Langages formels, automates et grammaires formelles

Transcription

1 Langages formels, automates et grammaires formelles N. Prcovic Langages formels, automates et grammaires formelles p.1/94

2 Contenu général du cours Etude des langages formels selon deux manières de les modéliser : les machines abstraites (automates et machines de Turing) les grammaires formelles. Langages formels, automates et grammaires formelles p.2/94

3 Intérêt des langages formels Résolution des problèmes de décision : "est-ce que [ceci] est une solution à [tel problème]?" (-> oui ou non). Langages formels, automates et grammaires formelles p.3/94

4 Intérêt des langages formels Résolution des problèmes de décision : "est-ce que [ceci] est une solution à [tel problème]?" (-> oui ou non). Est-ce que ce nombre est premier? Est ce que ce texte est un programme C syntaxiquement correct? Langages formels, automates et grammaires formelles p.3/94

5 ien entre pbs de décision et lang. formels Un langage formel se définit comme un ensemble de suites de symboles. Lien : solution du problème élément du langage. Langages formels, automates et grammaires formelles p.4/94

6 ien entre pbs de décision et lang. formels Un langage formel se définit comme un ensemble de suites de symboles. Lien : solution du problème élément du langage. Est-ce que cette suite de chiffres représente un nombre premier? Langages formels, automates et grammaires formelles p.4/94

7 ien entre pbs de décision et lang. formels Un langage formel se définit comme un ensemble de suites de symboles. Lien : solution du problème élément du langage. Est-ce que cette suite de chiffres représente un nombre premier? Est ce que cette suite de caractères correspond à un programme C syntaxiquement correct? Langages formels, automates et grammaires formelles p.4/94

8 ien entre pbs de décision et lang. formels Un langage formel se définit comme un ensemble de suites de symboles. Lien : solution du problème élément du langage. Est-ce que cette suite de chiffres représente un nombre premier? Est ce que cette suite de caractères correspond à un programme C syntaxiquement correct? De façon générale : "Est-ce que [cette suite de symboles] appartient à [l ensemble des suites de symboles qui correspondent à une solution de mon problème]?". Langages formels, automates et grammaires formelles p.4/94

9 Historique Machine de Turing (années 30) pour modéliser une machine qui résout le plus de problèmes possibles. Langages formels, automates et grammaires formelles p.5/94

10 Historique Machine de Turing (années 30) pour modéliser une machine qui résout le plus de problèmes possibles. Automates (années 40 et 50) pour modéliser certaines fonctionnalités du cerveau. Langages formels, automates et grammaires formelles p.5/94

11 Historique Machine de Turing (années 30) pour modéliser une machine qui résout le plus de problèmes possibles. Automates (années 40 et 50) pour modéliser certaines fonctionnalités du cerveau. Grammaires formelles (fin des années 50, Chomsky) pour modéliser les langues naturelles. Actuellement : pour la compilation. Langages formels, automates et grammaires formelles p.5/94

12 Equivalences entre machines abstraites et grammaires formelles Langage formel Machine abstraite Grammaire récursiv. énum. Machines de Turing non restreintes contextuels MdT bornées linéair. contextuelles hors contexte Automates à pile hors contexte rationnels Automates régulières Langages formels, automates et grammaires formelles p.6/94

13 Les langages formels Les langages formels représentent uniquement l aspect syntaxique des langages et non la sémantique qu on pourrait leur associer (comme on le ferait avec les langues naturelles). Langages formels, automates et grammaires formelles p.7/94

14 Les langages formels Définition Alphabet Un alphabet Σ est un ensemble fini, non vide, de symboles. Langages formels, automates et grammaires formelles p.8/94

15 Les langages formels Définition Alphabet Un alphabet Σ est un ensemble fini, non vide, de symboles. Ex : l ensemble {0, 1} des 2 chiffres binaires, l ensemble des 10 chiffres arabes, l ensemble des 26 lettres de l alphabet français, l ensemble des caractères ASCII, etc. Langages formels, automates et grammaires formelles p.8/94

16 Les langages formels Définition Mot (ou chaîne) Un mot w est une suite de symboles d un alphabet donné. La longueur d un mot w, noté w est le nombre de symboles qu il contient. Le mot vide, noté ǫ, est le mot de longueur nulle. Langages formels, automates et grammaires formelles p.9/94

17 Les langages formels Définition Mot (ou chaîne) Un mot w est une suite de symboles d un alphabet donné. La longueur d un mot w, noté w est le nombre de symboles qu il contient. Le mot vide, noté ǫ, est le mot de longueur nulle. Ex : est un mot créé à partir de l alphabet {0, 1} et a pour longueur 5, tous les fichiers ASCII sont des mots créés à partir des caractères ASCII. Langages formels, automates et grammaires formelles p.9/94

18 Les langages formels Définition Sous-mot Un sous-mot v est une sous-suite de la suite des symboles d un mot w. Langages formels, automates et grammaires formelles p.10/94

19 Les langages formels Définition Sous-mot Un sous-mot v est une sous-suite de la suite des symboles d un mot w. Ex : si w = abcd alors abd, cd, ac, b, abcd et ǫ sont des exemples de sous-mots de w. Langages formels, automates et grammaires formelles p.10/94

20 Les langages formels Définition Concaténation de mots La concaténation de 2 mots w et w est le mot égal à la suite des symboles de w suivi de la suite des symboles de w. Elle se note w.w ou ww. Langages formels, automates et grammaires formelles p.11/94

21 Les langages formels Définition Concaténation de mots La concaténation de 2 mots w et w est le mot égal à la suite des symboles de w suivi de la suite des symboles de w. Elle se note w.w ou ww. Ex : La concaténation de w = abc et de w = fg est w.w = abcfg. Langages formels, automates et grammaires formelles p.11/94

22 Les langages formels Définition Facteur d un mot Le facteur v d un mot w est un mot tel qu il existe des mots u et u tels que w = u.v.u. Un facteur gauche (ou préfixe) est un facteur tel que u = ǫ. Un facteur droit (ou suffixe) est un facteur tel que u = ǫ. Une occurence d un facteur est l apparition de ce facteur a une position précise dans le mot. Langages formels, automates et grammaires formelles p.12/94

23 Les langages formels Définition Facteur d un mot Le facteur v d un mot w est un mot tel qu il existe des mots u et u tels que w = u.v.u. Un facteur gauche (ou préfixe) est un facteur tel que u = ǫ. Un facteur droit (ou suffixe) est un facteur tel que u = ǫ. Une occurence d un facteur est l apparition de ce facteur a une position précise dans le mot. Remarque : un facteur est un sous-mot mais l inverse n est pas vrai en général. Langages formels, automates et grammaires formelles p.12/94

24 Les langages formels Définition Produit de 2 alphabets On note Σ 1 l ensemble des mots de longueur 1 constitués à partir de chacun des symboles de Σ. Le produit de 2 alphabets Σ et Σ est l ensemble de mots défini par Σ.Σ = { w.w w Σ 1, w Σ 1 }. Langages formels, automates et grammaires formelles p.13/94

25 Les langages formels Définition Produit de 2 alphabets On note Σ 1 l ensemble des mots de longueur 1 constitués à partir de chacun des symboles de Σ. Le produit de 2 alphabets Σ et Σ est l ensemble de mots défini par Σ.Σ = { w.w w Σ 1, w Σ 1 }. Ex : si Σ = {a, b} et Σ = {c, d} alors Σ.Σ = {ac, ad, bc, bd}. Langages formels, automates et grammaires formelles p.13/94

26 Les langages formels Définition Puissance d un alphabet La k eme puissance d un alphabet Σ, notée Σ k, se définit par : Σ 0 = {ǫ} et k > 0, Σ k = Σ k 1.Σ 1. C est l ensemble de tous les mots de longueur k que l on peut former à partir de Σ. Langages formels, automates et grammaires formelles p.14/94

27 Les langages formels Définition Puissance d un alphabet La k eme puissance d un alphabet Σ, notée Σ k, se définit par : Σ 0 = {ǫ} et k > 0, Σ k = Σ k 1.Σ 1. C est l ensemble de tous les mots de longueur k que l on peut former à partir de Σ. Ex : si Σ = {a,b} alors Σ 0 = {ǫ}, Σ 1 = {a,b}, Σ 2 = {aa,ab,ba,bb}, etc. Langages formels, automates et grammaires formelles p.14/94

28 Les langages formels Définition Puissance d un alphabet La k eme puissance d un alphabet Σ, notée Σ k, se définit par : Σ 0 = {ǫ} et k > 0, Σ k = Σ k 1.Σ 1. C est l ensemble de tous les mots de longueur k que l on peut former à partir de Σ. Ex : si Σ = {a,b} alors Σ 0 = {ǫ}, Σ 1 = {a,b}, Σ 2 = {aa,ab,ba,bb}, etc. On appelle étoile d un alphabet Σ = Σ 0 Σ 1 Σ 2... C est l ensemble de tous les mots qu on peut former à partir de Σ. On note Σ + le même ensemble mais privé du mot vide : Σ = Σ + {ǫ}. Langages formels, automates et grammaires formelles p.14/94

29 Les langages formels Définition Langage Un langage L se définit à partir d un alphabet Σ comme étant un sous-ensemble de Σ. Langages formels, automates et grammaires formelles p.15/94

30 Les langages formels Définition Langage Un langage L se définit à partir d un alphabet Σ comme étant un sous-ensemble de Σ. Tout sous-ensemble de Σ est potentiellement un langage, y compris le langage vide (ne contenant aucun mot), le langage {ǫ} (contenant uniquement le mot vide) et le langage égal à Σ. Langages formels, automates et grammaires formelles p.15/94

31 Les langages formels Définition Langage Un langage L se définit à partir d un alphabet Σ comme étant un sous-ensemble de Σ. Tout sous-ensemble de Σ est potentiellement un langage, y compris le langage vide (ne contenant aucun mot), le langage {ǫ} (contenant uniquement le mot vide) et le langage égal à Σ. Ex : le langage des chiffres binaires pairs (c-a-d se terminant par 0), le langage des nombres entiers décimaux inférieurs à 100, le langage des mots français du Larousse, etc. Langages formels, automates et grammaires formelles p.15/94

32 Les langages formels En général, on définira un langage en utilisant une notation ensembliste de la forme {w propriété sur w}, qui signifie "l ensemble des mots w (de Σ ) tels qu ils respectent une certaine propriété". Ex : {w w se termine par a}, {w 2 w 5}. Langages formels, automates et grammaires formelles p.16/94

33 Les langages formels En général, on définira un langage en utilisant une notation ensembliste de la forme {w propriété sur w}, qui signifie "l ensemble des mots w (de Σ ) tels qu ils respectent une certaine propriété". Ex : {w w se termine par a}, {w 2 w 5}. Remarque : l ensemble des parties de Σ, noté P(Σ ) ou 2 Σ, est l ensemble de tous les langages sur Σ. Langages formels, automates et grammaires formelles p.16/94

34 Les langages formels Définition Produit de langages Le produit (de concaténation) de 2 langages L et L est défini par : L.L = {w.w w L, w L }. Langages formels, automates et grammaires formelles p.17/94

35 Les langages formels Définition Puissance d un langage La k eme puissance d un langage L, notée L k, se définit par : L 0 = {ǫ} et k > 0, L k =L k 1.L. Langages formels, automates et grammaires formelles p.18/94

36 Les langages formels Définition Puissance d un langage La k eme puissance d un langage L, notée L k, se définit par : L 0 = {ǫ} et k > 0, L k =L k 1.L. Ex : si L= {ab,cd} alors L 0 = {ǫ}, L 1 = {ab,cd}, L 2 = {abab,abcd,cdab,cdcd}, etc. Langages formels, automates et grammaires formelles p.18/94

37 Les langages formels Définition Puissance d un langage La k eme puissance d un langage L, notée L k, se définit par : L 0 = {ǫ} et k > 0, L k =L k 1.L. Ex : si L= {ab,cd} alors L 0 = {ǫ}, L 1 = {ab,cd}, L 2 = {abab,abcd,cdab,cdcd}, etc. On appelle étoile d un langage, le langage L = L 0 L 1 L 2... Il contient tous les mots qu on peut obtenir en concaténant un nombre quelconque de mots de L. On appelle étoile propre de L et on note L + le même langage mais privé du mot vide : L + = L /{ǫ}. Langages formels, automates et grammaires formelles p.18/94

38 Les langages formels Définition Puissance d un langage La k eme puissance d un langage L, notée L k, se définit par : L 0 = {ǫ} et k > 0, L k =L k 1.L. Ex : si L= {ab,cd} alors L 0 = {ǫ}, L 1 = {ab,cd}, L 2 = {abab,abcd,cdab,cdcd}, etc. On appelle étoile d un langage, le langage L = L 0 L 1 L 2... Il contient tous les mots qu on peut obtenir en concaténant un nombre quelconque de mots de L. On appelle étoile propre de L et on note L + le même langage mais privé du mot vide : L + = L /{ǫ}. Remarque : l étoile d un langage fini est un langage infini dénombrable. Langages formels, automates et grammaires formelles p.18/94

39 Automates d états finis Automate : machine abstraite qui modélise un système discret dont l état va varier au cours du temps à cause d influences externes. Langages formels, automates et grammaires formelles p.19/94

40 Automates d états finis Automate : machine abstraite qui modélise un système discret dont l état va varier au cours du temps à cause d influences externes. On peut représenter un automate par un graphe dont chaque sommet est un état et chaque arc, étiqueté par un nom d action, est une transition possible d un état vers un autre. Langages formels, automates et grammaires formelles p.19/94

41 Automates d états finis Automate : machine abstraite qui modélise un système discret dont l état va varier au cours du temps à cause d influences externes. On peut représenter un automate par un graphe dont chaque sommet est un état et chaque arc, étiqueté par un nom d action, est une transition possible d un état vers un autre. Un automate possède un état initial et un nombre quelconque d états finaux (désirés pour le système). Langages formels, automates et grammaires formelles p.19/94

42 Automates d états finis Automate : machine abstraite qui modélise un système discret dont l état va varier au cours du temps à cause d influences externes. On peut représenter un automate par un graphe dont chaque sommet est un état et chaque arc, étiqueté par un nom d action, est une transition possible d un état vers un autre. Un automate possède un état initial et un nombre quelconque d états finaux (désirés pour le système). L automate vérifie si la suite d actions permet de passer de l état initial à un état final. Langages formels, automates et grammaires formelles p.19/94

43 Exemple On veut modéliser un système simple composé d un coffre-fort et d un document top secret. On peut agir sur le système en ouvrant ou en fermant le coffre ou en plaçant ou en retirant le document du coffre. Le système peut avoir 4 états : (0) coffre fermé et vide, (1) coffre ouvert et vide, (2) coffre ouvert et plein et (3) coffre fermé et plein. Etat final (désiré) : mettre en sûreté notre document (état 4). Etat initial : état 0. Problème (de décision) : est-ce que [cette suite d actions] permet de mettre le document en sécurité? Langages formels, automates et grammaires formelles p.20/94

44 Automates d états finis déterministes Définition Automate d états finis déterministe Un automate d états finis déterministe (AEFD) est un quintuplet (Q, Σ, δ, q 0, F) où : Langages formels, automates et grammaires formelles p.21/94

45 Automates d états finis déterministes Définition Automate d états finis déterministe Un automate d états finis déterministe (AEFD) est un quintuplet (Q, Σ, δ, q 0, F) où : Q est un ensemble fini d états. Langages formels, automates et grammaires formelles p.21/94

46 Automates d états finis déterministes Définition Automate d états finis déterministe Un automate d états finis déterministe (AEFD) est un quintuplet (Q, Σ, δ, q 0, F) où : Q est un ensemble fini d états. Σ est un alphabet contenant des symboles d entrée. Langages formels, automates et grammaires formelles p.21/94

47 Automates d états finis déterministes Définition Automate d états finis déterministe Un automate d états finis déterministe (AEFD) est un quintuplet (Q, Σ, δ, q 0, F) où : Q est un ensemble fini d états. Σ est un alphabet contenant des symboles d entrée. δ : Q Σ Q est la fonction de transition telle que δ(q i, s) = q j ssi dans l état q i la lecture du symbole s fait passer dans l état q j. Langages formels, automates et grammaires formelles p.21/94

48 Automates d états finis déterministes Définition Automate d états finis déterministe Un automate d états finis déterministe (AEFD) est un quintuplet (Q, Σ, δ, q 0, F) où : Q est un ensemble fini d états. Σ est un alphabet contenant des symboles d entrée. δ : Q Σ Q est la fonction de transition telle que δ(q i, s) = q j ssi dans l état q i la lecture du symbole s fait passer dans l état q j. q 0 est l état initial. Langages formels, automates et grammaires formelles p.21/94

49 Automates d états finis déterministes Définition Automate d états finis déterministe Un automate d états finis déterministe (AEFD) est un quintuplet (Q, Σ, δ, q 0, F) où : Q est un ensemble fini d états. Σ est un alphabet contenant des symboles d entrée. δ : Q Σ Q est la fonction de transition telle que δ(q i, s) = q j ssi dans l état q i la lecture du symbole s fait passer dans l état q j. q 0 est l état initial. F Q est l ensemble des états finaux. Langages formels, automates et grammaires formelles p.21/94

50 Représentations d un automate On peut représenter un automate par une table de transition. Cette table contient : en ligne les états possibles de l automate. en colonne les symboles de Σ. L état initial est préfixé par une flèche. Les états finaux sont préfixés par une astérisque. Chaque case du tableau contient l état résultant de la lecture du symbole en colonne à partir de l état en ligne. Langages formels, automates et grammaires formelles p.22/94

51 Représentations d un automate On peut représenter un automate par une table de transition. Cette table contient : en ligne les états possibles de l automate. en colonne les symboles de Σ. L état initial est préfixé par une flèche. Les états finaux sont préfixés par une astérisque. Chaque case du tableau contient l état résultant de la lecture du symbole en colonne à partir de l état en ligne. o f p r q 0 q 1 q 1 q 0 q 2 q 2 q 3 q 1 a b *q 0 q 1 q 1 q 1 q 2 q 1 Langages formels, automates et grammaires formelles p.22/94 *q q

52 Représentations d un automate On peut aussi représenter un AEFD par un diagramme de transition. Il s agit d un graphe dont : les sommets sont les états de Q, les arcs étiquetés par des symboles de Σ sont les transitions d un état à un autre suite à la lecture d un symbole. l état initial est signalé par une flèche entrante. les états finaux sont cerclés. Langages formels, automates et grammaires formelles p.23/94

53 AEFD Définition Extension aux mots de la fonction de transition La fonction de transition peut être étendue aux mots. Son extension δ est définie sur Q Σ Q avec : δ(q i, ǫ) = q i. w Σ, c Σ: δ(q i, w.c) = δ( δ(q i, w), c). Langages formels, automates et grammaires formelles p.24/94

54 AEFD Définition Extension aux mots de la fonction de transition La fonction de transition peut être étendue aux mots. Son extension δ est définie sur Q Σ Q avec : δ(q i, ǫ) = q i. w Σ, c Σ: δ(q i, w.c) = δ( δ(q i, w), c). δ(q i, w) = q j signifie que la lecture du mot w à partir de l état q i mène à l état q j. Langages formels, automates et grammaires formelles p.24/94

55 AEFD Définition Mot accepté par un automate Un mot w Σ est dit accepté par un automate (Q, Σ, δ, q 0, F) si δ(q 0, w) F. Langages formels, automates et grammaires formelles p.25/94

56 AEFD Définition Mot accepté par un automate Un mot w Σ est dit accepté par un automate (Q, Σ, δ, q 0, F) si δ(q 0, w) F. En d autres termes, un mot est accepté par un automate si la lecture des symboles de w à partir de q 0 mène à un état final de l automate. Langages formels, automates et grammaires formelles p.25/94

57 AEFD Définition Langage reconnu par un automate Un langage reconnu par un automate A est défini par : L(A) = {w Σ δ(q 0, w) F}. Langages formels, automates et grammaires formelles p.26/94

58 AEFD Définition Langage reconnu par un automate Un langage reconnu par un automate A est défini par : L(A) = {w Σ δ(q 0, w) F}. En d autres termes, le langage reconnu par un automate est l ensemble des mots qu il accepte. Langages formels, automates et grammaires formelles p.26/94

59 AEFD Définition Langage reconnaissable Un langage est dit reconnaissable s il existe un AEFD le reconnaissant. Langages formels, automates et grammaires formelles p.27/94

60 AEFD Définition Langage reconnaissable Un langage est dit reconnaissable s il existe un AEFD le reconnaissant. Déterminisme : Un automate d états finis est dit déterministe si, étant donné un mot qu on lui donne à lire, on est toujours sûr que l automate transite toujours par la même séquence d états. Langages formels, automates et grammaires formelles p.27/94

61 Automates d états finis non déterministes Contrairement aux AEFD, les automates d états finis non déterministes (AEFND) peuvent se retrouver dans plusieurs états en même temps après avoir lu un symbole à partir d un état donné. Langages formels, automates et grammaires formelles p.28/94

62 Automates d états finis non déterministes Contrairement aux AEFD, les automates d états finis non déterministes (AEFND) peuvent se retrouver dans plusieurs états en même temps après avoir lu un symbole à partir d un état donné. Définition AEFND Un automate d états finis non déterministe est un quintuplet (Q, Σ, q 0, δ, F) où Q, Σ, q 0 et F ont la même signification que pour un AEFD mais où δ est défini par : δ : Q Σ 2 Q δ(q i, c) = Q j avec Q j Q. Langages formels, automates et grammaires formelles p.28/94

63 Automates d états finis non déterministes Contrairement aux AEFD, les automates d états finis non déterministes (AEFND) peuvent se retrouver dans plusieurs états en même temps après avoir lu un symbole à partir d un état donné. Définition AEFND Un automate d états finis non déterministe est un quintuplet (Q, Σ, q 0, δ, F) où Q, Σ, q 0 et F ont la même signification que pour un AEFD mais où δ est défini par : δ : Q Σ 2 Q δ(q i, c) = Q j avec Q j Q. Ainsi, après avoir lu une suite de symboles, un AEFND peut se trouver au même moment dans plusieurs états différents. Langages formels, automates et grammaires formelles p.28/94

64 AEFND Définition Extension aux mots de la fonction de transition La fonction de transition peut être étendue aux mots. Son extension δ est définie sur Q Σ 2 Q avec : δ(q i, ǫ) = {q i }. w Σ, c Σ: δ(q i, w.c) = δ(q j, c). q j b δ(q i,w) Langages formels, automates et grammaires formelles p.29/94

65 AEFND Définition Extension aux mots de la fonction de transition La fonction de transition peut être étendue aux mots. Son extension δ est définie sur Q Σ 2 Q avec : δ(q i, ǫ) = {q i }. w Σ, c Σ: δ(q i, w.c) = δ(q j, c). q j b δ(q i,w) δ(q i, w) = Q j signifie que la lecture du mot w à partir de l état q i mène à tous les états de Q j en même temps. Langages formels, automates et grammaires formelles p.29/94

66 AEFND Définition Mot accepté par un AEFND Un mot w Σ est dit accepté par un AEFND (Q, Σ, δ, q 0, F) si δ(q 0, w) F. Langages formels, automates et grammaires formelles p.30/94

67 AEFND Définition Mot accepté par un AEFND Un mot w Σ est dit accepté par un AEFND (Q, Σ, δ, q 0, F) si δ(q 0, w) F. En d autres termes, un mot est accepté par un automate si la lecture des symboles de w à partir de q 0 mène à un ensemble d états dont au moins un est final. Langages formels, automates et grammaires formelles p.30/94

68 AEFND Définition Mot accepté par un AEFND Un mot w Σ est dit accepté par un AEFND (Q, Σ, δ, q 0, F) si δ(q 0, w) F. En d autres termes, un mot est accepté par un automate si la lecture des symboles de w à partir de q 0 mène à un ensemble d états dont au moins un est final. Définition Langage reconnu par un AEFND Un langage reconnu par un AEFND A est défini par : L(A) = {w Σ δ(q 0, w) F }. Langages formels, automates et grammaires formelles p.30/94

69 Avantage d un AEFND sur un AEFD L intérêt des AEFND est qu ils permettent plus facilement de définir un automate reconnaissant un langage donné. q0 a q1 q0 a q1 a,b b b a Le langage {w.a w Σ } reconnu par un AEFND (à gauche) et un AEFD (à droite). Langages formels, automates et grammaires formelles p.31/94

70 Equivalence entre AEFD et AEFND Bien que les AEFND aient l air plus puissant que les AEFD en terme de possibilité de reconnaître un langage, il s avère que leur puissance leur est égale. Langages formels, automates et grammaires formelles p.32/94

71 Equivalence entre AEFD et AEFND Bien que les AEFND aient l air plus puissant que les AEFD en terme de possibilité de reconnaître un langage, il s avère que leur puissance leur est égale. Il est évident que tout AEFD est aussi un AEFND. Langages formels, automates et grammaires formelles p.32/94

72 Equivalence entre AEFD et AEFND Bien que les AEFND aient l air plus puissant que les AEFD en terme de possibilité de reconnaître un langage, il s avère que leur puissance leur est égale. Il est évident que tout AEFD est aussi un AEFND. Théoreme Tout langage reconnu par un AEFND peut aussi être reconnu par un AEFD. Langages formels, automates et grammaires formelles p.32/94

73 Preuve Preuve constructive : on va démontrer que si A N = (Q N, Σ, δ N, q 0, F N ) est un AEFND alors le langage qu il reconnaît est aussi reconnu par l AEFD A D = (Q D, Σ, δ D, {q 0 }, F D ) où : Q D = 2 Q N est l ensemble des sous-ensembles de Q N. F D est l ensemble des états de Q D qui contiennent un état de F N, c-a-d les états dont l intersection avec F N est non vide. S Q N et c Σ : δ D (S,c) = δ N (s, c). s S Langages formels, automates et grammaires formelles p.33/94

74 Preuve Démontrons d abord que w, δ D ({q 0 }, w) = δ N (q 0, w). Preuve par récurrence sur w : Pour w = 0, c-a-d w = ǫ, δ D ({q 0 }, ǫ) = δ N (q 0, ǫ) = {q 0 }. Posons que pour tout mot w de longueur n, on a δ D ({q 0 }, w) = δ N (q 0, w) = {p 1, p 2,...p k }. c Σ, δ D ({q 0 }, w.c) = δ D ( δ D ({q 0 }, w), c) = δ D ({p 1, p 2,...p k }, c) = δ N (p i, c) = δ N (q 0, w.c). 1 i k On a alors δ D ({q 0 }, w) = δ N (q 0, w) qui est aussi vérifiée pour tous les mots de longueur n+1. Langages formels, automates et grammaires formelles p.34/94

75 Preuve On a donc L(A D ) = {w Σ δ D ({q 0 }, w) F D } = {w Σ δ D ({q 0 }, w) F N } = {w Σ δ N (q 0, w) F N } = L(A N ). Langages formels, automates et grammaires formelles p.35/94

76 struction d un AEFD à partir d un AEF En pratique, quand c est possible, on ne générera pas 2 n états d un AEFD à partir des n états d un AEFND : on se contentera de générer tous les états accessibles depuis {q 0 }. La procédure de génération de tous ces états consiste à maintenir l ensemble Q des états qu on a généré mais dont on a pas encore généré les successeurs. Au début, Q = {{q 0 }}. Tant que Q n est pas vide, on retire un état q de Q et on ajoute à Q tous les états directement accessibles depuis q et qui n ont pas déjà été générés précédemment. Langages formels, automates et grammaires formelles p.36/94

77 AEFND avec ǫ-transitions On peut étendre le modèle de l AEFND en lui permettant des ǫ-transitions, c est-à -dire des transitions sans lecture de symbole. L intérêt est, une fois encore, de faciliter la construction d automates reconnaissant un langage donné. Langages formels, automates et grammaires formelles p.37/94

78 AEFND avec ǫ-transitions Définition AEFND avec ǫ-transitions Un AEFND avec ǫ-transitions est un quintuplet (Q, Σ, q 0, δ, F) où Q, Σ, q 0, δ et F ont la même signification que pour un AEFND mais où δ est définie sur Q Σ {ǫ} 2 Q. Langages formels, automates et grammaires formelles p.38/94

79 ǫ-fermeture Définition ǫ-fermeture q Q, ǫ-fermeture(q) est un ensemble d états tel que : q ǫ-fermeture(q). si r ǫ-fermeture(q) alors {r Q r = δ(r,ǫ)} ǫ-fermeture(q). Langages formels, automates et grammaires formelles p.39/94

80 ǫ-fermeture Définition ǫ-fermeture q Q, ǫ-fermeture(q) est un ensemble d états tel que : q ǫ-fermeture(q). si r ǫ-fermeture(q) alors {r Q r = δ(r,ǫ)} ǫ-fermeture(q). L ǫ-fermeture se définit aussi sur un ensemble d états : S Q, ǫ-fermeture(s) = s S ǫ-fermeture(s) Langages formels, automates et grammaires formelles p.39/94

81 ǫ-fermeture Définition ǫ-fermeture q Q, ǫ-fermeture(q) est un ensemble d états tel que : q ǫ-fermeture(q). si r ǫ-fermeture(q) alors {r Q r = δ(r,ǫ)} ǫ-fermeture(q). L ǫ-fermeture se définit aussi sur un ensemble d états : S Q, ǫ-fermeture(s) = s S ǫ-fermeture(s) En d autres termes, ǫ-fermeture(q) est l ensemble de tous états accessibles depuis q en suivant une suite d ǫ-transitions. Langages formels, automates et grammaires formelles p.39/94

82 AEFND avec ǫ-transitions Définition Extension aux mots de la fonction de transition L extension aux mots δ de la fonction de transition est définie sur Q Σ 2 Q avec : δ(q i, ǫ) = ǫ-fermeture(q i ). w Σ, c Σ: δ(q i, w.c) = ǫ-fermeture(δ(q j, c)). q j b δ(q i,w) Langages formels, automates et grammaires formelles p.40/94

83 Equivalence entre AEFD et ǫ-aefnd Bien que les ǫ-aefnd aient l air plus puissants que les AEFD en terme de possibilité de reconnaître un langage, il s avère que leur puissance leur est égale. Langages formels, automates et grammaires formelles p.41/94

84 Equivalence entre AEFD et ǫ-aefnd Bien que les ǫ-aefnd aient l air plus puissants que les AEFD en terme de possibilité de reconnaître un langage, il s avère que leur puissance leur est égale. Tout AEFD est aussi un ǫ-aefnd. Langages formels, automates et grammaires formelles p.41/94

85 Equivalence entre AEFD et ǫ-aefnd Bien que les ǫ-aefnd aient l air plus puissants que les AEFD en terme de possibilité de reconnaître un langage, il s avère que leur puissance leur est égale. Tout AEFD est aussi un ǫ-aefnd. Théorème Tout langage reconnu par un ǫ-aefnd peut aussi être reconnu par un AEFD. Langages formels, automates et grammaires formelles p.41/94

86 Preuve Preuve constructive : on va démontrer que si A E = (Q E, Σ, δ E, q 0, F E ) est un ǫ-aefnd alors le langage qu il reconnaît est aussi reconnu par l AEFD A D = (Q D, Σ, δ D, q D, F D ) où : Q D = 2 Q E. q D = ǫ-fermeture(q 0 ). F D est l ensemble des états de Q D qui contiennent un état de F E, c-a-d les états dont l intersection avec F N est non vide. S Q N et c Σ : δ D (S,c) = ǫ-fermeture( δ E (s, c)). s S Langages formels, automates et grammaires formelles p.42/94

87 Preuve Démontrons d abord que w, δ D (q D, w) = δ N (q 0, w). Preuve par récurrence sur w : Pour w = 0, c-a-d w = ǫ, δ D (q D, ǫ) = δ E (q 0, ǫ) = ǫ-fermeture(q 0 ). Posons que pour tout mot w de longueur n, on a δ D (q D, w) = δ E (q 0, w) = {p 1, p 2,...p k }. c Σ, δ D (q D, w.c) = δ D ( δ D (q D, w), c) = δ D ({p 1, p 2,...p k }, c) = ǫ-fermeture( δ E (p i, c)) = 1 i k 1 i k ǫ-fermeture(δ E (p i, c)) = δ E (q 0, w.c). On a alors δ D (q D, w) = δ E (q 0, w) qui est aussi vérifiée pour tous les mots de longueur n+1. Langages formels, automates et grammaires formelles p.43/94

88 Preuve On a donc L(A D ) = {w Σ δ D (q D, w) F D } (définition d un AEFD) = {w Σ δ D (q D, w) F E } (définition de A E ) = {w Σ δ E (q 0, w) F E } (démontré juste avant) = L(A E ) (définition d un ǫ-aefnd) Langages formels, automates et grammaires formelles p.44/94

89 Les langages réguliers/rationnels Le but de ce chapitre est de présenter les langages réguliers (ou rationnels), les expressions régulières, qui sont leur représentation, de montrer qu ils constituent l ensemble des langages reconnaissables (par des AEFD) Langages formels, automates et grammaires formelles p.45/94

90 Les langages rationnels Définition Langages rationnels Etant donné un alphabet Σ, les langages rationnels sont des langages définis récursivement par :, {ǫ} et c Σ 1, {c} sont des langages rationnels. Si L et L sont des langages rationnels alors L L, L.L et L sont des langages rationnels. Langages formels, automates et grammaires formelles p.46/94

91 Expressions régulières Définition Expressions régulières Etant donné un alphabet Σ, les expressions régulières sur Σ sont définies récursivement par : est une expression régulière représentant l ensemble vide. ǫ et c Σ 1, c sont des expressions régulières représentant respectivement {ǫ} et {c}. Si r et s sont des expressions régulières représentant les langages R et S alors (r+s), (r.s) ou (rs) et r représentent respectivement les langages R S, R.S et R. Langages formels, automates et grammaires formelles p.47/94

92 Expressions régulières Définition Expressions régulières Etant donné un alphabet Σ, les expressions régulières sur Σ sont définies récursivement par : est une expression régulière représentant l ensemble vide. ǫ et c Σ 1, c sont des expressions régulières représentant respectivement {ǫ} et {c}. Si r et s sont des expressions régulières représentant les langages R et S alors (r+s), (r.s) ou (rs) et r représentent respectivement les langages R S, R.S et R. Priorité : * est prioritaire sur. qui est prioritaire sur +. Langages formels, automates et grammaires formelles p.47/94

93 Expressions régulières On note r + l expression r.r. Langages formels, automates et grammaires formelles p.48/94

94 Expressions régulières On note r + l expression r.r. Définition Langage d une expression régulière Etant donné une expression régulière r, L(r) désigne le langage représenté par r. Langages formels, automates et grammaires formelles p.48/94

95 Propriétés r,s,t : r+s = s+r (commutativité de l union) (r+s)+t = r+(s+t) (associativité de l union) (r.s).t = r.(s.t) (associativité du produit) r.(s+t) = r.s+r.t et (r+s).t = r.t+s.t (distributivité du produit par rapport à l union) = ǫ, (r ) = r, (ǫ+r) = r, (r.s ) = (r+s). Langages formels, automates et grammaires formelles p.49/94

96 uivalence entre AEFD et langages régulie Nous allons montrer que tout langage régulier est reconnaissable par un AEFD et qu un AEFD ne peut reconnaître qu un langage régulier. Pour ceci, il nous suffira de montrer que tout langage régulier est reconnaissable par un AEFND avec ǫ-transitions (car on a déjà vu l équivalence avec un AEFD) puis que tout langage reconnaissable par un AEFD est régulier. Langages formels, automates et grammaires formelles p.50/94

97 Exp. reg. -> AEFD Théorème Tout langage défini par une expression régulière est reconnaissable par un AEFND avec ǫ-transition. Preuve constructive : on montre comment créer l automate à partir de l expression régulière. Plus précisément, on montre que l on peut construire un AEFND avec ǫ-transition tel que : aucun arc n arrive vers son état initial aucun arc ne part de son unique état final. Cette preuve se fait par induction sur le nombre k d opérateurs de l expression régulière. Langages formels, automates et grammaires formelles p.51/94

98 Induction (preuve) : cas de base Pour k=0 : Langages formels, automates et grammaires formelles p.52/94

99 Induction (preuve) : cas de base Pour k=0 : est reconnu par ({q 0, q f }, Σ, δ, q 0, {q f }) avec δ définie nulle part. Langages formels, automates et grammaires formelles p.52/94

100 Induction (preuve) : cas de base Pour k=0 : est reconnu par ({q 0, q f }, Σ, δ, q 0, {q f }) avec δ définie nulle part. {ǫ} est reconnu par ({q 0, q f }, Σ, δ, q 0, {q f }) avec δ(ǫ) = q f. Langages formels, automates et grammaires formelles p.52/94

101 Induction (preuve) : cas de base Pour k=0 : est reconnu par ({q 0, q f }, Σ, δ, q 0, {q f }) avec δ définie nulle part. {ǫ} est reconnu par ({q 0, q f }, Σ, δ, q 0, {q f }) avec δ(ǫ) = q f. {c} est reconnu par ({q 0, q f }, Σ, δ, q 0, {q f }) avec δ(c) = q f. Langages formels, automates et grammaires formelles p.52/94

102 Induction (preuve) : cas général Posons que le théorème est vrai pour les expressions avec au plus k opérateurs. Soit r une expression ayant k opérateurs. Cette expression peut avoir 3 formes : r = r 1 + r 2. r = r 1.r 2. r = r 1. Soient A 1 = (Q 1, Σ 1, δ 1, q 1, {f 1 }) et A 2 = (Q 2, Σ 2, δ 2, q 2, {f 2 }) tels que L(A 1 ) = L(r 1 ) et L(A 2 ) = L(r 2 ) et Q 1 et Q 2 sont disjoints. Langages formels, automates et grammaires formelles p.53/94

103 r = r 1 + r 2 Soit A = (Q 1 Q 2 {q 0, f 0 }, Σ 1 Σ 2, δ, q 0, {f 0 }) où δ est défini par : δ(q 0, ǫ) = {q 1, q 2 }. q Q 1 \ {f 1 }, c Σ 1 {ǫ} : δ(q, c) = δ 1 (q, c). q Q 2 \ {f 2 }, c Σ 2 {ǫ} : δ(q, c) = δ 2 (q, c). δ(f 1, ǫ) = δ(f 1, ǫ) = {f 0 }. Soient A 1 = (Q 1, Σ 1, δ 1, q 1, {f 1 }) et A 2 = (Q 2, Σ 2, w (Σ 1 Σ 2 ), {f 0 } δ(q 0, w) si et seulement si {f 1 } δ(q 1, w) ou {f 2 } δ(q 2, w) donc L(A) = L(A 1 ) L(A 2 ). Langages formels, automates et grammaires formelles p.54/94

104 r = r 1.r 2 Soit A = (Q 1 Q 2, Σ 1 Σ 2, δ, q 1, {f 2 }) où δ est défini par : q Q 1 \ {f 1 }, c Σ 1 {ǫ} : δ(q, c) = δ 1 (q, c). q Q 2 \ {f 2 }, c Σ 2 {ǫ} : δ(q, c) = δ 2 (q, c). δ(f 1, ǫ) = {q 2 }. w (Σ 1 Σ 2 ), δ(q 1, w) = {f 2 } si et seulement si w 1 Σ 1, w 2 Σ 2 : w = w 1.w 2 et δ(q 1, w 1 ) = {f 1 } et δ(q 2, w 2 ) = {f 2 } donc L(A) = L(A 1 ).L(A 2 ). Langages formels, automates et grammaires formelles p.55/94

105 r = r 1 Soit A = (Q 1 {q 0, f 0 }, Σ 1, δ, q 0, {f 0 }) où δ est défini par : δ(q 0, ǫ) = δ(f 1, ǫ) = {q 1, f 0 }. q Q 1 \ {f 1 }, c Σ 1 {ǫ} : δ(q, c) = δ 1 (q, c). w Σ 1, n 0, δ(q 0, w n ) = {f 0 } si et seulement si δ(q 1, w) = {f 1 } donc L(A) = L(A 1 ). Langages formels, automates et grammaires formelles p.56/94

106 Conclusion (preuve) On en déduit que le théorème est aussi vrai si r possède k opérateurs. r1 c q1 f1 c q0 qf r1+r2 q0 c q2 r2 f2 c qf c q0 c qf r1 r2 r1.r2 q1 f1 c q2 f2 c q0 c qf r1 c r1* q0 c q1 f1 c qf c Langages formels, automates et grammaires formelles p.57/94

107 AEFD -> Exp. reg. Théorème Tout langage reconnaissable par un AEFD est régulier. Preuve constructive, récursive Langages formels, automates et grammaires formelles p.58/94

108 Preuve Soit un AEFD A = ({q 0, q 1,...q n }, Σ, δ, q 0, F). On considère les AEFD suivants : i,j,k, A (k) i,j = ({q 0, q 1,...q k } {q i, q j }, Σ, δ (k) i,j, q i, {q j }) où δ (k) i,j est définie sur {q 0, q 1,...q k } {q i, q j } Σ {q 0, q 1,...q k } {q i, q j } et c Σ, q {q 0, q 1,...q k } {q i, q j }, δ (k) i,j (q, c) = δ(q, c). Langages formels, automates et grammaires formelles p.59/94

109 Preuve Soit un AEFD A = ({q 0, q 1,...q n }, Σ, δ, q 0, F). On considère les AEFD suivants : i,j,k, A (k) i,j = ({q 0, q 1,...q k } {q i, q j }, Σ, δ (k) i,j, q i, {q j }) où δ (k) i,j est définie sur {q 0, q 1,...q k } {q i, q j } Σ {q 0, q 1,...q k } {q i, q j } et c Σ, q {q 0, q 1,...q k } {q i, q j }, δ (k) i,j (q, c) = δ(q, c). A (k) i,j est l automate A qui ne conserve que les états {q 0, q 1,...q k } {q i, q j }, qui a pour état initial q i et pour état final q j. Langages formels, automates et grammaires formelles p.59/94

110 Preuve Appelons L (k) i,j le langage {w Σ δ (k) i,j (q i, w) = q j }. On va démontrer par récurrence sur k que i,j,k, L (k) i,j est régulier. (que c est vrai pour k = -1, puis que si c est vrai pour k 1 alors c est vrai pour k+1). Langages formels, automates et grammaires formelles p.60/94

111 Preuve : cas où k = -1 Pour k = -1, A ( 1) i,j ne possède que les états q i et q j. Langages formels, automates et grammaires formelles p.61/94

112 Preuve : cas où k = -1 Pour k = -1, A ( 1) i,j ne possède que les états q i et q j. Si i = j, il y a un seul état et L ( 1) i,i = {ǫ} X avec X l ensemble (éventuellement vide) de symboles permettant les transitions de q i à q i. Langages formels, automates et grammaires formelles p.61/94

113 Preuve : cas où k = -1 Pour k = -1, A ( 1) i,j ne possède que les états q i et q j. Si i = j, il y a un seul état et L ( 1) i,i = {ǫ} X avec X l ensemble (éventuellement vide) de symboles permettant les transitions de q i à q i. Si i j alors L ( 1) i,j = (W X.Y.Z).X.Y avec W, X, Y, Z les ensembles (éventuellement vides) de symboles permettant les transitions respectivement de q i à q i, de q i à q j, de q j à q j et de q j à q i. Langages formels, automates et grammaires formelles p.61/94

114 Preuve : cas où k = -1 Pour k = -1, A ( 1) i,j ne possède que les états q i et q j. Si i = j, il y a un seul état et L ( 1) i,i = {ǫ} X avec X l ensemble (éventuellement vide) de symboles permettant les transitions de q i à q i. Si i j alors L ( 1) i,j = (W X.Y.Z).X.Y avec W, X, Y, Z les ensembles (éventuellement vides) de symboles permettant les transitions respectivement de q i à q i, de q i à q j, de q j à q j et de q j à q i. Dans tous les cas, L ( 1) i,j est bien un langage régulier. Langages formels, automates et grammaires formelles p.61/94

115 Preuve : cas général Posons que L (k 1) i,j est régulier. L automate A (k) i,j possède l état supplémentaire q k par rapport à A (k 1) i,j. Pour déduire le langage L (k) i,j à partir de L (k 1) i,j, il nous faut rajouter les mots qui sont reconnus si on passe par l état q k. On a alors 3 cas : Il n existe pas de chemin partant de q i, menant à q j et passant par q k. Il existe au moins un chemin partant de q i, menant à q j et passant par q k et il n existe pas de circuit dans l automate A (k) i,j contenant q k. Il existe au moins un chemin partant de q i, menant à q j et passant par q k et il existe au moins un circuit (k) Langages formels, automates et grammaires formelles p.62/94

116 Cas 1 Il n existe pas de chemin partant de q i, menant à q j et passant par q k. Langages formels, automates et grammaires formelles p.63/94

117 Cas 1 Il n existe pas de chemin partant de q i, menant à q j et passant par q k. On a alors L (k) i,j = L(k 1) i,j. Langages formels, automates et grammaires formelles p.63/94

118 Cas 2 Il existe au moins un chemin partant de q i, menant à q j et passant par q k et il n existe pas de circuit dans l automate A (k) i,j contenant q k. Langages formels, automates et grammaires formelles p.64/94

119 Cas 2 Il existe au moins un chemin partant de q i, menant à q j et passant par q k et il n existe pas de circuit dans l automate A (k) i,j contenant q k. On a alors L (k) i,j = L(k 1) i,k.l (k 1) k,j L (k 1) i,j. Langages formels, automates et grammaires formelles p.64/94

120 Cas 3 Il existe au moins un chemin partant de q i, menant à q j et passant par q k et il existe au moins un circuit dans l automate A (k) i,j contenant q k. Langages formels, automates et grammaires formelles p.65/94

121 Cas 3 Il existe au moins un chemin partant de q i, menant à q j et passant par q k et il existe au moins un circuit dans l automate A (k) i,j contenant q k. On a alors L (k) i,j = L(k 1) i,k.(l (k 1) k,k ).L (k 1) k,j L (k 1) i,j. Langages formels, automates et grammaires formelles p.65/94

122 Preuve : conclusion Dans tous les cas L (k) i,j est régulier. Langages formels, automates et grammaires formelles p.66/94

123 Preuve : conclusion Dans tous les cas L (k) i,j est régulier. Le langage de l automate A est l union des langages L (n) 0,j pour toutes les valeurs de j telles que q j F. Ce langage est donc régulier. Langages formels, automates et grammaires formelles p.66/94

124 Preuve : conclusion Dans tous les cas L (k) i,j est régulier. Le langage de l automate A est l union des langages L (n) 0,j pour toutes les valeurs de j telles que q j F. Ce langage est donc régulier. Cette preuve indique un moyen de déduire l expression régulière du langage reconnu par un AEFD. Il existe une méthode plus pratique d arriver au même résultat. Langages formels, automates et grammaires formelles p.66/94

125 Méthode par élimination d état Idée : éliminer un par un les états internes (ni initial ni finaux) d un AEFD pour produire finalement un AEFD équivalent qui ne contient plus d état interne et dont les arcs sont étiquetés par des expressions régulières. Langages formels, automates et grammaires formelles p.67/94

126 Méthode par élimination d état Idée : éliminer un par un les états internes (ni initial ni finaux) d un AEFD pour produire finalement un AEFD équivalent qui ne contient plus d état interne et dont les arcs sont étiquetés par des expressions régulières. Départ : remplacer les étiquettes "a,b,c,..." par des expressions régulières "a+b+c+...". Langages formels, automates et grammaires formelles p.67/94

127 Méthode par élimination d état Idée : éliminer un par un les états internes (ni initial ni finaux) d un AEFD pour produire finalement un AEFD équivalent qui ne contient plus d état interne et dont les arcs sont étiquetés par des expressions régulières. Départ : remplacer les étiquettes "a,b,c,..." par des expressions régulières "a+b+c+...". Pour éliminer un état s, il faut considérer les prédécesseurs q 1, q 2,...q n de s et les successeurs p 1, p 2,...p m de s. i,j, on remplace les arcs (q i,s) étiqueté X, (s,s) étiqueté Y, (s,p j ) étiqueté Z et (q i,p j ) étiqueté W par un arc (q i,p j ) étiqueté X.Y.Z+W. Langages formels, automates et grammaires formelles p.67/94

128 Langages non rationnels Tous les langages ne sont pas réguliers. Nous allons voir un moyen de démontrer que certains langages ne sont pas réguliers grâce au lemme du facteur itérant. Lemme Lemme du facteur itérant Pour tout langage régulier L, il existe une constante n (dépendant de L) telle que pour tout mot w de L de longueur supérieure ou égale à n, il existe les mots x, y et z tels que (1) w = x.y.z, (2) y ǫ, (3) x.y n et (4) k 0 : x.y k.z L. Langages formels, automates et grammaires formelles p.68/94

129 Preuve du lemme Soit L un langage rationnel et un AEFD A = (Q, Σ, δ, q 0, F) qui reconnaît L. Soit n le nombre d états de A. Soit w=c 1 c 2...c m un mot de L tel que i c i Σ et m>n. Il existe forcément deux valeurs i et j telles que 0 i < j n et δ(q 0, c 1 c 2...c i ) = δ(q 0, c 1 c 2...c j ) car il y a moins d états dans l automate que de facteurs gauches dans w. Soit x = c 1...c i, y = c i+1...c j et z = c j+1...c m. On a bien w = x.y.z, y ǫ (car i < j), x.y n (car j n) et x.y k.z L (car k, δ(q i, y) = δ(q i, y k )). Langages formels, automates et grammaires formelles p.69/94

130 Intérêt du lemme Ce lemme signifie que, dans tout langage rationnel, il existe une taille n de mot telle que tous les mots de taille supérieure possède un facteur non vide qui, s il apparaissait plusieurs fois à cet endroit dans le mot (au lieu d une seule fois), ferait que le mot appartiendrait encore au langage. On utilise en général le lemme du facteur itérant pour montrer qu un certain langage L n est pas rationnel : il faut montrer que quel que soit n, on peut trouver un mot w qui dépend de n et est de la forme w = x.y.z où x.y n et y ǫ mais qu il existe une valeur k telle que x.y k.z L. Langages formels, automates et grammaires formelles p.70/94

131 Exemple Démontrons que L = {a m b m m 0} n est pas régulier. Si L était régulier, il existerait une constante n tel que pour tout mot w de L, on aurait w qui répond aux critères donnés dans le lemme du facteur itérant. Or, si on choisit w = a n b n, qui est de longueur supérieure à n, sachant qu il faut que w = x.y.z, que x.y n et y ǫ, on a forcément x.y qui ne contient que des symboles a et z qui contient n symboles b (et peut-être des symboles a devant). Donc, il est faux que k 0, on a x.y k.z L : par exemple, pour k=0, on a x.y 0.z = x.z qui contient au maximum n-1 symboles a et exactement n symboles b donc il n appartient pas à L. Langages formels, automates et grammaires formelles p.71/94

132 Machine de Turing Une machine de Turing (MT) est une machine abstraite qui permet de modéliser un ordinateur : les calculs qu ils peuvent effectuer sont les mêmes. Langages formels, automates et grammaires formelles p.72/94

133 Machine de Turing Une machine de Turing (MT) est une machine abstraite qui permet de modéliser un ordinateur : les calculs qu ils peuvent effectuer sont les mêmes. Une MT est en quelque sorte un automate d états finis qui lit et écrit des symboles sur les cases d un ruban de longueur infinie et peut potentiellement changer le sens de sa lecture (déplacement d une case vers la gauche ou vers la droite) après chaque lecture de symbole. Langages formels, automates et grammaires formelles p.72/94

134 MT : définition informelle Une MT peut se voir comme étant composé d un système de contrôle, d une tête de lecture/écriture et d un ruban de longueur infini. Langages formels, automates et grammaires formelles p.73/94

135 MT : définition informelle Une MT peut se voir comme étant composé d un système de contrôle, d une tête de lecture/écriture et d un ruban de longueur infini. Le système de contrôle détermine ce que sera le prochain état de la machine en fonction de l état courant et du symbole du ruban pointé par la tête de lecture, ce que sera le symbole qu il faudra écrire à l emplacement pointé par la tête de lecture dans quel sens (une case à gauche ou à droite) déplacer la tête de lecture. Langages formels, automates et grammaires formelles p.73/94

136 MT : définition informelle Une MT peut se voir comme étant composé d un système de contrôle, d une tête de lecture/écriture et d un ruban de longueur infini. Le système de contrôle détermine ce que sera le prochain état de la machine en fonction de l état courant et du symbole du ruban pointé par la tête de lecture, ce que sera le symbole qu il faudra écrire à l emplacement pointé par la tête de lecture dans quel sens (une case à gauche ou à droite) déplacer la tête de lecture. Initialement, la tête de lecture pointe sur le 1er symbole d une suite finie de symboles encadrée à gauche et à droite par deux suites infinies de cases vides. Langages formels, automates et grammaires formelles p.73/94

137 MT : définition formelle Définition Une machine de Turing est un septuplet M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0,, F) où : Q est l ensemble des états de la machine. Σ est l ensemble des symboles d entrée de la machine. Γ est l ensemble des symboles du ruban. Σ Γ. δ est définie sur Q Γ Q Γ {, } telle que δ(q,c) = (q,c, D) avec q, le nouvel état de la machine, c le symbole qui remplace c sur le ruban D = ou, le sens de déplacement de la tête de lecture (gauche ou droite). q 0 est l état initial. Γ est le symbole de la case vide. F est l ensemble des états finaux. Langages formels, automates et grammaires formelles p.74/94

138 Représentation de l état global d une MT On indique par c 1 c 2...c i 1 qc i...c k que le ruban contient le mot c 1...c k encadré par des cases vides tandis que le système de contrôle se trouve dans l état q et que la tête de lecture pointe sur c i. Langages formels, automates et grammaires formelles p.75/94

139 Succession d états globaux d une MT αqβ α q β désigne une transition élémentaire de l état global αqβ à l état global α q β par la lecture du premier symbole de β, son remplacement par un nouveau symbole et un déplacement de la tête de lecture à gauche ou à droite. On désignera par la fermeture transitive et réflexive de. Langages formels, automates et grammaires formelles p.76/94