EXTRAITS DU B.O. SPECIAL N 6 DU 28 AOÛT 2008 Connaissances Capacités Commentaires

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1 EXTRAITS DU B.O. SPECIAL N 6 DU 28 AOÛT 2008 Connaissances Capacités Commentaires 4.1 Longueurs, masses, durées 4.3 Aires : mesure, comparaison et calcul d aires Effectuer, pour les longueurs et les masses, des changements d unités de mesure. Comparer géométriquement des périmètres. Calculer le périmètre d un polygone. Connaître et utiliser la formule donnant la longueur d un cercle. Comparer géométriquement des aires. Déterminer l aire d une surface à partir d un pavage simple. Différencier périmètre et aire. Calculer l aire d un rectangle dont les dimensions sont données. Connaître et utiliser la formule donnant l aire d un rectangle. Calculer l aire d un triangle rectangle, *d un triangle quelconque dont une hauteur est tracée. Connaître et utiliser la formule donnant l aire d un disque. Effectuer pour les aires des changements d unités de mesures Il s agit d entretenir les connaissances acquises à l école élémentaire, de compléter et consolider l usage d instruments de mesure, en s appuyant sur les équivalences entre les différentes unités. La comparaison de périmètres sans avoir recours aux formules est particulièrement importante pour affermir le sens de cette notion. Le travail sur les périmètres permet aussi une initiation aux écritures littérales. Poursuivre le travail effectué à l école élémentaire, en confrontant les élèves à des problèmes. La comparaison d aires sans avoir recours à des formules est particulièrement importante pour affermir le sens de cette notion. Certaines activités proposées conduisent les élèves à comprendre notamment que périmètre et aire ne varient pas toujours dans le même sens. Une démarche expérimentale permet de vérifier la formule de l aire du disque. Note : les points du programme (connaissances, capacités et exemples) qui ne sont pas exigibles pour le socle sont écrits en italiques. Si la phrase en italiques est précédée d un astérisque l item sera exigible pour le socle dans une année ultérieure. Dire que l exigibilité pour le socle est différée ne veut pas dire que la capacité ne doit pas être travaillée bien au contraire! mais que les élèves pourront bénéficier de plus de temps pour la maîtriser. Les figures ne sont pas toujours représentées avec les mesures données dans les énoncés. «u.a.» signifie «unités d aire» et «u.l.» signifie «unités de longueur». Je révise 1 : B 2 : C 3 : B 4 : A Activités 2. a. 1 = 2 = 36 u.a. b. 1 = 6 4 = 36 u.l. et 2 = 13 2 = 26 u.l. donc : 1 > 2. c. Les deux figures ont la même aire mais pas le même périmètre. Donc la réponse à la question posée est non = 6 u.a. et 2 = 5 u.a. donc : 2 > 1 ; d autre part, 2 = 8 u.l. et 1 = 12 u.l. donc : 2 < 1. L affirmation est vraie. Comprendre que périmètre et aire ne varient pas toujours dans le même sens (cf. programme officiel). 1. a. 1 = 2. b. 1 < 2. c. Les deux figures ont le même périmètre, mais pas la même aire. Donc la réponse à la question posée est non. Utiliser diverses méthodes pour déterminer le périmètre d une figure. 1. La manipulation montre que le périmètre de la figure 2 est le plus grand. 2. Périmètre du rectangle : 15 cm. Périmètre du triangle rectangle : 12 cm. Périmètre du polygone : 28 cm. Chapitre 12 Périmètres et aires 87

2 Savoir comparer et calculer des aires sans avoir recours à des formules (cf. programme officiel). 1. Chacune des quatre aires est égale à 5 u.a. 2. a. b. 1. a. Les calculs donnent 3,1 comme valeur approchée par défaut au dixième près de chaque quotient. b. On admet que les longueurs de ficelle sont obtenues en multipliant les diamètres par le nombre π : le périmètre d un disque est proportionnel à son diamètre. 2. Le coefficient de proportionnalité est égal à π. 3. La valeur exacte de ce périmètre est donnée par : π = π d ou = π (2 r) = 2 π r. Connaître la formule donnant l aire d un disque. c. Les aires des figures 5, 6 et 7 sont donc égales. 3. a 8 = 16 u.a. ; 9 = 14 u.a. ; 10 = 15 u.a. (u.a. : le carreau rouge). b. 8 = 32 u.a. ; 9 = 28 u.a. ; 10 = 30 u.a. (u.a. : le triangle vert). c. 9 < 10 < u.a. < 11 < 10 u.a. ; 17 u.a. < 12 < 18 u.a. ; 12 u.a. < 13 < 13 u.a = 3 cm 2 ; 2 = 0,5 cm 2 ; 3 = 4 cm On peut faire choisir un disque de plus grand rayon. 2. a. = r. b. L = π r. c. (ABCD) = r π r = π r r. Exercices Savoir effectuer, pour les aires, des changements d unités de mesure. 1 Ces trois figures ont la même aire, égale à 28 carreaux. 1. Il faut 100 carrés de 1 cm de côté pour recouvrir un carré de 1 dm de côté. 2. a 1 dm 2 = 100 cm 2 ; 1 cm 2 = 0,01 dm 2. b. Dans la bulle : «100» «6,25 dm 2 = 625 cm 2». 88 Savoir calculer l aire d un triangle rectangle, d un triangle quelconque dont une hauteur est tracée. 1. a. (ABCD) = 40 cm 2. b. (ABC) = (ADC). c. (ABC) = 1 2 (ABCD) = 20 cm2. 2. On obtient 5,25 cm a. (DEF) = 1 2 (AEFD) et (CEF) = 1 2 (EBCF). b. (ECD) = (DEF) + (CEF) = 1 2 (AEFD) (EBCF) = 1 2 (ABCD). c. (RST) = 1 2 (SVUT) donc : (RST) = 1 2 a h. s Conjecturer l existence d une relation de proportionnalité entre la longueur du cercle et le diamètre. Connaître et utiliser la formule donnant la longueur d un cercle. 2 a. 17 dam2 = m 2. b. 0,45 hm 2 = m 2. c. 257 dm 2 = 2,57 m 2. d cm 2 = 0,77 m 2. 3 a. 27,8 m2 = 0,278 dam 2. b. 0,002 km 2 = m 2. c. 877,4 mm 2 = 8,774 cm 2. d. 0,049 7 hm 2 = dm 2. 4 a. = 49 cm2. b. = 28 cm. 5 a. = 28 cm2. b. = 22 cm. 6 a. = 17,5 cm2. b. = 177,5 cm a. 18,8 cm. b. 12,6 cm. a. 94,2 cm. b. 37,7 cm. a. (4 3) + (2 2) = 16 donc l aire de cette figure est égale à 16 cm 2. b. Le périmètre de cette figure est égal à 18 cm. a. = 29,2 cm. b. (AOB) = 5 cm 2 et (BOC) = 9 cm 2. c. (ABCD) = 28 cm 2.

3 25 On obtient : 2 cm ; 2,9 cm et 3,2 cm. 11 Aires : 2 < 1 < 4 < 3. Périmètres : 4 < 2 < 3 et 3 = Côté du carré (cm) Aire du carré (cm 2 ) Périmètre du carré (en cm) 5 8, , , Ces deux figures n ont pas le même périmètre. Aire du carré : 16 carreaux. Aire de la figure orange : 9 + (4 : 2) + (2 : 2) + (8 : 2) = 16 carreaux. Les deux figures ont donc la même aire = 2 u.a. 2 = 14 u.a. 3 = 9 u.a. 2. L aire de la figure bleue est égale à 28 unités d aire = 6 cm2. 2 = 16 cm 2. 3 = 10,5 cm a. = 14 cm. b. c = 3,2 cm. AD = 3,8 cm. 18 a. 0,715 km2 = m 2. b. 0, hm 2 = 42,5 m 2. c. 872 mm 2 = 0, m 2. d. 4,54 dm 2 = 454 m a. 788 dm2 = 7,88 m 2. b. 500 hm 2 = 5 km 2. c. 0,755 m 2 = cm 2. d cm 2 = 8,75 m a. 8,75 ha = m2. b. 0,087 a = 8,7 m 2. c. 0, ha = 552,4 m 2. d. 7,809 a = 780,9 m a. 47,504 dam2 = 47,504 a = 0, ha. b dam 2 = a = 175 ha. c cm 2 = 0, a = 0, ha. d. 47,5 hm 2 = 47,5 ha = a. e. 0, km 2 = 0,588 ha = 58,8 a. f dm 2 = 91,4 a = 0,914 ha ,8 km2 = ha. La plus grande des deux îles est Saint-Martin. 23 a. Le côté de ce carré mesure 6 cm. b. La longueur de ce rectangle est égale à 9 cm. 24 Fig. 1 : 1 = 5 cm2. Fig. 2 : 2 = 3,5 cm ,5 cm2. 2. a. C 251,2 cm soit environ 2,51 m. b. C 502,4 cm soit environ 5,02 m. 28 La circonférence de ce cratère de lune est environ égale à 358 km. 29 Rayon du disque (en cm) Périmètre du disque (en cm) Aire du disque (en cm 2 ) 3 18,8 28,3 4,5 28,3 63, , L = 2 5 π = 10 π. 2. a. L 1 = 5 π. b. L 2 = 2,5 π. a. = π 5,5 5,5 donc = 30,25 π. b. 95 cm 2. a. L = 4 π (en cm). b. Le diamètre de ce disque est égal à 7 u.l. a. Le rayon de ce disque est égal à 8 u.l. b. Le rayon de ce disque est égal à 3 u.l. 34 Aire de la figure bleue : 20 + π 22 32,6 cm 2. Aire de la figure jaune : 56 + (5 3) : 2 = 63,5 cm Aire du triangle IFG : 5 cm2. Aire du losange EFGH : 20 cm ,2 + 3,8 + 1,8 + (π 2,8) : 2 19,2. Le périmètre du bassin est environ égal à 19,2 m. Thème de convergence 37 a. Ordre de grandeur de la surface d un panneau : 3 m 2. b. 18 : 3 = 6 donc on utilisera 6 panneaux pour couvrir 18 m 2. À l oral 38 a. 3,8 m2 = 380 dm 2. b. 820 cm 2 = 8,2 dm 2. c. 0,031 dam 2 = 3,1 m 2. d mm 2 = 14 cm 2. Chapitre 12 Périmètres et aires 89

4 39 On obtient 28 u.a. 40 On obtient 10,5 cm2. 41 a. Faux : le cm2 est une unité d aire. b. Vrai. c. Faux, il est égal à 16 cm. d. Faux : 3,7 dm 2 = 370 cm 2. e. Vrai a. (ABCE) = 48 cm 2. (CDE) = 54 cm 2. b. (ABCD) = (ABCE) + (CDE) = 102 cm a. (ABCE) = 32 cm. (CDE) = 36 cm. b. Non : le segment commun [EC] est à l intérieur de la figure. c. (ABCD) = 44 cm. a. Le périmètre de ce carré est égal à 24 cm. b. La largeur de ce rectangle est égale à 4 cm. 58 L équateur mesure environ km. 48 a. Faux : deux figures peuvent avoir la même aire sans être superposables. Par exemple, un carré de côté 6 cm et un rectangle de longueur 9 cm et de largeur 4 cm. b. Faux : 3,14 est une valeur approchée de π. c. Faux : le cm est une unité de longueur et non une unité d aire. d. Faux : par exemple, un carré de côté 4 cm et un rectangle de longueur 5 cm et de largeur 3 cm ont le même périmètre, mais pas la même aire. e. Faux : elle en est le quadruple = 25 u.a. 2 = 20 u.a. 3 = 22 u.a. 50 ( 1 2 π 42 ) (π 2 2 ) = π L aire de la figure colorée est donc égale à 4 π, soit environ 12,6 cm 2. a. 68 : 4 = 17. Le côté de ce carré mesure 17 cm. b. Le côté de ce carré mesure 9 cm. a. Le côté de ce carré mesure 6 m et son périmètre est égal à 24 m. b. 42,4 : 4 = 10,6. Le côté de ce carré mesure 10,6 cm, et son aire est égale à 112,36 cm La figure jaune est constituée de 4 quarts de cercle de même rayon. Sa longueur est celle d un cercle de rayon 2 cm. On obtient 12,6 cm environ. L aire de cette figure s obtient par soustraction entre l aire du carré rouge, et l aire d un disque de rayon 2 cm : 16 (π 2 2). On obtient 3,43 cm 2 environ = π 1 + (50 2), donc : 103 cm (soit 1,03 m). a. Le contour de la figure correspond à deux cercles de diamètre 4 cm, donc : = 2 (π 4). Le périmètre de cette figure est environ égal à 25,1 cm. b. Les parties supérieure et inférieure peuvent être comblées par les demi-disques gauche et droit, pour former un carré de côté 4 cm, dont l aire est égale à 16 cm 2. On additionne les longueurs des demi-cercles : = 12 π. On obtient : 37,7 cm. La longueur du demi-cercle noir est toujours égale à la somme des longueurs des demi-cercles bleus (orange dans le manuel) a. 35 : 7 = 5. La largeur de ce rectangle est égale à 5 cm. b. 85 : 8,5 = 10. La longueur de ce rectangle est égale à 10 m. Trois couples (longueur ; largeur) possibles : (100 ; 1) ; (80 ; 1,25) et (50 ; 2). r d 55 a. (4 6) + 1 (π 1 1) 25,6 2 donc : 25,6 cm². b. (6 2) (1 2) + (π 1) 21,1 donc : 21,1 cm Cet exercice permet de mettre en évidence que l aire d une figure composée peut être obtenue par addition des aires des figures qui la composent. En effet : L (demi-cercle noir) = π r. L (demi-cercles bleus) = π r (c est la longueur d un cercle de diamètre r). 64 1re figure : a. = 4,5 4 = 18 u.a. b. = (6 6) (4 4,5) = 18 u.a. 2 e figure : a. = 24 + (1 4) = 28 u.a. b. = (6 6) 8 = 28 u.a b. 2. c. 3. b.

5 Thème de convergence 66 a ha. b m2. 70 Il faut penser à encadrer le triangle comme le montre le dessin. On obtient : = = 7 (carreaux). Argumenter et débattre 67 a. Faux : l aire d un disque de rayon 6 cm est le quadruple de celle d un disque de rayon 3 cm. b. Vrai : sa partie décimale n est pas finie. c. Vrai Ces trois aires sont égales à (AB AD) : 2. Dans la figure 1, les triangles rectangles de même couleur forment les rectangles jaune et orange de la figure 2. Dans chaque figure, l «aire bleue» est obtenue en soustrayant des aires égales à l aire du même grand carré. 71 Pour les curieux Chaque silhouette a pour aire la somme des aires des pièces du jeu ; donc les deux silhouettes ont la même aire. Mais elles n ont pas le même périmètre. 73 Conjecture : de tous les rectangles de périmètre 50 cm, celui qui a la plus grande aire est celui dont la longueur et la largeur sont égales à 12,5 cm, c est-à-dire le carré de côté 12,5 cm. 74 Conjecture : de tous les rectangles d aire 36 cm 2, celui qui a le plus petit périmètre est celui dont la longueur et la largeur sont égales à 6 cm, c est-à-dire le carré de côté 6 cm. Chapitre 12 Périmètres et aires 91