Les implications dans le raisonnement mathématique

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1 I Les implications dans le raisonnement mathématique I.1 L implication - L équivalence 1 (De la logique en français) Une réunion de cosmonautes du monde entier a lieu à Paris. Les cosmonautes américains portent tous une chemise rouge. 1. À l aéroport on voit quelqu un qui porte une chemise blanche. Est-il cosmonaute américain? 2. À côté de la personne précédente, on voit quelqu un qui porte une chemise rouge. Est-il cosmonaute américain? 3. Le haut-parleur annonce l arrivée d un cosmonaute russe. Porte-t-il une chemise rouge? 4. Dans le hall, on voit un cosmonaute américain qui porte un manteau. Porte-t-il une chemise rouge? Définition 1 La proposition «si A, alors B» est une implication. On dit aussi «A implique B» et on le note «A B». A représente l hypothèse et B la conclusion. Exemple : si la personne est un cosmonaute américain, alors elle porte une chemise rouge. Pour démontrer que l implication «A B» est vraie, on suppose que A est vraie et on montre que B est alors vraie. La proposition réciproque de «si A, alors B» est «si B, alors A». La réciproque d une implication vraie peut être vraie ou fausse. Exemple : si la personne porte une chemise rouge, alors c est un cosmonaute américain 2 (Géométrie : fabrique d implications) 1. Étudier si les affirmations suivantes sont vraies. Justifier vos réponses. (a) Si K est le milieu de [AB], alors KA = KB. (b) Si KA = KB, alors K est le milieu de [AB]. (c) Si K est le milieu de [AB], alors KA + KB = AB. (d) Si KA + KB = AB alors K est le milieu de [AB]. (e) Si K appartient à [AB], alors KA + KB = AB. (f) Si KA + KB = AB, alors K appartient à [AB]. 2. On donne ci-dessous des phrases ou des égalités. M est l image de M IM = IM par la symétrie de centre I M appartient à (IM) I est le milieu de [MM ] I appartient à [MM ] IM + IM = MM Écrire toutes les implications vraies. -1-

2 Définition 2 Si une proposition et sa réciproque sont vraies, on dit qu elles forment une équivalence. Par exemple, la proposition «si les côtés d un quadrilatère sont parallèles deux à deux, alors ce quadrilatère est un parallélogramme» et sa réciproque «si un quadrilatère est parallélogramme, alors ses côtés sont parallèles deux à deux» sont vraies. Elles forment donc une équivalence et on peut écrire «un quadrilatère est un parallélogramme si, et seulement si, ses côtés sont parallèles deux à deux.» 3 (Expression algébrique et notions sur les fonctions) 1. Résoudre l équation (x 3) 2 = (x + 9) Voici quelques propositions, où A et B sont des nombres réels : (P 1) : A 2 = B 2 (P 2) : A = B (P 3) : A = B (P 4) : (A + B)(A B) = 0 (P 5) : A = B ou A = B (P 6) : A = 0 ou B = 0 (a) Quelles sont les implications du type (P 1)... vraies pour tous A et B réels? (b) Parmi les propositions (P 2) à (P 6), identifier celles qui impliquent la proposition (P 1) (pour tous A et B réels). (c) Quelles sont les propositions équivalentes (pour tous A et B réels)? 4 (Géométrie vectorielle) Dans chaque cas, dire si l implication «H implique H» est vraie puis si l implication «H implique H» est vraie puis donner les propositions équivalentes. 1. H : «C est l image du point A par la translation de vecteur BD» H : «ABCD est un parallélogramme de centre O» 2. H : «ABCD est un parallélogramme de centre O» H : «O est le milieu de [AC]» 3. H : «EF ( 3 4 )» H : «E(0; 2) et F (3; 6)» 4. H : «Les points I, J et K sont alignés» H : «IJ = IK» I.2 Conditions nécessaires et suffisantes 5 (Inéquations et carrés) 1. On s intéresse à la condition x 2 > 4. On dresse une liste de 5 propositions : (1) x > 3 (2) x > 1, 9 (3) x < 10 (4) x < 3 ou x > 3 (5) x < 2 ou x > 2. (a) L implication (1) x 2 > 4 est-elle vraie? (b) Dresser la liste des implications du type x 2 > 4 qui sont vraies. (c) Dresser le liste des implications du type x 2 > 4... qui sont vraies. 2. Conditions nécessaires - suffisantes : Ex : x > 3 implique x 2 > 4 : -2-

3 (a) On dit que x > 3 est une condition suffisante pour que x 2 > 4. Cette condition n est pas nécessaire : par exemple x > 2, 5 convient aussi. Indiquer si chacune des conditions est suffisante pour que x 2 > 4 : x > 100 x > 10 6 x > 1, 9 x < 2 x < 2 ou x > 2 x < 10 x < 2, 1 x < 3 ou x > 3 x < 0 x < 1 (b) Parmi celles qui sont suffisantes, indiquer celle qui est également nécessaire. 6 (Géométrie) Sur un forum mathématique, P31415 a posé la question suivante : «Pour demain, je dois faire un exercice où on me demande de démontrer que ABCD est un parallélogramme, je ne sais pas comment m y prendre.» Prof répond : «Connais-tu une condition suffisante pour que ABCD soit un parallélogramme?» P31415 : «Non!» M271 : «AB = DC» X007 : «AB = CD» Z97910 : «AB et DC colinéaires» GNI : «(AB) et (BC) parallèles» E=MC 2 : «AD = BC» A000 : «AC = AB + AD» 1. (a) Parmi ces conditions, certaines sont effectivement suffisantes. Lesquelles? (b) En proposer d autres. 2. (a) Parmi les conditions ci-dessus certaines ne sont que nécessaires. Lesquelles? (b) En proposer d autres. II Les quantificateurs II.1 Quantificateurs et égalités - Quantificateurs et implications 7 Soit f la fonction définie sur R par : f(x) = x 2 + 4x 9 1. Montrer que f(x) = (x + 2) Résoudre f(x) = 4x Dans le domaine géométrique : A et B sont deux points distincts du plan. Dans quel cas (conditions sur le point M) ces égalités sont-elles vraies? AM + MB = AB MA + MB = 0 2. Dans le domaine algébrique : AM + MB = 0 Ces égalités et inégalités sont-elles vraies ou fausses? (x + 1) 2 = x 2 + 2x + 1 (x + 1) 2 = x x + 3 > 4x 5 x 2 < x + 3 x > 0 x 2 0 x 2 > 3 x 2 x 2-3-

4 2 nde Raisonnement logique D. Vavasseur Définition 3 On considère les deux égalités suivantes dans lesquelles x est un nombre réel (x + 1) 2 = x 2 + 2x + 1 (1) (x + 1) 2 = x (2) L égalité (1) est connue depuis la 3 ème comme une identité remarquable, on peut remarquer que pour tout réel x l égalité (1) est vérifiée, dans ce cas on écrit : «pour tout x appartenant à R, (x + 1) 2 = x 2 + 2x + 1» «Pour tout» est appelé quantificateur universel. On peut penser que l égalité (2) est fausse. Et pourtant pour x = 0, elle est vérifiée. Peut-on dire que l égalité (2) est vraie? Non, car pour x = 1, cette égalité n est pas vérifiée. La phrase est vraie si on écrit : «il existe un réel x tel que (x + 1) 2 = x 2 + 1». «Il existe» est appelé quantificateur existentiel. Remarque «il existe» signifie «il existe au moins un» ; «on peut choisir» peut remplacer «il existe» «pour tout» se dit aussi «quel que soit» ou «étant donné» 9 1. Vrai ou faux? (a) Pour tout x R, il existe y R tel que y > x. (b) Pour tout x R et pour tout y R, on a y > x. (c) Pour tout x R et pour tout y R, on a y 2 > x. (d) Pour tout x R et pour tout y R, on a y 2 x. (e) Il existe x R tel que pour tout y R on ait y 2 x 2. (f) Pour tout x R, on a y 2 pour tout y R. 2. En utilisant la représentation graphique de la fonction ci-dessous, recopier et compléter les phrases suivantes en utilisant soit «pour tout... on a...», soit «il existe (au moins) un... tel que...». ¾ ½ ¹¾ ¹½ ½ ¾ ¹½ (a)... réel x... f(x) > 0 (b)... réel x... f(x) < 2 (c)... réel x... f(x) = 0 (d)... x [1; 2]... f(x) 0 (e)... réel x... f(x) = 1 (f)... réel x... f(x) >

5 II.2 La négation d une propriété avec quantificateurs Donner la négation des phrases suivantes : (a) Tous les élèves sont présents. (b) Sonia a raté au moins un cours cette semaine. (c) Dorian prend son iphone ou son ipod. (d) Pour tout x réel, f(x) > Donner l évènement contraire des évènements suivants : (a) Tristan gagne au plus 1500 euros. (b) Sandrine veut une maison qui est de plain pied et qui fait plus de 160 m 2. (c) Tous les enfants de Bruno mesurent plus de 1,80 m. III III.1 Les ensembles et leurs relations Ensembles de nombres Les nombres sont connus depuis l antiquité, mais il a fallu attendre le XIX e siècle avec des mathématiciens comme Cantor pour établir une classification des nombres : N est l ensemble des entiers naturels (1; 2; 10; 1024;... ). Z est l ensemble des entiers relatifs (1; 3; 5; 124; 2048;... ). D est l ensemble des nombres décimaux, qui ont un nombre fini de chiffres après la virgule (0, 5; 12; 0, 458; 1 5 ;... ). Q est l ensemble des nombres rationnels, qui sont de la forme a b ( 1 3 ; 5, 4; 26; 3 7 ; 10 4 ;... ). R est l ensemble des nombres réels ( 4 3 ; 6; π; 2; 0, 512;... ). avec a Z et b Z III.2 Ensembles, sous-ensembles, appartenance, inclusion Définition 4 Appartenance : e E signifie que l élément e est un élément de E. e E signifie que l élément e n est pas un élément de E. Inclusion : A B signifie que tous les éléments de l ensemble A appartiennent à l ensemble B. A B signifie qu il existe un élément de l ensemble A qui n appartient pas à l ensemble B. et se lisent «appartient à» et «n appartient pas à». et se lisent «est inclus dans» et «n est pas inclus dans». Propriété des ensembles de nombres : N Z D Q R. -5-

6 11 1. Citer : (a) un nombre appartenant à R mais pas à Q ; (b) un nombre appartenant à Q mais pas à D ; (c) un nombre appartenant à D mais pas à Z ; (d) un nombre appartenant à Z mais pas à N ; 2. Compléter les phrases mathématiques avec les symboles et [ 2; 1[ ; 4... [ 3; 4[ ; 2π... ]7; 8[ ; [ 1; 1 6 [ ; ] 5; 4[ Compléter les expressions suivantes à l aide des symboles ; ; ;. 1 N... Z ; R... N ; { 2}... R ; N ; π... N ;... D ; { 2; 1; 6}... ] 1; + [ ; 3 [1; 2]... ] ; 5[ ; [1; 2]... ] ; 2[ ; 0... ] 1; 4[ [1; + [ ; ] 0, 6; + [... ] 1; + [. 12 Compléter à l aide des symboles = ; ; ; ;. 1. A = { ; ; } et B = { ; ; ; }... A ; { ; ; ; }... A B ; { ; ; }... B ; { }... A B ;... A B ; { ; }... A B ;... A B ; { ; ; ; }... A B ; { ; ; ; ; }... A B. 2. A et B sont deux ensembles distincts non vides, tels que A B ; A B et B A. (On pourra s aider d un schéma.) A... A B ; A B... A B ; A B... B A ; A... A B ; A B... B. III.3 Intersection, réunion, et/ou, contraire Compléter les phrases suivantes à l aide de «et» ou «ou». (a) xy = 0 équivaut à x = 0... y = 0. (b) xy 0 équivaut à x 0... y 0. (c) x y = 0 équivaut à x = 0... y 0. (d) 5, 0 et 5 sont des entiers naturels... des entiers relatifs. (e) (x + 3)(2x 3) = 0 pour x + 3 = x 3 = 0. (f) L intervalle ]7; 10[ contient les réels plus grands que 7... plus petits que 10. (g) R est l ensemble des réels tels que x 3... x > 0. (h) 2, 8, 6, 10, 15, 20 sont des entiers pairs... supérieurs à Déterminer les intervalles suivants (on pourra s aider d une droite graduée) : (a) les réels supérieurs à 10 ou inférieurs ou égaux à 12 ; (b) les réels compris entre -5 et 7 ou supérieurs ou égaux à 3 ; (c) les réels positifs ou nuls et inférieurs ou égaux à 25 ; (d) les réels supérieurs à 6 ou négatifs ou nuls. -6-