de même parité». Alors, A est l ensemble des parties à éléments de {,,,7,9}. CardA 0, puis PA 0. De même, A est l ensemble des parties à éléments de {,4,,}. CardA 4, puis PA. Or, A A A et les événements A et A sont icompatibles. PA PA + PA 4 9. Modélisation de l expérience. L univers Ω est l ensemble des -listes de l ensemble E,9. Il contient 9 éléments ; L ensemble des événements est P Ω ; On munit Ω de la probabilité uniforme P. Comme précédemment, on définit : A l événement : «les deux boules portent des numéros impairs» A l événement : «les deux boules portent des numéros pairs» A l événement : «les deux boules portent des numéros de même parité». Alors, A est l ensemble des -listes de {,,,7,9}. CardA, puis PA. De même, A est l ensemble des -listes de {,4,,}. CardA 4, puis PA. Or, A A A et les événements A et A sont icompatibles. PA PA + PA 4 Remarque : la deuxième probabilité est supérieure à la première car on peut piocher deux fois le même nombre, des deux tirages étant de même parité. Si l on considère l expérience : deux tirages sans remise, alors le résultat est identique à l expérience car l ordre des tirages n est pas pris en compte dans notre événement A. Une urne contient 0 boules numérotées de à 0.. On en tire une. Quelle est la probabilité d obtenir un mutiple de ou de?. On en tire. Quelle est la probabilité que le produit des trois nombres obtenus soit pair?. On en tire. Quelle est la probabilité que la somme de deux des nombres soit égale au troisième?. L univers est Ω,0, munit de la probabilité uniforme. Soient A l événement : «obtenir un mutiple de» ; A l événement : «obtenir un mutiple de» ; A l événement : «obtenir un mutiple de ou de». A A A, donc PA PA + PA PA A. A {,,9,...,0} avec jusqu à CardA 40 et PA CardA CardΩ 40 0 A {,0,,...,0} avec jusqu à 0 4. CardA 4 et PA CardA CardΩ 4 0 A A {,0,...,0} multiples de avec jusqu à 0. CardA A et PA A 0 Ainsi, PA + 7

3 Lycée Dupuy de Lôme 0/07 Mathématiques ECS. Ici, Ω est l ensemble des parties à éléments de,0, munit de la probabilité uniforme. CardΩ 0 Soit B : «obtenir le produit des trois nombres est pair». Le produit sera pair si et seulement si l un au moins des nombres est pair. B est «n obtenir aucun nombre pair». Un résultat de B est une partie à éléments de l ensemble des nombres impairs entre et 0 ce qui fait 0 nombres, donc Card B 0. D où P B 0 0 Ainsi, PB Méthode : on peut aussi modéliser cette expérience par l univers Ω qui est l ensembles des - listes sans répétitions de,0. Dans ce cas, on considère que l on fait tirages successifs sans remise. Il y a toujours équiprobabilité. On a : CardΩ 0 9. Soit B : «obtenir le produit des trois nombres est pair» et B : «obtenir nombres impairs». Alors B est l ensemble des -listes sans répétition de {,,,...,9}, qui contient 0 éléments les nombres impairs. Card B 0 9. On retrouve alors 0 9 PB 0 9. Même univers Ω. Soit C : «la somme de deux des nombres est égale au troisième». Étant donné un tirage simultanné de trois boules, on peut ranger les trois nombres obtenus par ordre croissant : n < n < n. C {n,n,n,0 n < n < n et n + n n } Pour obtenir un élément de C, on choisit : le nombre n : entre et 9 car le plus petit des nombres est inférieur ou égal à 9, sinon n + n > 0. puis, on choisit n > n tel que n + n 0, donc n + n 0 n. Il y a 0 n n n nombre possibles, pour n donné. Des valeurs de n différentes donnant des résultats incompatibles, CardC 9 n n PC 4 Une urne U contient boules blanches et 4 noires, et une urne U contient 4 boules blanches et noires. On effectue n tirages avec n N dans les conditions suivantes : tous les tirages se font avec remise ; on effectue un premier tirage dans U ; si un tirage donne une boule blanche le tirage suivant se fait dans U, sinon il se fait dans U. On note p n la probabilité d obtenir une boule blanche au n-ième tirage.. Déterminer p n+ en fonction de p n.. En déduire la valeur de p n pour tout n. 0. Soient A n : «n-ième le tirage s effectue dans l urne U» et B n : «on tire une boule blanche au n-ième tirage». On a p n PB n et p PB 7 car le premier tirage se fait dans U. Soit n N. On cherche à exprimer PB n+. Le n + -ième tirage s effectue soit dans U soit dans U. B n+ B n+ A n+ Bn+ Ā n+ Or, si l on tire dans U ceci signifie que le tirage précédent était blanc : A n+ B n

4 Lycée Dupuy de Lôme 0/07 Mathématiques ECS On obtient donc : B n+ B n+ B n Bn+ B n. Or, P B n+ B n PBn P Bn B n+ p n P Bn B n+. Calculons P Bn B n+. Supposons que l événement B n est réalisé. On réalise donc le n + -ième tirage dans l urne U, qui contient boules blanches et 4 boules noires. P Bn B n+ 7. P B n+ B n 7 p n De même, P B n+ B n P B n P B n B n+ p n P B n B n+. Calculons P B n B n+. Supposons que l événement B n est réalisé. On réalise donc le n + -ième tirage dans l urne U, qui contient 4 boules blanches et boules noires. P B n B n P B n+ B n 4 7 p n Les évévenements B n+ B n et B n+ B n étant incompatibles, on obtient PB n+ P B n+ B n + P Bn+ B n 7 p n p n. La suite p n est arithmético-géométrique. p n+ 7 p n x 7 x x Soit, pour tout n N, u n p n. u n+ p n+ 7 p n p n + 4 p n 7 7 u n la suite u n est géomérique de raison 7 et de premier terme u p 4. n, u n 4 7 n, p n n n + 7 n 7. Combien de fois faut-il lancer un dé équilibré pour avoir au moins une chance sur deux d obtenir un «six»?. Même question avec deux dés pour obtenir un «double-six».. Soit n N. On considère l expérience suivante : on lance n fois de suite un dé équilibré à six faces. L univers est Ω, n muni de la probabilité uniforme P. Soit A l événement «obtenir au moins une fois». Son événement contraire est Ā : «Ne jamais obtenir». Ā est l ensemble des n-listes de,, c est à dire, n On a : CardĀ n et CardΩ n donc Ainsi PĀ n n n. n PA. 4

5 Lycée Dupuy de Lôme 0/07 Mathématiques ECS On veut trouver le plus petit entier n tel que PA. Résolvons donc cette inéquation. PA n n n ln ln n ln ln, car ln est strictement croissante et ln < 0. On trouve qu il faut lancer le dé au moins 4 fois.. Soit n N. On considère l expérience suivante : on lance n fois de suite deux dés équilibrés à six faces. L univers est Ω,, n muni de la probabilité uniforme P. Soit A l événement «obtenir au moins une fois,». Son événement contraire est Ā : «Ne jamais obtenir,». Ā est l ensemble des n-listes de,, \ {,}, qui contient éléments. On a : CardĀ n et CardΩ n donc PĀ n n n. Ainsi n PA. On veut trouver le plus petit entier n tel que PA. Résolvons donc cette inéquation. PA n n n ln ln n ln ln 4, car ln est strictement croissante et ln < 0. On trouve qu il faut lancer le dé au moins fois. Un groupe de candidats se présente à un oral où sont posées questions. Le premier candidat tire au hasard une des questions et cette question n est pas posée aux candidats suivants. Le deuxième candidat tire l une des 4 questions restantes etc. Le cinquième candidat doit répondre à l unique question restante. Vous êtes l un des candidats et vous avez fait l impasse sur l une des questions. On vous permet de choisir de passer le premier, deuxième,...ou le cinquième. Que choisissez-vous? Soit A i :«le candidat n o i choisit la mauvaise question«. PA car il tire une question au hasard, dans un lot de. PA PĀ A PĀ P Ā A 4 4 De même, en utilisant la formule des probabilités composées, on calcule PA, PA 4 et PA. On trouve, aucune place n est à privilégier. i,pa i 7 Un lot de 00 dés contient dés pipés tels que la probabilité d apparition d un est de. On prend un dé au hasard, on le jette, on obtient un. Déterminer la probabilité que le dé soit pipé. Soit T l événement : «le dé est truqué». Soit A l événement «obtenir». On sait que PT 00 4 car dés sont truqués sur les 00. De plus, P T A dé truqué et P T A dé équilibré. On cherche P A T. D après la deuxième formule de Bayes, le système T, T étant complet P A T PT P T A PT P T A + P T P T A Une urne contient boules blanches et deux boules noires. On tire sans remise et successivement boules de cette urne. Quelle est la probabilité que la troisième boule du tirage soit noire?.

6 Lycée Dupuy de Lôme 0/07 Mathématiques ECS Soit N i l événement :«on tire une boule noire au i -ième tirage». On cherche PN. Première rédaction : Il y a seulement deux boules noire donc N N N. On a alors N N N N N N N N N N. Or, les événements N N N, N N N et N N N sont deux à deux incompatibles. PN P N N N + PN N N + P N N N. Calculons les trois termes avec la formule des probabilités composées. P N N N P N P N N P N N N. Or, P N car il y a boules blanches et noires ; 0 P N N car il y a 7 boules blanches sur noires ; 9 P N N N car il y a 7 boules blanches sur noire. De même, et P N N N PN N N P N N N PN 9 4 Deuxième rédaction : Les événements N N, N N, N N, N N forment un système complet d événements. D après la formule des probabilités totales PN PN N P N N N + P N N P N N N + PN N P N N N + P N N P N N N 0 + P N P N N P N N N + PN P N N P N N N + P N P N N P N N N Comme précédemment, on trouve PN 9 Un laboratoire fabrique un alcootest et les essais montrent que : 9 fois sur 00, l alcootest a donné un résultat positif alors que la personne était en état d ébriété; 97 fois sur 00, l alcootest a donné un résultat négatif alors que la personne n était pas en état d ébriété. On teste cet appareil sur une population dont % sont en état d ébriété.. On essaie l appareil sur une personne, et on constate que le résultat est positif. Quelle est la probabilité que la personne soit en fait en état d ébriété?. On essaie l appareil sur une personne, et on constate que le résultat est négatif. Quelle est la probabilité que la personne soit en fait en état d ébriété?. Déterminer la probabilité que le résultat donné par l appareil soit faux. Notons N : «le test est négatif»et E :«la personne est en état d ébriété». On sait que : PE 9 donc PĒ ; P E N 9 00, donc P E N 00 ; P 97 Ē N 00, donc P Ē N 00.. On cherche P N E. D après la formule de Bayes, P N E PEP E N P N Or, d après la formule des probabilités totales, avec le système complet E,Ē, P N PEP E N + PĒPĒ N P N E , % 00 0,047

7 Lycée Dupuy de Lôme 0/07 Mathématiques ECS. On cherche P N E. D après la formule de Bayes, P N E PEP E N PN , ,7%. On cherche la probabilité de F E N Ē N. Les deux événements de cette union étant incompatibles, on obtient : PF PE N + PĒ N PEP E N + PĒPĒ N ,00,% 00 0 Un système complexe est formé de trois machines M, M et M qui peuvent indépendamment tomber en panne dont les probabilités de panne sont respectivement : %, % et %. Le système tombe en panne dès que l une au moins des trois machines est en panne.. Déterminer la probabilité de panne du système.. Le système étant tombé en panne, quelle est la probabilité que la machine M soit tombée en panne? Soit M i : «la machine M i tombe en panne». Les événements M, M, M sont mutuellement indépendants.. Soit A :«le système tombe en panne». On a A M M M, donc Ā M M M. Or, M, M, M sont également mutuellement indépendants propriété du cours, donc PĀ P M P M P M On peut également utiliser la formule du crible.. On cherche P A M. D après la formule de Bayes PA PĀ ,77% P A M PM P M A PA 0,0 PA 7% 7