Ph. Loubaton. Série et Transformée de Fourier.

Transcription

1 Série et Transformée de Fourier. ilière Réseau 1/10

2 Fonction périodique. : x(t + T ) = x(t) x(t) Série de Fourier I T T T T t ilière Réseau /10

3 Exemple fondamental 1: Les sinusoides. x(t) = C cos(π t T + φ) Série de Fourier II 1 T= Cas où T = ilière Réseau 3/10

4 Série de Fourier III Cas où T = 5 1 T= ilière Réseau 4/10

5 Série de Fourier IV f 0 = 1 T : fréquence de la sinusoide = nombre de périodes par seconde. f 0 petit T grand x(t) varie lentement f 0 grand T petit x(t) varie vite En audio, sons fondamentaux = sinusoides. Chaque note correspond à une fréquence. f 0 petit son grave, f 0 grand son aigu ilière Réseau 5/10

6 Série de Fourier V Exemple fondamental : les sommes de sinusoides de fréquences harmoniques. x(t) = C 0 + C 1 cos(π t T + φ 1) + C cos(π t T/ + φ ) +... C N cos(π t T/N + φ N ) Si f 0 = 1 T : x(t) = C 0 + C 1 cos(πf 0 t + φ 1 ) + C cos(πf 0 t + φ ) +... C N cos(πnf 0 t + φ N ). ilière Réseau 6/10

7 Somme de 5 sinusoides de fréquences 1,,3,4,5 et de la constante ilière Réseau 7/10

8 Série de Fourier VI Théorème fondamental. Soit x(t) une fonction périodique de période T. Alors, sous réserve de qq conditions : x(t) = C 0 +C 1 cos(πf 0 t+φ 1 )+C cos(πf 0 t+φ )+... C N cos(πnf 0 t+φ N )+... où f 0 = 1 T. Autres formes du résultat. : x(t) = a 0 + n=1 a n cos πnf 0 t + b n sin πnf 0 t x(t) = n Z X ne iπnf 0t f 0 est appelée la fréquence fondamentale, et les multiples de f 0 les harmoniques. En pratique, seul un nombre fini de coefficients sont numériquement non nuls. Connaitre la valeur de ces coefficients donne des indications sur la nature du signal. ilière Réseau 8/10

9 Relations entre les diverses formes. Lien X (C, φ) Série de Fourier VII X 0 = C 0, X n = C ne iφ n si n 1, X n = X n = C ne iφn si n 1 Lien X (a, b) X 0 = a 0, X n = a n+ib n si n 1, X n = a n ib n si n 1. ilière Réseau 9/10

10 Série de Fourier VIII Valeurs des coefficients X n en fonction de x(t). Valeur de X n X n = 1 T α+t α x(t)e iπn t T dt Valeurs des coefficients a n et b n en fonction de x(t) a n = T α+t α x(t) cos(πn t T )dt et b n = T α+t α x(t) sin(πn t T )dt ilière Réseau 10/10

11 Série de Fourier IX Petit exemple numérique. x(t) = 1 t sur [ 1, 1], périodique de période. x(t) = 1 + n=0 4 π (n+1) cos[(n + 1)πt] 1 bleu x(t), rouge coeff, jaune 3 coeff, vert 7 coeff t ilière Réseau 11/10

12 Transformée de Fourier I Définition. Soit x(t) un signal à temps continu. La transformée de Fourier de x(t) est la fonction : X(f) = x(t)e iπft dt. Exemples de conditions d existence: x(t) dt < ou x(t) dt : signal d énergie finie. Propriété immédiate : X( f) = X(f), implique X( f) = X(f). ilière Réseau 1/10

13 Transformée de Fourier II Théorème fondamental. Si x(t) est d énergie finie, alors x(t) dt = X(f) df : Identité de Parseval. x(t) = X(f)eiπft df. Interprétation : X(f) = C(f) eiφ(f). x(t) = 0 C(f) cos(πft + φ(f))df. x(t) est une superposition continue de sinusoides dont les fréquences balayent [0, ]. ilière Réseau 13/10

14 Transformée de Fourier III En pratique, X(f) numériquement non nul si f [B 1, B ] [ B, B 1 ]. x(t) = B B 1 C(f) cos(πft + φ(f))df. [B 1, B ] est appelée bande passante du signal x(t). Exemples. Signal de parole : [50Hz, 4KHz] Musique : [50Hz, 5KHz] France Info : [105.5 MHz - 50 KHz, MHz + 50 KHz] ilière Réseau 14/10

15 Transformée de Fourier IV Introduction de l impulsion de Dirac. 1 1 Y(f) échelon unité Z(f) approximation de l échelon δ (f) = 0 si f différent de 0 δ (f) = +infini si f=0 Z (f) dérivée de l approximant ilière Réseau 15/10

16 Propriétés de l impulsion de Dirac δ(f). δ(f)df = 1, δ(f f 0 )df = 1 Transformée de Fourier V φ(f)δ(f) = φ(0)δ(f), φ(f)δ(f f 0 ) = φ(f 0 )δ(f) Conséquence. φ(f)δ(f)df = φ(0) et φ(f)δ(f f0 )df = φ(f 0 ) ilière Réseau 16/10

17 Transformée de Fourier des sinusoides. e iπf 0t = δ(f f 0 )e iπft dt TF de e iπf 0t : δ(f f 0 ) TF de cos πf 0 t : TF de sin πf 0 t : Transformée de Fourier VI δ(f f 0 )+δ(f+f 0 ) δ(f f 0 ) δ(f+f 0 ) i Signification physique Les signaux modélisables par des sinusoides ont des TF ressemblant à des impulsions en f 0 et f 0. ilière Réseau 17/10

18 Transformée de Fourier VII Quelques propriétés de la transformée de Fourier. x(t) et X(f) sa transformée de Fourier TF de x(t τ) = X(f)e iπfτ TF de x(t)e iπf 0t = X(f f 0 ) TF de x(t) cos(πf 0 t) = X(f f 0)+X(f+f 0 ) TF de x (t) = (iπf)x(f), TF de x (n) (t) = (iπf) n X(f) ilière Réseau 18/10

19 Transformée de Fourier VIII Interprétation de la propriété TF de x(t) cos(πf 0 t) = X(f f 0)+X(f+f 0 ) X(f+f_0) -f_0 X(f) X(f-f_0) f_0 ilière Réseau 19/10