reconstruit le signal à l aide de la formule d interpolation où Te est la période d échantillonnage.

Transcription

1 I Test2 MT & EL EPFL vendredi 21 novembre 2014 Remarque : l ordre des réponses était différent selon les variantes. onc ne faites pas attention à la lettre correspondant à la réponse correcte mais seulement à la réponse correcte elle-même qui est surlignée en jaune. Question 1 : la sinusoïde X(t) apparaissant dans le dessin ci-dessus est échantillonnée aux instants indiqués par une petite barre verticale sur l axe temporel (unité en secondes). On t nt reconstruit le signal à l aide de la formule d interpolation e X I( t) = X( nte)sinc( ) n Te où Te est la période d échantillonnage. Indiquer dans quel intervalle (en Hz) se situe la fréquence fi de la sinusoïde reconstruite XI(t) : 0.3 < fi < < fi < < fi < < fi < 1.7 Question 2 : soit les suites de lettres suivantes : X1 = EPFL, X2 = EPFLZ, X3 = EPFLZZZZ, X4 = EPFLZZZZZZZZZZZZ Indiquer la proposition correcte concernant l entropie H(X) de ces suites : H(X1) < H(X2) < H(X3) < H(X4) H(X4) < H(X1) < H(X2) < H(X3) H(X4) < H(X3) < H(X1) < H(X2) H(X4) < H(X1) = H(X3) < H(X2) 1

2 I Test2 MT & EL EPFL vendredi 21 novembre Question 3 : Laquelle des affirmations suivantes est fausse? L'algorithme de Huffman atteint toujours une longueur moyenne de code LL(XX) plus petite ou égale à celle obtenue avec l algorithme de Shannon-Fano. L'algorithme de Huffman produit toujours une longueur moyenne de code qui est égale l'entropie, i.e., LL(XX) = HH(XX). Si HH(XX) = 0, la séquence contient toujours la même lettre. Si un code a une longueur moyenne de code LL(XX) strictement plus petite que l'entropie HH(XX), alors il ne peut pas être un code sans perte et sans préfixe. Question 4 : Pour passer du signal de gauche à celui de droite, on peut utiliser Un filtre passe-haut idéal Un filtre passe-bas idéal Un filtre à moyenne-mobile Un déphasage et une réduction d'amplitude --- Question : nous voudrions échantillonner le signal xx(tt) = 2 cos(600ππππ) sin(400ππππ) avec une fréquence d échantillonnage ff ee = 700Hz. On veut éviter l'effet stroboscopique. Pour cela on se pose la question de savoir s il faut filtrer le signal avant de l échantillonner afin de garder au moins une partie du signal lors de la reconstruction. Quelle approche choisissez-vous? ucun filtrage n est nécessaire car la bande passante du signal est inférieure à ff ee /2 Un filtre passe-haut idéal avec une fréquence de coupure ff cc = 30 Hz Un filtre passe-bas idéal avec une fréquence de coupure ff cc = 400 Hz Un filtre passe-bas idéal avec une fréquence de coupure ff cc = 700 Hz --- Question 6 : Quel ensemble de lettres et de probabilités d apparition a la plus grande entropie? {, } avec les probabilités d apparition { 1, 1 } 2 2 Ils ont tous la même entropie {,,, } avec les probabilités d apparition { 1, 1, 1, 1 } {,, } avec les probabilités d apparition { 1 3, 1 3, 1 3 } 2

3 I Test2 MT & EL EPFL vendredi 21 novembre Question 7 : (axe temporel en secondes) les figures ci-dessus montrent une sinusoïde et trois versions échantillonnées, mais à différentes fréquences. Parmi ces signaux échantillonnés, lequel ou lesquels produisent un effet stroboscopique à la reconstruction? Signal (1). Signaux (1) et (2). ucun Signaux (1), (2) et (3). Question 8 : Nous avons une séquence constituée par les lettres {,,, } qui apparaissent avec le même nombre de 16 apparitions chacune. Nous voudrions construire un code sans préfixe. Laquelle des affirmations suivantes est fausse concernant cette séquence? La longueur moyenne de code est la plus petite possible si les mots du code n ont pas le même nombre de bits. L algorithme de Huffman atteint la plus petite longueur moyenne de code possible. L algorithme de Shannon-Fano atteint la plus petite longueur moyenne de code possible. On peut construire un code sans perte et sans préfixe avec une longueur moyenne du code qui est égale l entropie. Question 9 : ombien de bits avez-vous besoin pour coder cette suite de 10 lettres (sans compter les espaces) en utilisant l algorithme de Huffman : PEER TO PEER

4 I Test2 MT & EL EPFL vendredi 21 novembre 2014 Question 10 : On applique un filtre à moyenne mobile de durée d intégration Tc sur le signal périodique rectangulaire illustré en traits gras en haut de la figure ci-dessous. Indiquer lequel des dessins correspond au résultat de ce filtrage : bonne réponse Question 11 : soit le signal suivant : xx(tt) = 3 sin(4ππππ + ππ) + sin ππππ + ππ + cos(2ππππ). 2 Sa bande passante est de : 2 Hz Hz 10 Hz 2. Hz Question 12 : Si le signal de la question 11 était filtré par un filtre passe-bas idéal de fréquence de coupure 1.8 Hz, la bande passante du signal résultant serait : Plus petite mais non-nulle Réduite à zéro Identique eux fois plus grande 4

5 I Test2 MT & EL EPFL vendredi 21 novembre 2014 Questions Ouvertes / Q2 :les variantes sont indiquées par [W],[],[G],[Y] Question 1 : N oubliez jamais le «Z» onsidérons les caractères suivants avec les probabilités d occurrence respectives mentionnées ci-dessous : caractère Q U I probabilité 1/4 1/4 1/2 a.) onstruire le code de Huffman correspondant et donner l arbre qui l'accompagne. Q 1/4 ode de Huffman : U 1/4 1/2 I 1/2 1 I 1 U 01 Q 00 (bien sûr nous acceptons un code où 0 et 1 sont échangés) b.) Quelle est la longueur moyenne du code? omparer à la limite théorique donnée par le théorème de Shannon ; ce code est-il efficace? LL() = = 1. HH = 1 log log log 2 = Le nombre moyen de bits par lettre est égal à l entropie. Il s agit du cas optimal où nous avons l égalité L ( ) = H On ne peut pas faire de code sans perte avec une valeur L( )plus petite que H. Nous nous rendons compte que nous avons oublié le caractère «Z». En outre, il s'avère que le caractère «Z» apparaît très fréquemment! Voici le nouveau tableau des probabilités : caractère Q U I Z probabilité 1/12 1/12 1/6 2/3 c.) omment situez-vous le code de Huffman pour ce nouveau tableau en comparaison avec la limite théorique de Shannon? ommentez. Voici le nouveau code pour ce cas : ode de Huffman : Q 1/12 1/6 Z 1 U 1/12 1/3 I 01 I 1/6 1 U 001 Q 000 Z 2/3 LL() = = 1. HH = 1 12 log log log log 3 2 1,4 e contexte est moins favorable que celui de la question précédente car, même si on sait que le code de Huffman est toujours le meilleur qu on puisse obtenir, celui-ci est cependant strictement supérieur à l entropie H, contrairement au cas précédent où il était égal (cas optimal).

6 I Test2 MT & EL EPFL vendredi 21 novembre 2014 Question 2 : Signal échantillonné a) Quelle est la bande passante du signal XX(tt) = cos (2ii ππππ) ii=0? [White] Justifiez votre réponse en faisant un dessin du spectre des fréquences de X(t) ; vous pouvez indiquer l amplitude sous forme d une fraction: [] : XX(tt) = cos (2ii ππππ) ii=0 [G] : XX(tt) = cos (2ii ππππ) ii=0 [Y] : XX(tt) = cos (2ii ππππ) ii=0 ii+2 2ii+1 ii+1 2(ii+1) [lue] (f,amplitude) : (0., 0.),(1, 1/3),(2, 1/4),(4, 1/),(8, 1/6),(16, 1/7) [Green] (f,amplitude) : (0., 1),(1, 1/3),(2, 1/),(4, 1/7),(8, 1/9),(16, 1/11) [Yellow] (f,amplitude) : (0., 0.),(1, 1/4),(2, 1/6),(4, 1/8),(8, 1/10),(16, 1/12) essin du spectre des fréquences [White] (f,amplitude) : (0.,1),(1,0.),(2,1/3),(4,0.2),(8,0.2),(16, 1/6) f(hz) [W,,G,Y] La bande passante est la fréquence maximale, c'est-à-dire 16 Hz. b) On applique à ce signal un filtre passe haut idéal de fréquence de coupure 7Hz, ce qui donne le signal Y(t). On échantillonne ensuite Y(t) avec 100 échantillons sur une durée de 4 secondes. Pour éviter l effet stroboscopique dans le signal reconstruit, faudrait-il d abord filtrer Y(t)? Si oui, avec quel type de filtre (passe-haut idéal, passe-bas idéal, moyenne mobile) et avec quelle caractéristique (fréquence de coupure ou durée d intégration). Si non, préciser aussi pourquoi. OUI, il faut filtrer avec un filtre passe-bas idéal de fréquence de coupure 8Hz < f < 16Hz car : 1) le filtre passe-haut conserve toutes les fréquences au-dessus de fc=7hz, c'est-à-dire que Y8t) contient les deux termes à 8 et 16 Hz 2) or, la fréquence d échantillonnage est fe = 100/4 = 2 Hz onc, comme la bande passante de Y(t) reste à 16Hz, elle est supérieure à fe/2 = 12. Hz, il faut supprimer le terme à 16Hz qui va produire un effet stroboscopique s il n est pas filtré. Indiquer la bande passante du signal Z(t) après reconstruction, selon votre réponse à la question précédente : Le filtre passe-bas idéal que nous avons proposé produit un signal avec un seul terme à 8Hz, qui peut être échantillonné à 2Hz et parfaitement reconstruit sans effet stroboscopique. La bande passante de Z(t) est donc de 8Hz. 6