BTS Groupement A. Mathématiques Session Spécialité IRIST

Transcription

1 BTS Groupement A Mathématiques Session Exercice : ( points) Spécialité IRIST Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O ; ı, j). On rappelle qu une courbe de Bézier associée àn+ points de contrôle successifsa i, i n, est l ensemble des pointsm(t) tels que : OM(t) = n i= B i,n (t) OA i où B i,n (t) = C i n ti ( t) n i avect [ ; ] Partie A : L objectif de cette partie est d étudier la courbe de Bézier C associée aux quatre points de contrôle successifs A (4 ; ),S ( ; 6),R ( ; 6) eto ( ; ).. Développer, réduire et ordonner le polynôme B,3 (t).. On admet que : B,3 (t) = t 3 + 3t 3t + B,3 (t) = 3t 3 6t + 3t B 3,3 (t) =t 3 Montrer que les coordonnées du pointm(t) de la courbe C sont : { x =f (t) = 3t 3 6t + 4t + 4 y =g (t) = 8t + 8t pourt [ ; ] 3. En utilisant la courbe C tracée sur la figure du document réponse, compléter le tableau des variations conjointes des deux fonctionsf etg figurant sur le même document réponse. 4. Calculer la dérivée de la fonctiong. En déduire la valeurt du paramètretpour laquelle l ordonnée du pointm(t) est maximale. 5. Déterminer la valeurt du paramètretpour laquelle l abscisse du pointm(t) est maximale. 6. Montrer que le vecteur AS est tangent à la courbe C au pointa. Partie B : On désigne paraun nombre réel. On souhaite compléter la figure du document réponse par une courbe de Bézier C en respectant les contraintes suivantes : ( ) 4 les points de contrôle successifs de la courbe de Bézier C sonto ( ; ),E ( ;a),f 3 ; eta (4 ; ). ( la courbe C passe par le pointg ; 3 ) pour la valeur du paramètret. Sous ce système de contraintes, les courbes C et C ont des tangentes communes aux pointsaeto.. Dans les conditions énoncées ci-dessus, la représentation paramétrique de la courbe C est de la forme : Montrer quea =. { x =f (t) = 4t u =g (t) = 3(a + )t 3 6(a + )t + 3at avect [ ; ]

2 . Pour chaque valeur de t, l algorithme de construction par barycentres successifs (appelé algorithme de De Casteljau), permet de construire le point de paramètre t de la courbe de Bézier. Utiliser cet algorithme, pour la valeur du paramètret, pour retrouver graphiquement la position du point G. Laisser apparentes les étapes de la construction. 3. Tracer la courbe C sur la figure du document réponse. /9

3 Exercice : ( points) Spécialités CIRA, Électrotechnique, Génie optique, Systèmes électroniques, TPIL Dans cet exercice, on se propose d étudier dans la partie A une perturbation d un signal continu et, dans la partie B, la correction de cette perturbation par un filtre analogique. Partie A : Dans cet exercice, on note τ une constante réelle appartenant à l intervalle [ ; π] et on considère les fonctions f etgdéfinies sur l ensemble R des nombres réels, telles que : pour tout nombre réelt,f(t) = ; la fonctiongest périodique de période π et : { g(t) = si t<τ g(t) = siτ t<π Pour tout nombre réelt, on pose : h(t) =f(t) g(t) La fonction h ainsi définie représente la perturbation du signal.. Les courbes représentatives des fonctionsf etg sont tracées sur le document réponse (figures et 3). Sur la figure 4 du document réponse, tracer la représentation graphique de la fonctionh.. On admet que la fonctionhest périodique de période π. Pour tout nombre réelt, on définit la série de FourierS(t) associée à la fonctionhpar (a) Déterminera. S(t) =a + + n= (b) Soitnun nombre entier supérieur ou égal à. Calculer τ (a n cos(nt) +b n sin(nt)) cos(nt) dt et en déduire que a n = nπ sin(nτ) (c) Montrer que, pour tout nombre entiernsupérieur ou égal à, b n = nπ ( cos(nτ)) 3. Soitnun nombre entier naturel. On associe ànle nombre réela n tel que : A =a ; a A n = n +b n sinest un entier supérieur ou égal à. Montrer que, pour tout entier naturelnsupérieur ou égal à, on a A n = cos(nτ) nπ On suppose, que pour toute la suite de l exercice, queτ = π Compléter le tableau du document réponse, avec des valeurs approchées à 5 près. 5. La valeur efficaceh eff de la fonctionhest telle que : (a) Calculerh eff. h eff = π π [h(t)] dt (b) Calculer une valeur approchée à 4 près du nombre réelp défini parp = (c) Calculer une valeur approchée à près du quotient P h eff. 3 A n. n= 3/9

4 Partie B : On rappelle que j est le nombre complexe de module et dont un argument est π. On considère la fonction de transferth définie, pour tout nombre complexepdifférent de 3, par : H(p) = 3 p + 3 On définit la fonctionr, pour tout nombre réel positifω, par : r(ω) = H (jω) Le but de cette partie est de déterminer le spectre d amplitude du signal, noték, obtenu en filtrant la perturbationhau moyen d un filtre dont la fonction de transfert esth. 3. Montrer que r(ω) = ω. Pour tout nombre entier natureln, on définit le nombre réel positifb n par : B n =r(n) A n, oùa n est le nombre réel positif défini dans la question 3 de la partie A. Compléter le tableau 3 du document réponse, avec des valeurs approchées à 5 près. Le spectre d amplitude du signalk filtré est donné par la suite des nombres réelsb n. 3. La figure 5 sur le document réponse donne le spectre en amplitude de la perturbation h, c est à dire une représentation graphique de la suite des nombres réelsa n. Sur la figure 6 du document réponse, on a commencé de même à représenter la suite des nombres réels B n. Compléter cette représentation graphique à l aide du tableau 3 des valeurs du document réponse. 4. Une valeur approchée à 4 près du carré de la valeur efficace du signalk est :keff, (a) Calculer une valeur approchée à 4 près du nombre réelqdéfini parq = Bn. (b) Calculer une valeur approchée à près du quotient On a étudié le spectre de Fourier d une perturbation d un signal. On ne peut pas négliger les raies de hautes fréquences de ce spectre. Le filtrage dissipe une part importante de l énergie de la perturbation et les raies de hautes fréquences de la perturbation filtrée sont négligeables. Q k eff. n= 4/9

5 Exercice : ( points) Toutes spécialités On considère un système physique dont l état est modélisé par la fonction y de la variable réelle t, solution de l équation différentielle : y (t) + 4y(t) =e(t) () où la fonction e représente une contrainte extérieure au système. Partie A : Dans cette partie, on suppose quee(t) = pour tout nombre réelt. L équation différentielle () s écrit alors sous la forme : y (t) + 4y(t) = (). Déterminer la fonction constante h solution particulière de l équation différentielle ().. Déterminer la solution générale de l équation différentielle (). 3. En déduire l expression de la fonction f solution de l équation différentielle () qui vérifie les conditions f() = etf () =. Partie B : Dans cette partie, on étudie un moyen d amener ce système vers un état d équilibre de manière «lisse». À cette fin, on soumet le système à une contrainte extérieure modélisée par la fonctionedéfinie par e(t) = 8tU (t) 8(t τ)u (t τ), où τ désigne un nombre réel strictement positif. On rappelle que la fonction échelon unité U est définie par : { U(t) = si t< U(t) = si t Une fonction définie sur R est dite causale si elle est nulle sur l intervalle ] ; [. On appellegla fonction causale telle que : et vérifiant g (t) + 4g(t) =e(t) g() = et g () = ) On noteg(p) la transformée de Laplace de la fonctiong ete(p) la transformée de Laplace de la fonctione.. ExprimerE(p) en fonction depet deτ.. En déduire que : G(p) = 3. Déterminer les constantes réellesaetb telles que : 8 4. Déterminer alors l original de p (p + 4). 5. En déduire que, pour tout nombre réelt: 8 ( e pτ ) p (p + 4) 8 p (p + 4) =A p + B p + 4 g(t) =g (t) g (t τ) avecg (t) = (t sin(t)) U (t) 6. Montrer que pourt τ, on a : 7. On suppose maintenant queτ =π. (a) Simplifier l expression deg(t) pourt τ. g(t) = τ sin(t) + sin(t τ) (b) La courbe représentative de la fonction e, pour τ = π, est tracée sur la figure 7 du document réponse. Sur le même graphique, tracer la courbe représentative de la fonction g. 5/9

6 Document réponse de l exercice, spécialité IRIS Fig. Représentation graphique de la courbe de Bézier C C 3 O Tab. Tableau des variations conjointes t t t f (t) + g (t) f (t) g (t) 6/9

7 Document réponse de l exercice, spécialités CIRA, Électrotechnique, Génie optique, Systèmes électroniques, TPIL Fig. Courbe représentative de la fonctionf 3π π π π π 3π Fig. 3 Courbe représentative de la fonctiong 3π π π π π 3π Fig. 4 Courbe représentative de la fonctionh 3π π π π π 3π 7/9

8 Document réponse de l exercice, spécialités CIRA, Électrotechnique, Génie optique, Systèmes électroniques, TPIL Tab. Tableau n A n, 5, 77, 3863, 838, 535, 46 n A n, 94, 383, 378, 399, 74, 48 Tab. 3 Tableau n B n, 4334, 6, 395, 39, 87, 56 n B n,, 35, 47, 5, 367, 4, 4 Fig. 5,8,6,4,,,8,6,4, Fig. 6,4,,,8,6,4, /9

9 Document réponse de l exercice, toutes spécialités Fig. 7 Courbe représentative de la fonctione π+ π+ 9π + 8π + 7π + 6π + 5π + 4π + 3π + π + π + π π+ π π 3π π+ Suggestions ou remarques : xavier.tisserand@ac-poitiers.fr 9/9