Chapitre 2 : Notions de traitement du signal

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1 Chapitre 2 : Notions de traitement du signal I. Notion de spectre Comment représenter la fonction =.cos2? Réponse temporelle Réponse fréquentielle Une fonction peut avoir plusieurs composantes fréquentielles : =.cos2 +.cos2 Réponse temporelle Réponse fréquentielle Spectre d amplitude du signal Remarque : Il existe aussi le spectre de phase du signal. Notion de spectre : S applique généralement à un signal lumineux (longueur d onde ) ou électrique (fréquence ) Donne la répartition des différentes composantes constituant le signal : Le fondamental Les harmoniques Remarque : En chimie, le spectromètre de masse permet de détecter et d identifier les différents composés (ou molécules) contenus dans un produit. CAPTS chap2 Page 1

2 II. Outils mathématiques 1. Série de Fourier Outil mathématique opérateur mathématique S applique uniquement aux signaux périodiques Permet de déterminer le spectre d un signal périodique composition fréquentielle Un signal périodique, de période, peut s écrire sous la forme suivante : = + cos + sin Décomposition en série de Fourier de la fonction, pour N : Rappel : =2 = 2 Avec : = 2 cos = 1 = 2 sin Ecriture complexe de la série de Fourier : = = 1 Remarques : =0 = 1 = 1 = A =C = périodique de période est le fondamental (mode). L harmonique de rang est définit par >1 est l amplitude de l harmonique de rang CAPTS chap2 Page 2

3 Spectre d amplitude : Le spectre d amplitude est la représentation la composition fréquentielle du signal. En abscisse : fréquence ou rang de l harmonique En ordonnée : amplitude de l harmonique Si le signal est périodique, le spectre est dit direct : seules apparaissent les fréquences multiples du fondamental. Propriétés : Si est paire, alors =0 Si est impaire, alors =0, en particulier =0 (valeur moyenne) Exemple : déterminer la décomposition fréquentielle du signal périodique : CAPTS chap2 Page 3

4 est impaire =0 0 =0 Le calcul des coefficients (cf TD) donne : Si est pair, =0 pair Si est impair : = 4 : amplitude max Présence uniquement des harmoniques impaires. L amplitude des harmoniques varie en 1/. Ecriture de selon sa décomposition en série de Fourier : = + cos+ sin Or ici, =0 0 = sin = 4 sin = 4 1 sin = sin sin sin5 + Représentation spectrale de : + = 2 CAPTS chap2 Page 4

5 Ici : =0 = = 2 2 >0 = 2 =2 Attention : pour impair : Pour pair : =0 =0 = = = =0 = 2 = 2 3 = Transformation de Fourier La transformation de Fourier : Est une opération mathématique S applique à tous les signaux Permet de donner la composition fréquentielle d un signal temporel On définit la transformation de Fourier comme : =F = = =F Remarques : La transformation de Fourier associe un signal fréquentiel à un signal temporel (et réciproquement. est la transformée de Fourier de Dans la première intégrale, "" se comporte comme une constante pour l intégrale mais devient une variable de la transformée de Fourier. est une fonction continue de (contrairement à ) Analogie entre et = 1 = est généralement complexe On appelle le spectre de et arg sa phase. CAPTS chap2 Page 5

6 Propriétés : Linéarité :,= F+=F+F Parité/imparité : Si est réelle, alors est pair et est impaire. Si est paire, alors est réelle et paire. Si est impaire, alors est réelle et impaire. Dualité : F Décalage temporel fréquentiel : F Exemple : Déterminer l expression de la transformée de Fourier du signal donné. Que se passe t il si 0 en = 2 ; 2 0 est un signal non-périodique : on utilisera donc la transformation de Fourier. est paire : est réelle et paire. Définition : = Après calculs, on obtient : = = sin 0=1 CAPTS chap2 Page 6

7 Composition des oscillations du sinus avec la diminution de l amplitude en 1/ =0 = spectre : lim = : le spectre s élargit en fréquence Si tend vers l infini (signal continu), le spectre est très bref et se réduit à la composante en =0 CAPTS chap2 Page 7

8 =3 spectre = composante continue = valeur moyenne = offset 3. Fonctions de Dirac a) Définition Durée : Amplitude : 1/2 Surface sous la courbe : 1 si diminue Si =0 impulsion de Dirac CAPTS chap2 Page 8

9 Notation : L impulsion de Dirac se note. On a : =1 Convention de représentation : Propriétés : nulle partout sauf en =0 1 nulle partout sauf en =0, soit = =0+ = Transformation de Fourier : F F 4 F F Exemple : Soit à déterminer la transformée de Fourier d un cosinus infini défini par : =cos2 ; + = cos2 = = F F 2 CAPTS chap2 Page 9

10 Spectre bilatéral = Spectre monolatéral Repliement des <0 sur les >0 CAPTS chap2 Page 10

11 b) Suite d impulsions de Dirac Peigne de Dirac Fonction d échantillonnage Suite périodique d impulsions régulièrement espacées de = c) Transformée de Fourier d un peigne de Dirac 4. Convolution ou produit de convolution = système linéaire invariant = fonction caractéristique du = signal d entrée du système = signal de sortie du système CAPTS chap2 Page 11

12 La convolution est la relation qui lie le signal de sortie du système au signal d entrée par l intermédiaire de sa fonction caractéristique. = produit de convolution = = Le produit de convolution est commutatif : = = : variable intermédiaire d intégration est homogène à un temps traduit le glissement ou décalage des 2 fonctions Ne pas confondre " "(produit de convolution) avec "." ou " "(multiplication) Propriétés : Identité : est l identité de = Translation : = Transformation de Fourier :. La transformation de Fourier transforme le produit de convolution en multiplication et réciproquement. Propriétés relatives au peigne de Dirac : = = = = : signal périodique de période constitué par le motif répété avec la périodicité. La convolution d un signal avec un peigne de Dirac a pour conséquence de «périodiser» ce signal. CAPTS chap2 Page 12

13 5. Réponse impulsionnelle = h = Alors : = h=h h est la réponse du système à une impulsion de Dirac. h= réponse impulsionnelle En théorie, pour caractériser un système, il suffirait de lui injecter une impulsion de Dirac. Le signal récupéré en sortie serait la fonction caractéristique du système, c'està-dire sa réponse impulsionnelle. 6. Fonctions de transfert harmonique =. = = fonction de transfert harmonique = réponse en fréquence du système = = = = La fonction de transfert harmonique du système est la transformée de Fourier de la réponse impulsionnelle. 7. Filtrage Filtrer un signal temporel revient à agir sur les composantes fréquentielles du signal. amplification, atténuation, annulation (suppression) exemple : «égaliseur graphique» CAPTS chap2 Page 13

14 Dans l espace temporel, le filtrage est la convolution du signal avec la réponse impulsionnelle. III. Fenêtrage temporel 1. Introduction Un signal de type sinusoïdale est infini (de à + ). Pour le l acquérir et le visualiser, on ne peut qu en prélever une partie. Mathématiquement : acquérir un signal, c est multiplier ce signal par la fenêtre temporelle. troncature du signal, modification du spectre. Il existe différentes fenêtres dont le but est de minimiser la déformation du spectre : Fenêtre de Hamming Fenêtre de Hanning Fenêtre de Blackman Fenêtre Flat Top Etc CAPTS chap2 Page 14

15 La fenêtre que l on a utilisé est une fenêtre dite «rectangulaire» ou «naturelle» CAPTS chap2 Page 15