N.MOLINARI. La statistique. Schéma général de la statistique. La variabilité. 2 ème cycle DCEM1 MB6 Année Universitaire

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1 Biostatistique MB Nicolas Molinari La statistique Ce document doit obligatoirement être associé aux notes de cours pour représenter un support de travail complet. La statistique ti ti est un outil qui permet : d organiser, de décrire, d estimer, de comparer, de prédire et de trouver des liens de causalité. La variabilité Schéma général de la statistique Qu est ce que la variabilité ab? > de pages Web «la variabilité du temps et du climat», «la variabilité cardiaque au cours des cycles de sommeil chez l homme», «la variabilité génétique», «la variabilité des forces de réaction au sol», «Modèles de la variabilité», Pop 1 Pop 2 Pop P D où vient la variabilité? Analytique, biologique, échantillonnage, Qu est ce qui est variable? Une mesure, une variable, une variable aléatoire Échant. 1 Échant. 2 Échant. P

2 Rappels de probabilité La probabilité est une fonction mathématique qui associe à chaque événement E un nombre réel compris entre 0 et 1! Axiome et propriétés Indépendance Probabilités combinatoires Probabilité conditionnelles Théorème de Bayes Lois de probabilité Une loi de probabilité ou distribution a commencé par décrire les répartitions typiques des fréquences d'apparition des résultats d'un phénomène aléatoire. On associe naturellement une loi de probabilité à une variable aléatoire pour décrire la répartition des valeurs qu'elle peut prendre. Parmi l'ensemble des lois de probabilités possibles, on distingue un certain nombre de familles usuelles qui correspondent à des phénomènes aléatoires simples : lancer de dés, jeu de pile ou face, erreurs de mesures, etc. Les types de variables Variables qualitatives VA qualitative : variables ab à k modalités VA censurée : délais de survenue d un événement VA quantitatives : discrètes, continues Loi de Bernouilli, Loi binomiale, Loi multinomiale,

3 Variables quantitatives Statistiques descriptives Les lois normales, La loi normale centrée-réduite. Autres lois (temps d attente, uniforme, ) Population : grande taille, distribution théorique, paramètres théoriques. Échantillon : ensemble fini, effectif observé, distribution observée, paramètres observés. Différents types de variables. Les outils descriptifs Estimation Représentation brute des données Présentation par tableaux numériques (classe-effectif) Représentations graphiques Les outils numériques Moyenne observé et espérance mathématique Variance observée et variance théorique Indicateurs de tendance centrale (médiane, mode) Indicateurs de dispersion Échantillon représentatif Définition et propriétés des estimateurs : Estimateur sans biais, Estimateur convergent. Attention au type de variable!!

4 Estimation ponctuelle Estimation par intervalle Estimationponctuelled uneespéranceou une espérance ou d une probabilité Estimation ponctuelle d une variance Estimation ponctuelle d une covariance ou d un coefficient de corrélation La qualité d un estimateur peut être mesurée en évaluant de manière probabiliste les écarts possible entre l estimation et la vraie valeur du paramètre estimé. P( -c< < +c)=1- Il y a une probabilité de 1- pour que l intervalle [ -c, +c] recouvre la vraie valeur. L intervalle [ -c, +c] s appelle l Intervalle de Confiance de de niveau 1-. IC d une proportion et d une moyenne Tests d hypothèses Estimation par intervalle d une proportion Estimation par intervalle d une moyenne Influence de n et de sur les IC Un test d hypothèse est une règle permettant de décider, sur la vue d un échantillon d observations, si l on doit rejeter ou non une hypothèse statistique, c est-à-dire une hypothèse portant sur la nature d une ou plusieurs distributions, ou sur les paramètres qui leur sont attachés. Cette décision est toujours un pari et comporte toujours des Cette décision est toujours un pari et comporte toujours des risques d erreur.

5 Quelles hypothèses? Il existe plusieurs types d hypothèses. Par exemple, si l on veut comparer une espérance m avec une valeur théorique m0, on peut faire des hypothèses telles que m=m0, m m0, m<m0, m-m0 <A, La première s appelle hypothèse simple, les autres hypothèses composées. Les techniques statistiques ne permettent que de tester des hypothèses simples H0 contre l hypothèse composée complémentaire H1. L hypothèse alternative H1 peut être bilatérale ou unilatérale. Quels risques? décision réalité Non-rejet de H0 H0 vraie correct H0 fausse Manque de puissance (risque de 2ème espèce) Rejet de Rejet à tort correct H0 (risque de première espèce) Les étapes d un test statistique Poser le problème en termes cliniques Poser le problème en terme statistique (échantillon, type de variables, type de test) Formuler les hypothèses (H0 et H1) Choisir le risque de première espèce Vérifier les conditions d applicabilité du test Faire les calculs à partir des données Comparer à la table statistique et en déduire le «p» Conclure sur la signification statistique Rechercher les biais éventuels Conclure sur la signification clinique Comparaison de fréquences Comparaison d une fréquence observée à une fréquence théorique Comparaison de deux fréquences observées Test de l écart réduit, test du Chi-deux de Pearson

6 Test de l écart réduit La fréquence f obs =p observée est un estimateur de la fé fréquence théorique f th =P. f obs est une variable aléatoire. Si np>=5 et n(1-p)>=5, f obs suit une loi N(P, [P(1-P)/n]) Réaliser un test en suivant les étapes. Pour la comparaison de deux fréquences observées : Si p*n1>=5 et (1-p)n1>=5 et p*n2>=5 et (1-p)n2>=5, avec p=(n1p1+n2p2)/(n1+n2), alors = p1-p2 /s* suit une loi N(0,1), où s*= [p(1-p)] [1/n1+1/n2] Test du Chi-deux de Pearson Le test de l écart réduit pour 2 échantillons maximum, une variable binaire. Test du chi-2 : 2 échantillons ou plus, 2 modalités ou plus. Comparaison de f obs =p observée à la fréquence théorique f th =P. Construire le tableau des «observés»etdes«théoriques théoriques». Calculer la distance entre les deux tableaux : ²= (Oi-Ci)²/Ci ² est une variable aléatoire qui sous H0 et si Ci>=5 suit une loi du chi-2 à (K-1) ddl. Test du Chi-deux (suite) Test d indépendance entre deux variables qualitatives Construire le tableau des «observés» et des «théoriques». Calculer la distance entre les deux tableaux : ²= (Oi-Ci)²/Ci ² est une variable aléatoire qui sous H0 et si Ci>=5suit une loi du chi-2 à (K-1)(L-1) ddl. Réaliser un test en suivant les étapes. Le calcul du Nombre du Sujets Nécessaires (NSN) Le but du calcul du NSN est de minimiser les risques d erreur (de première et de deuxième espèce) lors de la décision statistique. Il faut : -supposer une différence à mettre en évidence, -poser le risque,, -poser la puissance recherchée, -décider de la forme de l hypothèse alternative (uni ou bilatérale), -faire des hypothèses sur la variance des paramètres et les taux de base.