Mécanique du point : problèmes à 2 corps (PCSI)

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1 Mécanique u point : problèmes à corps PCI Question e cours & exercice On consière une étoile ouble consituée eux points M et M e masse m et m, située ans la voie lactée. On ne consière pas 'autres forces que l'attraction gravitationnelle qu'exerce une étoile sur l'autre et on consière la voie lactée comme un référentiel galiléen.. Montre que l'on peut attacher au centre e masse G e l'étoile ouble un repère barcentrique galiléen R e vecteurs unitaires i, j, k.. Exprime les positions r = et r = es eux étoiles ans le référentiel barcentrique en fonction es masses es étoiles et e leur écart r = M M.. Exprime les quantités e mouvement p et p e chaque étoile en fonction e leurs vitesses relatives v = v v et e leur masse réuite µ. 4. Exprime le moment cinétique u sstème par rapport à G ainsi que son énergie mécanique. Que remarque vous? 5. Montre que le problème est équivalent à la étermination e la trajectoire 'une particule M e masse µ placée en r par rapport à G et soumise à la force exercée par M sur M. Comment éuit-t-on les trajectoires e M et M e celle e M? 6. étermine et trace la trajectoire e M, puis celles e M et e M? 7. Question 'ouverture : comment peut-on étecter e telles étoiles? Exercice Limite e Roche On consière une planète P e masse M et e raon R autour e laquelle gravite un objet. Cet objet est moélisé par eux boules ientiques B et B e masse m et e raon r jointes en un point G. On note la istance P G et f = f ur, avec u r = OG OG, la force e contact exercée par B sur B. On suppose que le mouvement u centre e masse e l'objet est circulaire. étermine la vitesse angulaire ω u centre e masse u sstème au premier orre en r.. On se place ans le référentiel R tournant à la même vitesse angulaire que le satellite. ans ce référentiel, les boules B et B sont onc immobiles. éuise en eux équations reliant les paramètres u problème.. étermine la istance = à laquelle l'objet e isloque. 4. Commente l'image ci essous On rappelle le éveloppement limité + x α = + αx + Ox

2 olution. Forces extérieures : F P B = m r ur et F P B = m +r ur onc onc v = ω = m v G t 'où ω = = m v u r = m r + = m + r = m ur. Forces exercées sur B : F P B, F grav B B, f, F ie onc + u r + r r ur m r + Gm r + f + mω r = 0 m + r Gm r f + mω + r = 0. A la limite, f = 0 onc m r + Gm r + mω r = 0 m + r + Gm 4r + m r = 0 M M r + m 4r + M M r = 0 M r + m 4r = 0 onc = M m / r aniel uchet - 0

3 Exercice Points e Lagrange On consière une planète P e masse MP tournant 'une étoile e masse M MP suivant une orbite circulaire e raon. On s'intéresse à un corps M e masse m MP M ont on cherche les positions 'équilibre par rapport à la planète P, c'est-à-ire les positions auxquelles M reste immobile par rapport à P. On supposera ans lequel la le référentiel RG héliocentrique galiléen et on note R le référentiel en rotation autour l'axe, u planète est immobile. Figure : Paramétrisation u problème Figure. Exprime la vitesse angulaire e rotation Ω u référentiel R ans le référentiel RG. On se placera ans le référentiel R pour le reste e l'exercice.. Exprime la conition 'équilibre e l'objet en fonction e ses cooronnées x,, ans le repère R. En éuire que pour tout position 'équilibre, = 0. Points L et L On cherche es positions 'équilibres situées sur l'axe x située ans le voisinage proche e la planète. On posera = x. Montre qu'il existe une position 'équilibre pour < 0 et étermine sa position par rapport à la planète P. Ce point s'appelle Point e Lagrange L. Même question pour > 0. Ce point s'appelle Point e Lagrange L. Point L On cherche es positions 'équilibres situées sur l'axe x située ans à l'opposée e la planète par rapport à l'étoile. On posera = + x. Montre qu'une telle position 'équilibre existe bel et bien. Ce point s'appelle Point e Lagrange L. Points L4 et L5 On cherche à présent es points 'équilibre situés à équiistance e la planète P et e l'étoile. On note = M = P M. Montre qu'on a nécessairement = et en éuire la position es eux erniers points e Lagrange L4 et L5. Application Commente la gure On rappelle le éveloppement limité + xα = + αx + Ox aniel uchet - 0

4 olution. roisième loi e Kepler pour la planète : = 4π. La vitesse angulaire est uniforme car le mouvement est circulaire onc la conservation e la constante es aires impose θ = cste et est onnée par Ω = π =.. Bilan es forces : Attraction gravitationnelle e sur M : F M = m M = M Attraction gravitationnelle e sur M : F M = m M = M m x + + / x m x + + / Force 'inertie 'entrainement : F ie = m a e = m Ω Ω r = m Equilibre compensation es forces x x + x + + / x + + / x + x + + / x + + / x + + / x + + / x 0 x Les eux termes qui apparaissent ans la troisième équation sont e même signe. Pour que leur somme soit nulle, ils oivent être tous les eux nuls. On oit onc avoir = 0. Points L et L On impose = 0 et on réécrit l'équation sur x en introuisant. = ± en fonction u signe e = + ± + + = = ± M M ± + + Attention à la simplication Points L On impose = 0 et on réécrit l'équation sur x en introuisant. Attention aux signes, < 0 et aussi = = = 4 +M = M M + + Points L 4 et L 5 On a à présent la conition x + = x + = et la conition 'équilibre sur impose 0 = = + Les points L 4 et L 5 sont onc situés au troisième sommet 'un triangle équilatéral e côté. On en éuit les postions e x et : x = / = / L'image montre le sstème solaire, oleil au centre. Jupiter étant la planète la plus loure, c'est elle qui a l'inuence gravitationnelle la plus importante. es corps célestes s'accumulent visiblement sur les eux points L 4 et L 5 u sstème oleil - Jupiter mais pas sur les autres points. On en éuit que ce sont les eux seuls 4 aniel uchet - 0

5 points stables. En réalité, ils constituent es maxima u potentiel et pour comprenre leur stabilité, il faut prenre en compte la force e Coriolis. Les points L, L et L sont es points selle u potentiel et ne sont pas stables même avec la force e Coriolis. Les corps situés autour e L 4 sont its troens et portent es noms associés Priam, Enée, Anchise... Les corps situés autour e L 5 sont its Grecs Achille, Agamemnon... A noter l'existence e transfuges : Hector gravite autour e L 4 et Patrocle autour e L 5. 5 aniel uchet - 0