La colonne solaire. André CANTEGREIL. Lycée Charles de Gaulle - Londres Royaume-Uni

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1 BULLETIN DE L UNION DES PHYSICIENS 477 La colonne solaire par Lycée Charles de Gaulle - Londres Royaume-Uni andre.cantegreil@lineone.net RÉSUMÉ Cet article propose la réalisation pratique d un cadran solaire destiné à donner l heure à une date précise d après la hauteur du Soleil. Cette réalisation est inspirée de colonnes solaires présentées dans le département Mesure du temps du Science Museum de Londres. Le Science Museum à Londres présente dans le département mesure du temps de petits objets cylindriques d une quinzaine de centimètres de haut qui sont des colonnes solaires dont un modèle - dit il - était récemment en usage dans les Pyrénées. Ce sont des cadrans solaires destinés à donner l heure à une date précise d après la hauteur du Soleil. L étude théorique simplifiée est pédagogiquement intéressante. L utilisation du globe terrestre sur lequel nous aurons matérialisé une verticale et éclairé par une lampe ou un projecteur aide à la compréhension. Les élèves du lycée peuvent être intéressés. L objet est amusant à réaliser dès que l on dispose de la famille de courbes tracées au tableur. Son coût est nul. Les connaissances et savoir-faire nécessaires sont limités : repérage d un point sur une sphère ; définitions des lignes trigonométriques ; utilisation rigoureuse et aisée du tableur pour tracer une famille de courbes ; enrouler une feuille de papier sur un cylindre!!! 1. COMMENT ÇA MARCHE? L ombre d un style horizontal de longueur h toujours tourné vers le Soleil, est projeté sur un plan vertical. La hauteur de l ombre varie selon la hauteur du Soleil au-dessus de l horizon, c est-à-dire selon l heure (cf. figure 1 page ci-après). Au cours de la journée, la longueur de l ombre le matin peut être égale à la longueur de l ombre l après-midi ; par exemple à 11 h (12 1) et 13 h (12 + 1) ou à 9 h (12 3) et à 15 h (12 + 3).

2 478 BULLETIN DE L UNION DES PHYSICIENS Figure 1 Les jours suivants, à la même heure, l ombre est un peu plus courte ou un peu plus longue selon que l on va vers le solstice d hiver ou le solstice d été : le Soleil étant plus bas ou plus haut respectivement. Dans l année, la longueur de l ombre est la même à la même heure une fois avant le solstice d été et une fois après ; par exemple le 22 mai et le 21 juillet, soit un mois avant le solstice et un mois après. Les jours de l équinoxe (trois mois avant et trois mois après) illustrent aussi cette propriété. De façon générale à une date donnée, il faut repérer la longueur de l ombre dans un réseau de courbes tracées sur l appareil pour avoir l heure solaire. 2. UN PEU DE GÉOMÉTRIE DANS L ESPACE L objectif est de tracer le réseau de courbes ; il faut repérer rigoureusement le Soleil dans la voûte céleste. Tous les calculs sont rapportés à la figure 2 ci-contre. Le nom de chaque élément est souvent issu du langage courant, ce qui simplifie la compréhension. Nous observons la sphère céleste depuis la Terre ; trois directions importantes sont à placer : celle de l axe de rotation de la Terre, puis le plan perpendiculaire qui détermine l équateur céleste ; la verticale du lieu qui définit le zénith, puis le plan perpendiculaire qui détermine l horizon ; la direction du Soleil. La colonne solaire BUP n o 852

3 BULLETIN DE L UNION DES PHYSICIENS 479 Figure 2 L angle entre l axe des pôles et la verticale définit la colatitude, ^π /2h- 1. L angle horaire AH est défini par le plan qui contient la verticale et l axe des pôles d une part et le plan qui contient le Soleil et l axe des pôles d autre part, il est compté croissant dans le sens rétrograde à partir de midi. La distance zénithale est l angle z sous lequel de la Terre on voit l arc entre le Soleil et le zénith. La déclinaison D est la hauteur du Soleil au-dessus de l équateur céleste elle varie de 23,45 à + 23,45 en passant par zéro. La première valeur atteinte au solstice d été (21 juin la seconde au solstice d hiver et la valeur zéro aux équinoxes) (cf. figure 3 page ci-après). Vue d un point du plan de l écliptique dans un repère héliocentrique, la trajectoire de la Terre et son axe permettent de comprendre les situations aux solstices et équinoxes (cf. figure 4 page ci-après). 3. UN PEU DE TRIGONOMÉTRIE SPHÉRIQUE Il s agit d appliquer une relation de base de la trigonométrie sphérique, sachant que

4 480 BULLETIN DE L UNION DES PHYSICIENS Figure 3 Figure 4 les angles qui figurent sont les compléments des angles connus. La relation ci-après donne la distance zénithale z en fonction de la latitude, de la déclinaison et de l angle horaire, elle est directement issue de la trigonométrie sphérique. Le triangle curviligne PSZ nous intéresse. La trigonométrie sphérique donne la relation entre ces quatre angles : cos(z) = cos(ps)*cos(pz) + sin(ps)*sin(pz)*cos(ah) d où nous tirons : cos(z) = sin(d).sin(l) + cos(d).cos(l).cos(ah) C est cette relation que l on va programmer au tableur. La colonne solaire BUP n o 852

5 BULLETIN DE L UNION DES PHYSICIENS 481 Figure 5 4. UN PEU DE GÉOMETRIE PLANE Trois situations particulières permettent de calculer simplement la longueur de l ombre, il faut se rappeler que z est l angle entre la verticale du lieu et la direction Terre Soleil. le jour de l équinoxe à midi (cf. figure 6) ; le jour du solstice d hiver à midi (cf. figure 7 page ci-après) ; le jour du solstice d été à midi (cf. figure 8 page ci-après). Figure 6 Ombre = h/tgλ

6 482 BULLETIN DE L UNION DES PHYSICIENS Ombre = h/tg(dm + λ) Figure 7 Ombre = h/tg(λ Dm) Figure 8 Figure 9 La colonne solaire BUP n o 852

7 BULLETIN DE L UNION DES PHYSICIENS CALCULS (cf. tableau 1 page ci-après) Ils sont faits au tableur, la latitude est fixée une fois pour toutes ; placée en haut de la feuille, nous pourrons l ajuster à la valeur du lieu ou d une ville convenus où la colonne devra être utilisée. Les valeurs des lignes trigonométriques sont mises en tête de feuille. Nous traçons les lignes donnant l heure tout au long de l année en commençant par midi. À chaque heure correspond une courbe. La variable est la déclinaison D, c est-à-dire la date. La fonction la longueur de l ombre. L heure est un paramètre que nous ferons varier pour tracer la famille de courbes, (cf. figure 9 page ci-contre). La variable D (déclinaison) varie de 0,4093 radian à + 0,4093 radian, le pas est 0,4093/12. L origine des dates est le jour du solstice d hiver. Le paramètre heure (AH) varie de 0 à pi. Le pas est égal à pi/12. AH = 0 à midi. Il faudra graduer les axes. Celui des dates (horizontal) est divisé en six (six mois égaux) et chaque division l est en trois. Cette division qui ne respecte pas le calendrier au jour près n affaiblit pas le repérage de la date, donc celle de l heure, en effet la déclinaison ne varie pas beaucoup d un jour à l autre. La précision reste de quelques minutes dans les conditions les plus favorables. Les graduations sur l axe des heures sont imposées par les courbes, elles ne sont pas équidistantes et l utilisateur devra extrapoler au mieux pour apprécier les fractions de l heure lorsqu il effectuera la lecture. La partie positive des courbes correspond à un Soleil qui n est pas encore levé. Les courbes tracées sont enroulées sur un cylindre pour limiter l encombrement d où le nom de colonne solaire. Les calculs correspondent à un style de longueur unité. La troisième colonne est celle du calcul de la longueur de l ombre à midi (12 heures, AH = 0), la quatrième est celle des calculs à 13 heures ou 11 heures, et ainsi de suite. Nous calculons le cosinus de Z avant de calculer la longueur de l ombre, en mettant les cosinus au-dessous des calculs de l ombre, la recopie est plus facile. 6. HEURE SOLAIRE ET HEURE LÉGALE La colonne solaire donne l heure solaire du lieu, l heure légale est celle qui vaut dans tout le pays. Pour l obtenir, il faut effectuer trois corrections : la première est liée à la longitude : il est par exemple midi solaire à Nice une demiheure environ avant Lourdes qui est pratiquement sur le méridien de Greenwich ; la seconde dite équation du temps apporte une correction comprise entre + 15 et 15 minutes environ selon la date ; La troisième liée à la décision des autorités du pays d avancer ou de reculer l heure légale par rapport à l heure solaire, elle est avancée de 1 ou 2 heures entières pour la

8 484 BULLETIN DE L UNION DES PHYSICIENS Tableau 1 : Présentation de la feuille de calculs et quelques valeurs. France selon la saison. Enfin, il faut penser au rôle de la réfraction atmosphérique qui fait apparaître le Soleil plus haut qu il ne l est en réalité lorsqu il est bas sur l horizon, ainsi nous voyons au Soleil couchant l image du Soleil sous l horizon ; le phénomène est aussi sensible au Soleil levant. En conséquence, la précision est d autant meilleure que le Soleil est haut sur l horizon, mais la correction n est pas chiffrable Correction de longitude En une heure, la Terre tourne de 15 degrés (360/24). Pour un point de longitude φ La colonne solaire BUP n o 852

9 BULLETIN DE L UNION DES PHYSICIENS 485 algébrique, exprimée en degrés décimaux, la correction en minutes est de 60*φ/15 = 4*φ. Par exemple pour Nice, ( 7,5 ) la correction est 30 minutes, ce que signifie qu il faut ajouter 30 minutes à l indication de la colonne. La longitude comme la latitude doit être donnée au demi-degré près L équation du temps (cf. figure 11) Concrètement, à midi par exemple, le Soleil vrai n est pas toujours dans le plan du méridien, il peut l avoir dépassé ou ne pas l avoir atteint. Il y a deux origines à ce phénomène, l une liée à la trajectoire de la Terre, l autre à l inclinaison de l axe de la Terre. La trajectoire de la Terre par rapport au Soleil vrai n est pas exactement une circonférence mais une ellipse ce qui fait qu elle ralentit lorsqu elle va vers son apogée et accélère lorsqu elle va vers le périgée conformément aux lois de Kepler. Par rapport au Soleil fictif, la trajectoire est une circonférence parcourue d un mouvement uniforme (cf. figure 10). Figure 10 L inclinaison de l axe intervient de façon moins évidente ; vous trouverez des explications, des calculs et des animations sur le site : Pour les calculs, nous pendrons comme bonne approximation la fonction suivante appelée équation du temps : T = 7,36sin(2pi(J 4,21)/365) 9,92sin(4pi(J + 9,90)/365) dans laquelle J est le numéro du jour, 1 étant celui du 1 er janvier). Lorsque la valeur donnée par l équation du temps est positive, il faut la soustraire pour obtenir le temps réel ; dans le cas contraire, il faut l ajouter. De façon générale, le temps réel est obtenu en soustrayant à l indication de la colonne la valeur indiquée par l équation du temps qu elle soit positive ou négative (cf. figure 11 page ci-après). Ces valeurs arrondies sont pratiquement celles que l on doit utiliser toutes les décades. Comme il faut tenir compte des corrections de longitude et de l équation du temps, une bonne méthode consiste à noter la somme algébrique des deux sur chaque ligne des décades, ainsi l utilisateur en dispose immédiatement.

10 486 BULLETIN DE L UNION DES PHYSICIENS Figure 11 Capuchon Style Zone des heures Lignes horaires Figure 12 La colonne solaire BUP n o 852

11 BULLETIN DE L UNION DES PHYSICIENS RÉALISATION PRATIQUE Nous pouvons utiliser comme support parfaitement cylindrique un emballage de mousse à raser, de produit insecticide avec le capuchon. Nous fixerons le style de façon à ce qu il puisse tourner avec le capuchon, et nous enroulerons les courbes sur le corps du cylindre (cf. figure 12 ci-contre). Ajuster la longueur du style. Elle est inévitable parce que le graphique est dilaté suivant la verticale pour utiliser la hauteur du support. La meilleure méthode consiste à installer un style trop long et à le couper à la bonne longueur à midi solaire par exemple. Un style plan passant par l axe du cylindre est recommandé parce que son ombre est une ligne mince lors qu il est convenablement orienté. L objet est esthétiquement convenable (cf. figure 12 ci-contre). Mais vous pouvez faire tourner la colonne dans du bois et sculpter vous-même les courbes et les chiffres avec de petites gouges ; les chiffres romains sont plus esthétiques et plus faciles à réaliser que les chiffres arabes. Mode d emploi Mettre le style en face de la date ; Installer le cylindre verticalement ; Faire tourner le tout pour obtenir une ombre rectiligne ; Lire l heure solaire puis effectuer les corrections pour avoir l heure légale. Note : La position verticale peut être obtenue en suspendant convenablement la colonne, mais alors la lecture est acrobatique. BIBLIOGRAPHIE Encyclopédie Universalis : Astrométrie. BOUASSE H. Astronomie théorique et pratique. Delagrave, GARINO C. Les cadrans solaires : leur calcul et leur construction. Bull. Un. Phys., janvier 1989, vol. 83, n 710, p TIRAPOLSKY I. Léanalemme du Soleil photographié en Bull. Un. Phys., avril 1993, vol. 87, n 753, p SUR LA TOILE Tous les sites contenant les mots : Sundial, cadran solaire, cadran analemmique, analemmatic sundial, solar time, etc Brookvile Road London SW6 7 BJ