Effet d un filtre linéaire sur un signal périodique

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1 MPSI 5-6 Effet d un filtre linéaire ur un ignal périodique Introduction... I Filtration par un quadripôle linéaire...3 Propriété d un ignal périodique...3 Qu et ce qu un quadripôle linéaire? Fonction de tranfert Effet d un filtre linéaire ur une tenion d entrée inuoïdale de pulation ω Effet d un filtre linéaire ur une tenion d entrée e( = e ( + e ( Gain en décibel et diagramme de Bode...6 II Exemple de filtre...7 omportement dérivateur à bae fréquence...7 omportement intégrateur à haute fréquence Un exemple de filtre pae ba d ordre Un exemple de filtre pae haut d ordre Un exemple de filtre pae-ba d ordre Un exemple de filtre pae-haut d ordre Un exemple de filtre pae-bande d ordre Un exemple de filtre coupe-bande d ordre... III Exercice... Exercice d application : échelle logarithmique... Exercice d application : atténuation par un filtre... 3 Exercice d application : étude d un filtre pae haut... 4 Filtrage d un ignal iu d un détecteur... 5 Filtre de Wien... 6 Filtre de olpitt... ANNEXES... 3 Récapitulatif de différent type de filtre... 3 Quel et l intérêt d une échelle logarithmique? Pulation de coupure ω c et largeur de la bande paante L... 5 Lycée Laperoue - Kerichen / 5

2 MPSI 5-6 Introduction Au paragraphe I, nou allon voir brièvement qu un ignal périodique peut être décompoé en la omme de ignaux inuoïdaux de fréquence f n (décompoition en érie de Fourier, hor programme cette année mai indipenable en pé). Afin de implifier notre étude nou allon donc pouvoir, dan un premier temp, étudier uniquement la répone d un ytème électrique à une tenion inuoïdale de fréquence f (le ytème électrique era un quadripôle linéaire ; voir a définition au paragraphe I et a fonction de tranfert au paragraphe I3). Et nou allon enuite étudier l influence de la fréquence f du ignal inuoïdal ur la répone du ytème électrique (paragraphe I4). Nou verron enfin (paragraphe I5) comment en déduire la répone du quadripôle linéaire à la uperpoition de deux ignaux inuoïdaux de fréquence différente. Et nou apprendron aui à tracer de diagramme de Bode (paragraphe I6) qui permettent de viualier quai intantanément l effet d un quadripôle ur un ignal, elon la fréquence. Mai pourquoi étudier l influence de la fréquence f d un ignal inuoïdal ur la répone d un ytème électrique? A partir d un ignal électrique d entrée contitué de la uperpoition de pluieur ignaux de fréquence différente, on peut vouloir - ne garder que le fréquence le plu bae (par exemple pour éliminer un bruit haute fréquence) ; - ne garder que le plu haute fréquence (par exemple pour e débarraer d une tenion de dérive continue) ; - ne garder qu une plage étroite (par exemple pour électionner dan un tuner de radio la fréquence porteue de France-Inter en AM à 6 khz) ; - couper une plage de fréquence et garder le rete (dan le radio-obervatoire, on et parfoi amené à couper le fréquence de onde radio émie par le oleil qui aturent le détecteur, pour conerver toute le autre fréquence, provenant de autre étoile parfoi étudiée). e opération de traitement du ignal ont effectuée à l aide de filtre électrique adéquat : pae ba dan le premier ca, pae haut dan le econd, pae bande dan le troiième et enfin coupe bande dan le dernier ca (voir diagramme de Bode en annexe, page 3). Un exemple imple : Le diagramme ci-deou repréente le module de l admittance H(ω) = H(ω) = V / V e = V / V e de deux amplificateur de chaîne hi-fi (filtre pae bande) : - et un trè bon pour lequel l amplitude V de la tenion de ortie n et pa atténuée quelque oit la fréquence ituée dan le domaine audible ( Hz ; khz) ; - et un trè mauvai pour lequel l amplitude de la tenion de ortie V = H(ω).V e et trè faible pour le fréquence ituée en deou de Hz et en deu de 5 khz. H() Trè mauvai ampli (Hz - 5 khz) Trè bon ampli (Hz - khz) = πf. Hz. Hz Lycée Laperoue - Kerichen / 5

3 MPSI 5-6 I Filtration par un quadripôle linéaire Propriété d un ignal périodique. Valeur moyenne et valeur efficace La valeur moyenne d une fonction inuoïdale in( et égale à. Et la valeur moyenne d une fonction inuoïdale au carré in ( et égale à e réultat e prouve aiément à partir de la définition de la valeur moyenne La valeur efficace d une tenion périodique et par définition égale à La valeur efficace d une tenion inuoïdale U.co(ωt + φ) et donc égale à U eff = U eff x ( u T t T t x( t') dt' Lorque l on meure une tenion avec un voltmètre en mode A (alternative couran, celui-ci affiche la valeur de la tenion efficace U eff. On peut alor en déduire l amplitude U = U eff Une tenion du type u( = U.co(ωt + φ) pourra donc écrire u( =.. Somme de ignaux inuoïdaux et décompoition en érie de Fourier Sur le chéma propoé en ba de page, la fonction e( et une fonction périodique non inuoïdale. Elle a été contruite en ommant le deux fonction inuoïdale e ( et e (. e réultat peut être généralié : Toute fonction périodique f(, de période T (donc de fréquence f = /T ou de pulation ω = πf) peut écrire comme une omme de fonction inuoïdale : cn co(n t n ) n f ( a appelée érie de Fourier Le coefficient c n repréentent le amplitude de harmonique (de mode propre) et a et égale à.. (meurée avec le mode D du voltmètre). et pour cette raion que, plutôt que d étudier la répone d un circuit électrique à une tenion f( quelconque, nou allon étudier la répone d un circuit électrique à une tenion inuoïdale du type u( = U co(ωt + φ), de pulation ω (donc de fréquence f) quelconque mai fixée (voir paragraphe 4). Pui nou analyeron la répone du circuit à une tenion du type E co( t E ) E co( t E) Et vou analyerez l année prochaine la répone du circuit à une tenion quelconque e( = e ( = 3 co (π e ( = co (4π t + π/3) Lycée Laperoue - Kerichen 3 / 5

4 MPSI 5-6 Qu et ce qu un quadripôle linéaire? Un quadripôle et un circuit électrique relié à l'extérieur par 4 borne : deux en entrée et deux en ortie. L'étude d'un quadripôle en régime permanent continu et poible, mai préente peu d'intérêt ; il et plu intéreant d'alimenter le quadripôle en régime inuoïdal et d'étudier on comportement en fonction de la fréquence. Dan ce chapitre, nou n'étudieron ici que de quadripôle paif, c'et-àdire ne contenant pa de ource d'énergie. Quatre variable le caractérient : la tenion d'entrée u e (, le courant d'entrée i e (, la tenion de ortie u ( et le courant de ortie i (. Le chéma de principe pour l'étude d'un quadripôle et le uivant : Rappel : un dipôle et dit linéaire i, en complexe, la tenion u à e borne et le courant i qui le travere ont proportionnelle, donc reliée par une loi de type loi d'ohm généraliée : u = Z i. Un quadripôle et donc dit linéaire i tou le compoant qui le contituent ont linéaire. Exemple de quadripôle linéaire : = e( ( et H... e 3 Fonction de tranfert Méthode (vue au H4) : la tenion à l entrée du filtre et un ignal inuoïdal : e( Eco( t E) ; on lui aocie la grandeur complexe : e( E exp( j où E E exp(j ). Souvent φ E era choiie comme nulle. La tenion à la ortie de ce filtre et un ignal inuoïdal du type ( Sco( t ) ; on cherche l amplitude S et le déphaage φ du ignal de ortie. On lui aocie la grandeur complexe : ( Sexp(j où S Sexp( j ) et l amplitude complexe. S omme le filtre et uppoé linéaire, le grandeur électrique d'entrée et de ortie ont reliée par une équation différentielle linéaire à coefficient contant (voir le filtre de Wien dan l exercice 4) : n m d ( d ( d( d e( d e( de( Dn... D D D( N... N N N e( m n m dt dt dt dt dt dt En régime inuoïdal forcé, on peut utilier le grandeur complexe aociée, et remplacer le dérivée d'ordre n par une multiplication par (j) n : n m Dn (j) (... D(j) ( D (j)( D( Nm(j) e(... N(j) e( N (j)e( Ne( Soit encore, en diviant de part et d'autre par e jt : n m Dn (j) S... D(j) S.D (j)s DS Nm(j) E... N(j) E N (j)e NE E S Lycée Laperoue - Kerichen 4 / 5

5 MPSI 5-6 On appelle fonction de tranfert (ou tranmittance) d un circuit linéaire en régime inuoïdal forcé : ( S H(j ) e( E La fonction de tranfert H(jω) ou plu implement H(ω) peut donc toujour écrire ou la forme : m N N(j ) m(j)... N(j) N (j) N H(j ) n D (j)... D (j) D (j) D D(j) n et une fonction complexe rationnelle. N(j ) et D(j) ont de polynôme complexe à coefficient réel contant. L ordre de H(j ) et l ordre du circuit (ordre de deux polynôme, n ou m, le plu élevé). Pour exemple, l ordre du filtre de Wien de l exercice 4 et égal à 4 Effet d un filtre linéaire ur une tenion d entrée inuoïdale de pulation ω ( S omme H( j) H exp( j H ), on peut écrire : S H( j). E H exp( j H ) E e( E S... On peut donc en déduire : S... L amplitude S du ignal de ortie et donc égale à l amplitude E du ignal d entrée atténuée par le module H(ω) de la fonction de tranfert pour la pulation ω. La phae φ du ignal de ortie et égale à la phae φ E du ignal d entrée déphaée par l argument φ H (ω) de la fonction de tranfert pour la pulation ω. 5 Effet d un filtre linéaire ur une tenion d entrée e( = e ( + e ( Si la tenion à l entrée du filtre et une omme de ignaux inuoïdaux de pulation différente : e( e( e( E co( t E) E co( t E) On ne peut pa appliquer directement S H(j). E car il y a deux pulation différente. En revanche, pour chacun de ignaux inuoïdaux : S ) H( ) E ( ) et S ) H( ) E ( ) ( ( L amplitude complexe de la tenion de ortie era alor égale à : S S S H( ). E H( ). E et ( ( ( S co( t ) S co( t ) S S avec : S... S... et S... S... ertaine pulation ω n (ou fréquence f n ) ont été atténuée : nou diron qu elle ont été filtrée. e ont le pulation ω pour lequelle Le tracé du diagramme de Bode du filtre permettra de viualier le fréquence qui ont filtrée en «un coup d œil» (voir paragraphe uivan. Remarque : dan le ca où la tenion d entrée et une fonction périodique quelconque, la décompoition en érie de Fourier permet de décompoer la tenion périodique en une omme de tenion inuoïdale de pulation ω n = nω. hacune de ce tenion de pulation ω n et enuite atténuée et déphaée ou l effet du filtre. La tenion à la ortie era égale à la omme de tenion de ortie n (. Lycée Laperoue - Kerichen 5 / 5

6 MPSI Gain en décibel et diagramme de Bode S Le gain d un filtre et défini par la relation : G db log H log( H) log( ) E Remarque : pourquoi log(h) et non pa log(h) comme expliqué en annexe? Parce que dan la définition de Bell, G = log (I / I ), I repréente une puiance ; par analogie, une puiance en électricité et proportionnelle à une intenité au carré ou à une tenion au carré (P = RI = U /R) et log (U ) = log(u) ; ou log (U/U ) = log(u/u ). Le diagramme de Bode ont le repréentation de : G db ( ) log H( ) en fonction de log () en fonction de log Voici le diagramme de Bode que l on obtient dan le ca d un filtre pae ba du premier ordre : G db -3dB log 4 log Pente égale à db / décade log log -/4 -/ Quetion claique (pour le application numérique, on choiira ω c =, x 3 rad. - ) : - Soit E et l amplitude d un ignal inuoïdal de trè bae fréquence appliqué à l entrée du filtre. Quelle et l amplitude du ignal à la ortie? - Quelle ont le fréquence qui ont été filtrée à la ortie du filtre? Jutifier l appellation de «filtre pae-ba». - Dan le ca d une tenion d entrée inuoïdale, que vaut le déphaage de la tenion de ortie par rapport à la tenion d entrée à trè haute fréquence? - Soit une tenion d entrée inuoïdale de pulation ω =, x 5 rad. - et d amplitude égale à, V. Déterminer l amplitude de la tenion à la ortie du filtre (utilier pour cela le coefficient directeur de l aymptote : - db/décade). - Soit une tenion d entrée e( =, x co (, x x +, x co (, x 5 x t + π/). Déterminer l expreion de la tenion ( à la ortie. Quel terme peut être négligé? Lycée Laperoue - Kerichen 6 / 5

7 MPSI 5-6 II Exemple de filtre Nou n allon pa faire l étude complète de tou le filtre d ordre et propoé ci-deou. Pour chacun, une partie de réultat era fournie et une partie era démontrée. Mai, uite à ce étude, vou erez capable de faire l étude complète de n importe quel filtre. omportement dérivateur à bae fréquence omportement intégrateur à haute fréquence 3 Un exemple de filtre pae ba d ordre U H ( j) U S E H j avec H et R On poe aui f x c f c - Prévoir, à l aide de chéma équivalent, le comportement de ce filtre à haute et bae fréquence. - Démontrer l expreion de la fonction de tranfert H(jω). - En déduire l expreion de l amplitude complexe à la ortie du filtre S en fonction de l amplitude à l entrée E à trè bae fréquence. - Déterminer l expreion de H(jω) pour x = ω/ω c = pui la valeur de G db (x = ) achant que log( / ) 3dB - En déduire le tracé du diagramme de Bode G db = f(log(x)) aprè avoir reconnu un comportement intégrateur ou dérivateur. - Démontrer l expreion de φ(ω) et en déduire le valeur de φ à trè haute fréquence, à trè bae fréquence et pour x = ω/ω c =. Tracer φ = f(log(x)). Lycée Laperoue - Kerichen 7 / 5

8 MPSI Un exemple de filtre pae haut d ordre U H ( j) U S E H avec H ; ; on poe R j H H j j j x f f - Jutifier le tracé du diagramme de Bode G db = f(log(x)) à trè bae fréquence. - Déterminer l expreion de φ(ω) et en déduire le tracé de φ = f(log(x)) à partir de celui du filtre pae-ba d ordre. 5 Un exemple de filtre pae-ba d ordre H ( jx) x j x Q L R (pulation propre);x (pulation réduite); Q L R - Démontrer l expreion de H(jx). - Déterminer l expreion de H(jx) à trè haute fréquence. R L (facteur de qualité) - En déduire la pente de l aymptote à trè haute fréquence dan le diagramme de Bode G db = f(log(x)) - Quelle et la différence avec un filtre pae-ba d ordre? - Déterminer l expreion de G db (x = ). Et-ce cohérent avec le tracé propoé en page uivante? - Remarque : l étude de condition d obtention d un imum de G db et propoée en annexe. Lycée Laperoue - Kerichen 8 / 5

9 MPSI Un exemple de filtre pae-haut d ordre Jutifier par de chéma équivalent à haute et bae fréquence, le caractère pae-haut de ce filtre. Le calcul ont imilaire au ca du pae-ba d ordre étudié ci-deu. 7 Un exemple de filtre pae-bande d ordre - Déterminer l expreion de H(jω). - Mettre cette expreion ou la forme U S H H ( j) en préciant U E jq le expreion de H, ω et Q. - Prouver le comportement intégrateur à haute fréquence et dérivateur à bae fréquence. - En vou aidant de la quetion précédente et de l annexe, tracer à la page uivante le diagramme G db = f(log(x)) dan le ca d un facteur de qualité Q important. - Lire en annexe le définition de la pulation de coupure ω c et de la bande paante L et le repréenter ur le diagramme uivant. Lycée Laperoue - Kerichen 9 / 5

10 MPSI Un exemple de filtre coupe-bande d ordre Jutifier par de chéma équivalent à haute et bae fréquence, le caractère coupe-bande de ce filtre. Le calcul ont imilaire au ca du pae-bande d ordre étudié ci-deu. III Exercice Exercice d application : échelle logarithmique Placer ur l axe gradué en échelle logarithmique ci-deou, le abcie correpondant à : x = ; x = ; x = 5 ; x = ; x =, ; x =,4 et x =,6 (f = f c ) (f = f c ) (f = 5 f c ) (f = f c ) (f = f c /) (f = 4f c /) (f = 6f c /) log( x) log f f c Exercice d application : atténuation par un filtre e( ( Dan le ca de ce filtre propoé entre autre page 4, pour R =, kω et = µf, un ignal d entrée de pulation ω = rad. - et-il atténué? Même quetion i ω = rad. - Lycée Laperoue - Kerichen / 5

11 MPSI Exercice d application : étude d un filtre pae haut - Tracer l allure de diagramme de Bode d un filtre pae-haut d ordre (en plaçant log(x) en abcie). Faire apparaitre le gain à -3 db. Pour le application numérique, on choiira f c =, x 4 Hz - Soit E et l amplitude d un ignal inuoïdal de trè haute fréquence appliqué à l entrée du filtre. Quelle et l amplitude du ignal à la ortie? Jutifier. 3- Jutifier l appellation de «filtre pae-haut». 4- Soit une tenion d entrée e( =, x co (π x 6 x +, x co (π x 4 x t + π/). Déterminer l expreion de la tenion ( à la ortie. 4 Filtrage d un ignal iu d un détecteur Dan certaine expérience de laboratoire, il arrive que l on ait à étudier un flux lumineux variant inuoïdalement dan le temp (à une fréquence de l ordre de khz ur cet exemple). Suppoon que le photo-détecteur utilié délivre le ignal électrique uivant. - Décompoer ce ignal électrique en troi compoante (compoante continue, ignal à exploiter, paraite haute fréquence) que l on caractériera. On uppoera ce paraite de fréquence MHz. Propoer l expreion mathématique de ce ignal d entrée e(. - e ignal électrique alimente le ix filtre idéaux uivant : e pae-ba idéal fc= khz pui fc=hz e pae-haut idéal fc= khz pui fc=hz e pae-bande idéal fo= khz bande paante Hz e coupe-bande idéal fo= khz bande coupante Hz Pour chacun d eux, décrire qualitativement la tenion obtenue en ortie du filtre. Jutifier. Quel et le filtre le plu approprié pour récupérer eulement le ignal correpondant aux variation du flux lumineux? Lycée Laperoue - Kerichen / 5

12 MPSI Filtre de Wien On choiira R =, kω et = nf On poe R, Q 3 et x On poe : u e ( = U e co (ω. Définir par de expreion mathématique le grandeur u e (, u ( et H(ω). et u ( = U co (ωt - φ). Déterminer l expreion de l admittance H(jω) = u ( / u e ( et la mettre ou la forme H H ( j) en préciant le expreion de H, Q et ω. jq( ) d u 3. Prouver que l équation différentielle vérifiée par u ( et ( R) dt Aide : déterminer préalablement une relation du type jωu e ( = 4. Déterminer le expreion du gain G(x) = H (x) pui de G db du 3R dt u du R dt 5. Déterminer l expreion de φ aini que le limite de φ en haute et en bae fréquence. 6. Tracer le aymptote théorique ur le diagramme de Bode propoé dan la partie expérimentale. 7. alculer, à l aide de la définition de l annexe 3, le fréquence f c de coupure à -3dB. 6 Filtre de olpitt e = 3 - Déterminer de quel type de filtre il agit. Jutifier. - Exprimer la fonction de tranfert ou la forme H ( ) A jq( ) 3 en prouvant que A ; ( avec ) ; Q R 4 L 4 4 L 3- On e place dan le ca où Q =,5 Déterminer le aymptote du diagramme de Bode G db = f (log x) pui tracer ce diagramme. 4- Un circuit multiplieur fournit une tenion u e ( = 6 co (5 ω x co (5 ω. Déterminer le ignal u ( à la ortie du filtre. Lycée Laperoue - Kerichen / 5

13 MPSI 5-6 ANNEXES Récapitulatif de différent type de filtre Pour chacun de ca uivant, on montre de filtre réel (ordre et ), aymptotique (gra), et idéaux (pointillé). 6. Filtre pae-ba G db log c log Ordre Ordre : Pente à - db / décade omportement intégrateur 6. Filtre pae-haut G db log c log Ordre : Pente à + db / décade omportement dérivateur Ordre 6.3 Filtre pae-bande G db log c log Bande paante 6.4 Filtre coupe-bande G db log c log Bande coupante Lycée Laperoue - Kerichen 3 / 5

14 MPSI 5-6 Quel et l intérêt d une échelle logarithmique? Si on repréente implement H(ω), on n a aucune préciion quand ω : on ne voit pa du tout la différence entre un excellent ampli et un trè mauvai. et pour cette raion que nou allon plutôt tracer de diagramme logarithmique, en fonction de log(ω) plutôt qu en fonction de ω. X Nou jutifion ici l intérêt de choiir une échelle logarithmique en abcie. X une décade : intervalle où la fréquence et multipliée par 3 4 f en échelle linéaire log(f) Le graphe ci-contre repréentent 3 minima d une grandeur X : un à 3 Hz, un autre à 5 Hz et un troiième à Hz. On voit que ur le premier graphe le minima à 3 Hz et 5 Hz ont difficilement décelable (à moin de changer d échelle mai dan ce ca on ne pourrait plu voir le troiième minima à Hz). A contrario, on voit qu avec l échelle logarithmique le 3 minima ont viible et décelable f en Hz 3 4 log(f) Log Log,5 Log Log,5 Il en et de même pour l axe de ordonnée : plutôt que de tracer H = H = f (log ω), nou allon tracer log (H) = f (log ω), ou plu exactement G db = log (H) = f (log ω) ; nou obtiendron aini ce que l on appelle un diagramme logarithmique. Mai pourquoi calculer G db = log (H) et non pa log (H)? La jutification et hitorique 'et Alexander Graham Bell, phyicien écoai né à Edimbourg en 847, l'un de inventeur du téléphone, à l'origine profeeur pour ourd et muet, qui a établi la première échelle de meure acoutique ; il 'agiait alor du déci Bell acoutique (dba). Son analye portait ur le fonctionnement de l'oreille. Il a choii une fréquence de référence ( Hz) pui il a étudié la réaction d un panel uffiamment large de population à une intenité acoutique donnée I. Il a déterminé que le niveau de perception minimal d'un ignal acoutique de Hz était de I = - W.m et que le niveau acoutique imum acceptable par l'oreille était de I = W.m. Il a obtenu une échelle variant entre - W.m et W.m. Il a enuite défini L dba = log (I/I ) et a obtenu de valeur variant entre log (I /I ) = dba et log (I /I ) = log ( / - ) = 4 dba (uite : voir page 7) Lycée Laperoue - Kerichen 4 / 5

15 MPSI Pulation de coupure ω c et largeur de la bande paante L Soit une pulation G db G db telle que G ) oit imum ( H ) db( ( ) log H( ) log H. ( On cherche la(le) pulation() (dite() de coupure),, telle que : et donc également imum ; il y a réonance) H( ) H( ) H GdB( ) log H( ) log log H log GdB 3 db. H Définition : La(le) pulation() de coupure ont telle que : G ( ) G db ou bien : H( ) db db 3 H La (le) fréquence() de coupure ont : f (en TP, on travaille plutôt ur le fréquence) La bande paante et l'intervalle de pulation, ] pour lequelle : [ H [, ], GdB( ) G db 3 db GdB( ) ou encore : [, ], H( ) H( ) On appelle largeur de la bande paante l intervalle : L (ou L f f i on raionne ur f) a du filtre pae-bande d ordre : On cherche le pulation telle que : G ( ) G 3 db db ou db db 3 Il vient (voir cour ur la réonance en intenité d un circuit RL érie) : Q Q Q H( ) H Q Dont le racine ont : Or eule le racine poitive conviennent ; donc le Q Q 4Q pulation de coupure ont : et 4Q La largeur de la bande paante et : L =. Q 4Q Un circuit (R,L,) érie et un filtre pae-bande d ordre, de pulation propre : Q / L, de bande paante ;, de largeur de bande paante L Q Le filtre et donc d autant plu électif (il électionne une bande de pulation d'autant plu étroite) que le facteur de qualité Q et grand. Dan le paragraphe uivant nou allon voir que ce filtre préente un comportement dérivateur à bae fréquence (où H( j) j / Q, pente à + db / décade) et un comportement intégrateur à haute fréquence (où H j) / jq (, pente à db / décade). Remarque : on retrouve pour la bande paante le réultat obtenu lor de l étude du circuit (R,L,) dont on étudie la réonance aux borne de R (réonance en intenité). Lycée Laperoue - Kerichen 5 / 5