Chapitre 1: choix dans l'incertain

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Gautier Blanchette
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1 Chapitre 1: choix dans l'incertain Présentation des différents critères de décision en situation de risque. Quelques définitions Risques: chaque éventualité (événement aléatoire) a une probabilité. C est une situation aléatoire. Incertitude: monde probabilisable ou non probabilisable. Situation risquée: on ne connait pas le résultat ex-poste. Exemple: /0 1 /100 Pour comparer deux loteries l agent peut utiliser le critère de l espérance mathématique. 1. Critère de l espérance mathématique Critère minimaliste Max / é Si un agent a le choix de jouer ou ne pas jouer à cette loterie, il va comparer l espérance mathématique à ? Tout agent choisi de participer à la loterie si le prix de participation est inferieur à l espérance mathématique. Par exemple si, 10 é é, alors l agent accepte de jouer tant que le prix de participation est inférieur à 10. Limite : il traduit mal le comportement des agents face au risque. Bernoulli en 1738 met en avant le paradoxe de St Petersburg :«on lance une pièce de monnaie jusqu à obtenir face. Le jeu s arrête au premier face. A l arrêt du jeu, le participant gagne un gain2 n euros/n». Soit une mise de 2 qui serait doublée à chaque lancer. Si face sort au 1 er lancer, on gagne 2 avec une probabilité de 1 2. Au 2 ème lancer, on gagne 2 soit 4 avec une probabilité de1 2². Si face sort au nième lancer, on gagne 2 avec une probabilité de1 2. Distribution de cette loi : Les différentes réalisations et les probabilités associées ² Χ 2 1/ lim 2 1/ 2 Ce jeu vaut une somme infini. Or cela veut dire que l agent est censé selon le critère de l espérance mathématique payer une somme infinie pour participer. Le critère d espérance mathématique ne

2 prend pas en compte la notion de risque. Le paradoxe est que peux de gens sont prêt à payer ne serait-ce que 20 (selon aversion au risque des agent) pour participer à cette loterie. Les théoriciens prennent alors en compte, pour palier l insuffisance du critère d espérance mathématique, le critère d espérance variance. 2. Le critère d espérance variance, ou critère Markovitz 1952 La valeur d une loterie «a» est une fonction croissante de l espérance et décroissante de la variance : ; / 0; 0 Si 2 actifs présentent des espérances de rendements équivalentes, l agent choisira celui qui a la variance de rendement la plus faible. Il choisira donc celle qui s éloignera le moins du taux de rendement moyen. Parallèlement, si la variance est équivalente il choisira la loterie ou l actif qui a l espérance de rendement la plus élevée. Soit le programme suivant : max E[a] représente la rentabilité, V[a] représente le risque et la différence entre les deux c est la valeur de la loterie. γ0 est le coefficient d aversion au risque. Caractéristique propre à chaque individu. On suppose 3 actifs a 1, a 2, a 3 tel que ₁ ₂ ₃ ₃ ₁ ₂ Le principe de transitivité des préférences fonctionne. Si et alors et par contre la comparaison des actifs a 1 et a 4 dépend de la valeur de γ. Plus généralement dès que l on compare deux a i et a j tel que l actif le plus rentable est le plus risqué, soit le signe de γ ne suffit plus γ = degré d aversion pour le risque, c est la pente d une droite d évaluation dans l espace (E;V) Ū Utilité, valeur de la loterie. Le long d une droite d iso utilité, l utilité est constante dū 0 Si γ 0 on retombe sur le critère d espérance mathématique

3 Pour des valeurs de γ faible, caractérisant des individus qui craignent peu le risque, la pente de ces droites d évaluation sera faible. Donc a 4 sera situé sur une droite plus haute (élevée). Ils vont donc préféré l actif le plus rentable mais aussi le plus risqué. Inversement si γ est très élevé (forte aversion pour le risque), alors se type d agent va préféré a 1 à a 4, c'est-à-dire l actif le moins rentable mais le plus sûr. Limite : comme pour le critère d espérance mathématique, le critère d E-V peut conduire à des paradoxes. Exemple, on note la valeur d un actif mesuré par 0.01 On note deux loteries et Normalement on devrait préférer la loterie a 2 à a 1. Or le critère d E-V (avec γ=0.1 faible aversion au risque) peut conduire à préférer a 1 à a 2. En effet :

4 Soit des valeurs de loteries : U 1 >U 2 le critère espérance variance nous dicte de choisir a 1 plutôt que a 2. Le critère d E-V ne respect pas toujours la dominance stochastique d ordre 1. Définition DS1 : Une distribution de gain F(.) domine stochastiquement d ordre 1 une distribution de gain G(.) si :, Э /, éé Une loterie dont la fonction de répartition est F sera préféré à une loterie dont la fonction de répartition est représentée par G. Dans le cas discret on aura Eventualité X=x Ici on a F 1 x F 2 x la fonction de répartition de a 1 est toujours située au-dessus de celle de a 2 F 2 DS1 F 1 on devrait préférer a 2 à a 1.

5 La plupart du temps, aucune fonction de répartition ne domine l autre (c'est-à-dire le caas à chaque fois que F se croisent avec G), alors on ne peut rien dire sur la DS1. Il peut être interessant de regarder le critère de la DS2. Avec la DS2 on introduit l idée de dispersion. Définition DS1 : Un distribution de gain F(.) domine stochastiquement d ordre 2 une distribution de gain G(.) si :, Э / Soit DS2 si et seulement si Fsds Gsds 0 (avec au moins une inégalité stricte) surface entre les deux courbes Cas continu Si l air - air + alors F DS2 G En discret, dans le cas de l exemple numérique on avait a 2 DS1 a 1, ceci implique nécessairement que a 2 DS2 a 1.

6 En générale DS1 DS2 la réciproque est fausse. F 2 DS2 F 1 soit a 2 a 1 Application du critère E-V au choix de portefeuille. Un titre i, i {1,2,,n}, caractérisé par une espérance E i et une variance V i. On considère P comme la combinaison de plusieurs titres en proportion / 1et le titre i est le portefeuille où 0, 1, j i Si un titre domine tous les autres (choisi par tous) c'est-à-dire si E est supérieur à celle de tous les autres, est ce que le choix de portefeuille s arrête à tout investir dans ce titre? Si un titre i domine tous les autres, on peut alors noter E E j i le plus rentable V V j i le moins riqué Le portefeuille composé uniquement de ce titre domine t-il les autres portefeuille? Cadre simple Dans le cas de deux titres en proportion 1 et 2, et si le titre 1 domine le titre 2, va-t-on intégrer au portefeuille également le titre 2? Esperance de rendement du portefeuille 1 est une combinaison linéaire des espérance de chaque titre E(r i ) car En effet :

7 Variance du rendement du portefeuille 2, 2, avec ρ coefficient de corrélation [-1 ; +1] et σ i l écart type du rendement du titre i La frontière des portefeuilles réalisable avec aux extrémités des portefeuilles avec titre exclusif La variance n est pas une combinaison linéaire. D est dominé par A qui présente le même risque avec un rendement espéré plus élevé. Plus généralement, tous les portefeuilles entre B et C sont dominés. Un portefeuille P est efficace s il n existe pas d autre portefeuille P tel que : E E V V avec au moins une inégalité stricte Remarque : la frontière des portefeuilles réalisables ne dépend pas du comportement d un agent face au risque. Elle ne dépend ni du signe ni de la valeur de γ. En revanche, la frontière des portefeuilles efficaces dépend du signe de γ mais pas de sa valeur (on suppose γ0). la proportion optimum de titre 1 dans le portefeuille, dépend à la fois du signe et de la valeur de γ. Un agent infiniment averse au risque (γ droite d iso utilité verticale aura tendance à choisir (le point C) le portefeuille le moins risqué soit un portefeuille se situant de la frontière des portefeuilles efficaces mais en minimisant le risque on aura alors une proportion de titres 1 tel que 0 1. Déplacement de la droite d iso utilité vers la gauche. Un agent peu averse au risque (γ0 + ) choisira plutôt A, c'est-à-dire le portefeuille le plus risqué (en d autre terme celui qui a le plus fort rendement espéré) et donc un portefeuille composé

8 uniquement du titre dominant. Soit 1 Conclusion intermédiaire : En détenant un peu de titre 2 l agent diminue la variance, c'est-à-dire le risque de son portefeuille (certes il diminue aussi le rendement espéré).

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