Procédures de calcul mental

Transcription

1 Procédures de calcul mental ) Multiplication et division : Les multiplications et divisions automatisées : les tables de multiplication. Connaitre les carrés de, 2 et 3 : ²= ; ²= ; ²= Connaitre les premières puissances de 2 : ²= ; = ; = ; = ; = Connaitre les premières puissances de 3 : ²= ; = ; = ; = Connaitre les débuts des tables de 2 et 0 : = ; = ; = ; = ; = ; = Multiplications et divisions par 0 ; 00 ; 000 ; ; par 0, ; 0,0 ; 0,00 ; L écriture décimale des quantièmes : =, ; =, ; =,. Les multiplications et divisions par 2 qui doivent être quasiment automatisées. Multiplication par 2 : Le double du nombre. Le nombre + le nombre! =+ Division par 2 : La moitié du nombre. Le double, le triple, des quantièmes : =, ; =, ; =, Connaitre les propriétés de commutativité et d associativité de ces deux opérations : Exemple : 2 2,3 =2 2,3=00 2,3=2 3 Quelques procédures élémentaires pour ces deux opérations : Remarques : Ces procédures ne sont pas les seules. Il est important de les connaitre mais de rester libre face à un calcul! C est-à-dire, suivant la situation, une autre méthode peut-être plus efficace que l une des méthodes proposées ci-dessous : Multiplication par 3 On multiplie par 2 puis on ajoute le nombre. Multiplication par On multiplie par 2 puis encore par 2 Division par On divise par 2 puis encore par 2 Multiplication par On multiplie par 0, puis on divise par 2 ou encore on divise par 2 puis Division par On multiplie par 2, puis on divise par 0 ou encore on divise par 0 puis Multiplication par 6 On multiplie par 3 puis par 2 ou Division par 6 On divise par 3 puis par 2 ou Multiplication par 8 On multiplie par 2 puis encore par 2 puis encore par 2! Page

2 Division par 8 On divise par 2 puis encore par 2 puis encore par 2! Multiplication par 0, On divise par 2 Division par 0, On multiplie par 2 Multiplication par, On ajoute le nombre et la moitié du nombre ou on multiplie par 3 puis on divise par 2. Division par, On multiplie par 2 puis on divise par 3 : «On double le tiers du nombre» La distributivité Les identités remarquables (double distributivité) +=+ Exemple : 3=0+3= 0 + 3=0+=22 Pour calculer un carré ou encore le produit d une somme par une différence Exemples : 23 =20+3 = =29 23 =20+320"3=00"9=3 2) La soustraction, Trois procédures Cas où le 2 ème terme est petit : Exemple : 2"2,3 «grande différence» Dans ce cas-là, je pars du er terme et je retranche par étapes élémentaires! 2, 2 2 "0,3 "2 Résultat : 2, Cas où le 2 ème terme est proche du er : Exemple : 2,3",8 Dans ce cas-là, je pars du 2 ème terme et je j ajoute par étapes élémentaires!,8 2,3 0,2 2,3 Résultat : 2, Cas où il y a trop de chiffres : On pose, mais en ligne! 2 3,3 " 6 9, 6 2 3,3" 69,6= 82,9 3) L addition : Elle pose peu de problèmes! On part en général du plus grande terme On pense aux complémentaires à 0, 20 etc + =0 ; 2+ =0 ; 3+ =0 ; + =0 ; 2+ =20 ; 3+ =20 ; + =20 ; 23+ =30 Exemple : 8+3=3+8=3+6+2=0+2=2 Page 2

3 Application de ces procédures! 3 2= 2,3 2=,3 = 3 3= % &,' = ( ) = * * = '() = % &,) = 6²= 2"3,=, 26= 2,0 0,0= 2, 0,= 2,,= 62,= 2 8= 3 2= 0,2 86 = 9 2= 22,= 82+3= 0,,3 0=, 0= 9²=,3"3,= 3²= 23"= 32,9"29,92= 38 0,= 38,= + 2,= ) Décomposition en facteurs premiers : Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs. 2 ;3;;;;3;;9;23;29; sont tous premiers Théorème : Tout nombre entier autre que 0 et est soit premier soit un produit de facteurs premiers. Exemple 8=2² 3 On dit que ce nombre est composé. La décomposition pour un nombre composé est unique. A vous! Déterminer la DFP sans étape de calcul (DFP : Décomposition en Facteurs Premiers) = = 2= 98= 30= 8= 36= 00= 60= 630= Simplifier les fractions suivantes : +%& *, = * (² '² '+ = *) )+ +* ( = ', -& = Page 3

4 Travail sur les décimaux et les rationnels L ensemble de tous les nombres relatifs (on dit encore nombres réels) est noté R. Définitions Un réel est un décimal s il peut s écrire sous la forme d une fraction décimale. /0023 Fraction décimale : Remarque : < = è ; = <>= < et = étant deux entiers Un réel est un rationnel s il peut s écrire sous la forme d une fraction. Fraction : /0 023 / ?0 06@ Remarque : Tous les nombres entiers sont des décimaux et tous les nombres décimaux sont des nombres rationnels. En effet, une fraction décimale est une fraction (particulière) Des remarques : Attention, tous les réels admettent une (ou plusieurs) écritures décimales mais tous les réels ne sont pas des décimaux! Les décimaux admettent plusieurs écritures décimales. La plus utilisée est celle dont la partie décimale «se termine» Par exemple le nombre décimal ) %( s écrit 2,3 mais on peut encore l écrire 2,3000 '&² Attention, voici une écriture de ce nombre qui peut vous surprendre : 2,36999 «que des 9 à l infini» Je décompose sous forme additive ce décimal :,= ++,+, Vocabulaire important : centaines ; dizaines ; unités ; dixièmes ; centièmes ; millièmes ; On retient bien : «Un dixième» :,= => ; «un centième» :,= => ; «un millième» :,= => Exercice : ) Oralement, nommer ces décimaux! =0,003 ; =0, ; A =0,9 ; B =0,00 2) Ecrire ces décimaux sous forme C0 D où C et E sont deux entiers naturels. = ; =.. ; A =. ; B =. 3) Attention aux nombres décimaux négatifs! Voici quatre nombres décimaux négatifs, les exprimer sous la forme C0 D où C et E sont deux entiers. "0,00= ; ",0=.. ; "2,006 =. ; "0,00 =.. ) Calcul mental : a) Produits : On utilise mentalement le travail ci-dessus. 0,03 0,=.. ; 0,00 0,08=.. ; 0,0 0,= 0, 0,=..; 2,3 0,=..;,23 0,002= b) Sommes ; différences «3 dixièmes + centièmes» = ; 0,+0,002= «3 dixièmes " centièmes» = ; 2,"0,0 = Page

5 Exercice 2 : Les rationnels suivants sont-ils des décimaux? Si oui, donner une écriture décimale du nombre : Ecriture décimale Ecriture décimale Ecriture décimale 2 Oui 0, Exercice 3 : Calculer (résultats exacts) chaque fois que possible avec les écritures décimales : + = ; % + ' = * '& ; ( " ' = ) * ; ' '% + ' = ) * ; " = ; ( " ' = + * ; " + + ' = ) '& ; ( " ( = '&& ; ' ' "3 F + G = ; F " G = ; F " % + ' * = = * = ; ) + ' = G = Exercice : Exprimer sous forme d une fraction puis sous forme décimale si possible. Le tiers du quart 2 La moitié du tiers Le triple du quart 3 Le quart du tiers Le cinquième du triple 0, Le quart de la moitié Page

6 Utilisation des identités remarquables +H = I + H L + HI 98é ;6 ;?6M@ N?;632 98é ;6 2K èk 2K Je rappelle les carrés à connaitre : et "H = I 98é ;6 2K " H L ;?6M@ N?;632 + HI 98é ;6 èk 2K ²= = = = = = = = = = = = Carré du er terme Produit des deux termes Double produit Carré du 2 ème terme Résultat (Somme des trois termes) ²= + ² 23²= + ² 9²= " ² 3²= + ² 28²= " ²,2²= + ²,03²= + ² Utilisation de la 3 ème identité : " H OPQPR S TUVVéWX<YX + H OPQPR S Z[\\X = ² OPQPR " H² ]UVVéWX<YX TXZ YWWéZ er carré 2 ème carré Résultat (la différence) 9 2=20" =.,02 0,98= Développer le carré (ou le produit de la somme par la différence) d expressions littérales : Remarque importante (sur un exemple) On me demande de développer ^+². J utilise la ère identité ^+ =^²+2 ^ +² je ne vais pas m arrêter là. Je calcule 2 ^ =2^ puis ²=. Tout de même, j arrive en seconde, j ai ans, j aurais pu immédiatement donner la somme simplifiée! ^+ =^²+2^+. Page 6 Autre exemple : 3^"2 : Je sais que le carré de 3^ est 9^² et le carré de 2, c est Enfin, le produit entre 3^ et 2 est 6^ donc le double produit : 2^. J obtiens ainsi 3^"2 =9^²"2^+. A vous Je vous impose de travailler comme dans le 2 ème exemple!

7 ^"²=.. 3+2^²=.. ^+²=... ^ 2+²=.. 0,^+3 =.. ^"^+=... 3^"23^+2=.. `^ 3"2a`^ 3+2a=.. "3^""^+=.. "^+3²=.. Que remarquez-vous? Expliquez! "3"2^²=.. Savoir ne pas utiliser une identité remarquable pour calculer un carré! Supposons que l on me demande de calculer le carré de " ' % Je peux bien sûr travailler ainsi : F" ' % G = b '²c' " + %b ḇ ' = - " + + ' = * ' d e cf e F d e Gf c d g Quelle souffrance! Il est immédiat de calculer la différence : " ' = puis le carré qui vaut *!!! A vous! % % - Je calcule la somme ou la différence J élève au carré h+ 3 i h" 6 i h+ i h2" i Page, fin