Corrigé du Concours Blanc

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1 Corrigé du Concours Blanc Exercice : On considère la fonction f définie par : f(x = x ln(e x + et on note (C la courbe représentative de f dans un repère orthonorrnal.. Etude de la fonction f. a. f est définie et de classe C sur R. b. Soit x R, on a : f(x = x ln(e x + = x ln ( e x ( + e x = x lne x 2 ln(e x + = x ln(e x + = f( x. En particulier, f est paire sur R. c. Pour déterminer la limite éventuelle de fen +, j utilise la dernière expression de f(x. Comme lim x + ln(e x + = 0, il en découle immédiatement que lim f(x =. x + d. D après le calcul précédent, f(x ( x + 2 = 2 ln(e x + x + droite D d équation y = x + 2 est asymptote à C au voisinage de +. D autre part, comme pour tout x R, 2 ln(e x + < 0, C est au-dessous de D. 2. Variations de la fonction f a. Ainsi que nous l avons remarqué, f est de classe C sur R. Sa dérivée est donnée par De plus, pour tout réel x, f (x = 2 e x e x + f (x > 0 2e x < + e x e x < x < Par définition, cela signifie que la J en déduis le tableau de variations de f : x 0 + f ln2 f b. Pour tout x R, Comme ln 2 < lne =, 2 2 ln 2 > 0. f(x = x ln(e x + = e x + = e e x = e. Comme e est strictement positif, l équation f(x = x admet une unique solution sur R : α = ln(e. c. Soit x R, comme f (x = + 2 e x e x, f (x = 2 + (e x + 2.

2 d. Comme f est une fonction strictement négative sur R, f est strictement décroissante sur R. En particulier sa restriction : f : [0, ] R est décroissante. Comme f (0 = + = 0 et f e ( = 2 + e = e, il vient : + e x [0, ], e + e f (x 0 En particulier x [0, ], f (x e. 3. Convergence de la suite (u n. On donne les valeurs approchées à 0 2 près suivantes : f(0 0, 6 f( 0.37 la suite (u n définie par : { u 0 = 0 n N, u n+ = f(u n, ln(e 0, 54. On étudie a. Montrons par récurrence que : n N, u n [0, ] Initialisation : u 0 = 0 [0, ]. Hérédité : soit n N tel que u n [0, ], c est-à-dire 0 u n. Comme f est décroissante sur [0, ], il vient f( u n+ f(0 Vu le valeurs approximatives de f(0 et f(, il s en suit immédiatement que u n+ [0, ]. Conclusion : I m done! ( n e b. Montrons par récurrence que : n N, u n α. Initialisation : u 0 = 0 est inférieur à. Hérédité : soit n N tel que u n α ( n e D après l Inégalité des Accroissements finis, nous avons d après la question 2.d u n+ α = f(u n f(α sup t [0,] f (t u n α ( e u n α ( n+ e. ( n e Conclusion : Par récurrence, j ai prouvé que n N, u n α. c. Comme 0 e <, la suite géométrique de raison e est convergente de limite nulle. Comme pour tout entier n N, ( n e u n α 0 n + j en déduis d après le théorème de convergence par comparaison, que la suite (u n est convergente de limite α. 2

3 Exercice 2 : E désigne un espace vectoriel sur le corps C des nombres complexes. On considère le polynôme T de C[X] défini par : et par f un endomorphisme de E satisfaisant à la relation On étudie la suite des puissances de l endomorphisme f. T(X = 3X 3 X 2 X T(f = Θ.. On vérifie aisément que est racine de T. De plus, en procéda,t par identification ou en posant la division euclidienne, on obtient aisément la factorisation : T = (X (3X 2 + 2X + = 3(X (X X + 3. Le discriminant du polynôme X X + 3 étant strictement négatif, T ne possède d autre racine réelle. De plus, notons α, ᾱ les deux racines complexes et conjuguées du polynôme X X +. {α, ᾱ} sont solutions 3 du système : { α ᾱ = 3 α + ᾱ = On désigne par ϕ l application qui, à tout polynôme P de C[X] associe le reste dans la division euclidienne de P par T. a. Rappelons le théorème de la division euclidienne dans C[X]. Théorème : Etant donné un couple (A, B C[X] C[X] tel que B 0, il existe un couple (Q, R C[X] C[X], unique tel que { A = B Q + R d R < d B b. Soient A, A 2 deux polynômes. Effectuons les divisions euclidiennes de A et A 2 par T. Il vient : où d R < 3; d R 2 < 3. D où pour tout couple (λ, λ 2 C 2, A = T Q + R A 2 = T Q 2 + R 2 λ A + λ 2 A 2 = T ( λ Q + λ 2 Q 2 + ( λ R + λ 2 R 2 Comme par les propriétés algébriques du degré des poynômes d λ R + λ 2 R 2 2, l égalité ci-dessus est la division euclidienne de λ A + λ 2 A 2 par T. Par unicité, il s en suit que le reste dans la division euclidienne de λ A + λ 2 A 2 par T est précisément λ R + λ 2 R 2. Autrement dit : ϕ ( λ A + λ 2 A 2 = λ R + λ 2 R 2 = λ ϕ(a + λ 2 ϕ(a 2 c. Utilisons les caractérisations de l injectivité et de la surjectivité d une application linéaire à l aide du noyau et de l image de cette application. T Ker ϕ, donc Ker ϕ { 0}. Par conséquent ϕ n est pas injectif. Comme le reste dans la division euclidienne par T est un polynôme de degré inférieur ou égal à 2, Im ϕ C 2 [X]. En particulier Im ϕ C[X]. Par conséquent ϕ n est pas surjectif. 3

4 3. On note L, L 2, L 3, les polynômes définis par L (X = (X (X α, L 2 (X = (X (X α, L 3 (X = (X α(x α a. Remarquons que C 2 [X] est de dimension 3. Par suite, nous avons les équivalences suivantes : (L, L 2, L 3 est une base ssi elle est génératrice (minimale ssi elle est libre (maximale Montrons qu elle est libre. Soit (λ, λ 2, λ 3 C 3 tels que λ L + λ 2 L 2 + λ 3 L 3 = 0. Montrons que nécessairement, λ = λ 2 = λ 3 = 0. Pour cela, évaluons la relation polynômiale λ L + λ 2 L 2 + λ 3 L 3 = 0 en ᾱ, α et. Il vient λ L (ᾱ = 0 λ 2 L 2 (α = 0 λ 3 L 3 ( = 0 D où il résulte finalement λ = λ 2 = λ 3 = 0. Ainsi, (L, L 2, L 3 est libre (maximale dans C 2 [X], c est donc une base de C 2 [X]. b. Soit n un entier naturel, alors ϕ(x n est un polynôme de degré inférieur ou égal à 2. Comme (L, L 2, L 3 est une base de C 2 [X], ϕ(x n se décompose de façon unique dans cette base : il existe donc un unique triplet (a n, b n, c n appartenant à C 3 tel que : ϕ(x n = a n L + b n L 2 + c n L 3. Pour exprimer a n, b n, c n en fonction de α et α, remarquons que X n = T Q n + a n L + b n L 2 + c n L 3. Evaluons cette égalité aux points, α, ᾱ. Il vient : = c n ( α( ᾱ α n = b n (α (α ᾱ ᾱ n = a n (ᾱ (ᾱ α En particulier, comme ( α( ᾱ = + αᾱ (α + ᾱ = + /3 + 2/3 = 2, il en résulte c n = /2 α n b n = α (α ᾱ ᾱ n a n = ᾱ (ᾱ α c. Reprenons l égalité polynômiale X n = T Q n + a n L + b n L 2 + c n L 3, et appliquons-la à un endomorphisme u L(E. Nous obtenons u n = T(u Q n (u + a n L (u + b n L 2 (u + c n L 3 (u. Ceci étant valable pour n importe quel endomorphisme u de E c est vrai en particulier pour f. Comme par hypothèse T(f = Θ, il vient : f n = a n L (f + b n L 2 (f + c n L 3 (f 4

5 Problème : Partie I. Etude d une variable discrète d univers image fini. Deux urnes A et B, initialement vides, peuvent contenir respectivement au plus n et m boules (n, m. On s intéresse au protocole suivant On choisit l urne A avec la probabilité p ]0, [, l urne B avec la probabilité q = p. On met une boule dans l urne choisie. On répète cette épreuve autant de fois qu il est nécessaire pour que l une des urnes soit pleine. Les choix des urnes sont mutuellement indépendants. A. Préliminaires. On définit la suite de terme général a n par : a n =. a = ( 2 = 4 2. Soit n, a n+ n + = a n = 4 = 4 = 2 4 n 4 n+ 4n n + ( 2n, n. n ( 2n + 2 n + ( 2n n (2n + 2! n! n! (n +! (n +! (2n! + (2n + 2(2n + n (n + 2 2n Montrons par récurrence que pour tout entier n : a n 2n +. Initialisation : a = /2 /3. Hérédité : Soit n tel que a n. D après la question précédente 2n + a n+ = 2 2n + + a n 2 2n + n n + 2n + 2n Pour conclure, il suffit de vérifier que tout entier naturel n : 2n n + n Ceci découle des équivalences suivantes, valides pour 2n n + 3 2n + 4 (n + n + 2n + 3 (2n + (2n + 3 4(n + 2 4n 2 + 8n + 3 4n 2 + 8n n + 3. Il en résulte que a n+ Conclusion : par récurrence, j ai montré que pour tout entier n : a n n 2n +. 5

6 3. D après la première question, a n+ a n = 2 2n + +. Or pour tout entier naturel non nul n N, a n+ a n 2n n 2 + 4n + 4n 2 + 4n. Cette dernière inégalité étant trivialement vraie, il s en suit que a n+ la suite (a n est croissante. De plus, d après la question 2, 2 a n n 2n + a n 2 est supérieur ou égal à. En conséquence Il en résulte d une part que la suite monotone (a n est bornée, donc convergente; et d autre part que sa limite l vérifie 2 l 2. On admet que l = / π. B. Etude de cas particuliers. Dans cette partie seulement m = n et p = q = 2. On note R n la variable aléatoire égale au nombre (éventuellement nul de boules contenues dans l urne qui n est pas pleine, à l issue de l expérience.. Loi de R Si n =, le jeu s arrête dès que l une des deux urnes contient une boule. Par conséquent, le jeu s arrête au premier coup! L urne qui n est pas pleine est vide. r i 0 P[R = r i ] Loi de R 2 Lorsque n = 2, le jeu s arrête lorsqu une urne contient deux boules. En ce cas, l autre urne contient 0, ou boule. Pour calculer la loi de R 2, je fais un arbre. A B A B A B A B A B J en déduis r i 0 P[R 2 = r i ] /2 /2 Il en résulte facilement que E(R 2 = /2 et V (R 2 = /4. Loi de R 3 Les valeurs possibles pour R 3 sont 0, et 2. [R 3 = 0] : les cas favorables sont (A, A, A et (B, B, B. Les choix des urnes étant indépendants, il vient P[R 3 = 0] = = 4. [R 3 = ] : il y a 2 ( 3 = 6 cas favorables pour 2 4 cas possibles. D où P[R 3 = ] = =

7 2. [R 3 = 2] : il y a 2 ( 4 2 = 2 cas favorables pour 2 5 cas possibles. D où J en déduis la loi de R 3 : r i 0 2 P[R 3 = r i ] /4 3/8 3/8 P[R 3 = 2] = = 3 8. Il en résulte facilement que E(R 3 = 9/8 et V (R 3 = 39/64. Dans toute la suite du problème n R n (Ω[[0, ]]. 4. Soit k [[0, ]]. a. Soit E n,k l événement à l issue du ( + k ième tirage l urne A contienne boules et l urne B contienne k boules Il y a n +k tirages. Un résultat possible est donc une liste de symboles A ou B. Donc Ω = {A, B} n+k est muni de la probabilité uniforme : Card Ω = 2 n+k. E n,k est l ensemble des listes contenant exactement symboles A. Une telle liste est entièrement et uniquement déterminée par les places des symboles A. Par suite ( ( + k + k Card E n,k = =. k ( +k D où finalement P(E n,k = 2 +k. b. [R n = k] est réalisé lorsque E n,k est réalisé puis l urne A est choisie au n + k ième coup, ou bien lorsqu on a choisi fois l urne B au cours des + k premiers tirages et encore l urne B au n + k ième coup. Il en résulte que ( P([R n = k] = 2 P(E n,k ( +k k = 2 2 +k 5. Soit k [[0, n 2]]. ( n+k ( k+ n + k 2(k + P[R n = k + ] = 2(k + 2 n+k = 2 n+ k (k + k + ( n + k = 2 n+ k (n + k k = (n + kp[r n = k] D où k [[0, n 2]], 2(k + P([R n = k + ] = (n + kp([r n = k] 6. Sommons l égalité précédente pour k compris entre 0 et n 2, il vient : n 2 2(k + P([R n = k + ] = 2 kp[r n = k] = k= 2 k= n 2 (n + kp([r n = k] (n + kp([r n = k] (2P[R n = ] kp[r n = k] = n + k P([R n = k] (2P[R n = ]. 7

8 Comme E(R n = k P([R n = k] = k P([R n = k], j en déduis k= E(R n = n (2P([R n = ] 7. n E(R n = (2P[R n = ] = (2 ( 2n 2 2n ( 2n 2 4. Or, d après les préliminaires, nous savons que a = plus l infini. Autrement dit Il en découle que ( 2n 2 4 π n E(R n 2 π 2 2n 2 = (2 ( 2n 2 4 ( 2n 2 4 converge vers / π quand n tend vers π C. Retour au cas général. On abandonne les conditions m = n et p = q = 2.. Introduisons les événements G A l expérience se termine et l urne A est pleine G B l expérience se termine et l urne B est pleine, et pour k [[0, m ]] E n,k l événement à l issue du ( + k ième tirage l urne A contienne boules et l urne B contienne k boules. E n,k correspond à la réalisation de succès(a dans une suite de + k expériences de Bernouilli indépendantes de même paramètre p. Par conséquent, ( + k P(E n,k = p q k Il en résulte que P(G A = m ( + k p n q k De même, en échangeant les rôles de n et m, de p et de q, il vient ( m + k P(G B = q m p k Comme le jeu se termine certainement en moins de n + m coups, = P(G A + P(G B, c est-à-dire : q m ( m m + k ( + k p k + p n q k = m 2. On pose u m = m ( + k q k = P(G A. 8

9 a. Comme pour tout entier m, u m+ u m = q m( +m 0, (um est une suite croissante. De plus d après ( ( + k p n u m + q m p k = Par suite pour tous entiers naturels non nuls n et m 0 u m p n Ainsi, la suite (u m est croissante et majorée (par /p : elle est donc convergente. b. Soit k [[0, ]], ( m + k = m (m + k (m + k 2 m k! m + m k k!. c. Comme les termes de la somme ci-dessous sont tous positifs, j en déduis que lorsque m + : D où q m ( m + k p k m lim m + qm q m p k mk k! q m p m (! m + 0. ( m + k p k = 0 m d. Passons à la limite quand m tend vers + dans (. Il vient lim u m = m + p n Remarque : Nous retrouvons ici la convergence et la somme de la série géométrique de raison q dérivée fois. Partie II. Etude d une variable discrète d univers image infini. Dans cette dernière partie l urne B, initialement vide, a une capacité illimitée et l urne A, initialement vide, peut contenir au plus n boules (n. On s intéresse au protocole suivant On choisit l urne A avec. la probabilité p ]0, [, l urne B avec la probabilité q = p. On met une boule dans l urne choisie. On répète cette épreuve autant de fois qu il est nécessaire pour que l urne A soit pleine. Les choix successifs des urnes sont mutuellement indépendants. On note T n le nombre (éventuellement nul de boules contenues dans l urne B et (Z j j [,n]], les variables aléatoires définies de la façon suivante : Z compte le nombre de boules mises dans B avant de mettre la première boule dans A. Pour tout entier j de [[2, n]], Z j compte le nombre de boules mises dans B entre la (j ième boule et la j ième boule mises dans A. On admet que T n est une variable aléatoire.. T n (Ω = N. 2. Soit k N. Les résultats établis à la question Partie I.C. lors du calcul de P(G A restent valides dans ce contexte. Ainsi ( + k P[T n = k] = p n q k 9

10 3. Avec les notations de la Partie I.C + P([T n = k] = p n lim m u m =. 4. Z est le nombre d échecs avant le premier succès dans une suite d expériences de Bernouilli indépendantes de même paramètre p. Autrement dit Z + est le temps d attente du premier succès. Par suite Z + suit une loi géométrique de paramètre p. Il en résulte aisément que : Z (Ω = N et pour tout entier k N, P[Z = k] = p q k, E(Z = + p et V (Z = q p 2 Comme pour tout entier j [[, n]], Z j suit la même loi que Z, il vient : Z j (Ω = N et pour tout entier k N, P[Z j = k] = p q k, E(Z j = + p et V (Z j = q p 2 5. Par construction des variables Z j, il est clair que T n = Z + Z Z n 6. Par linéarité de l espérance, il en résulte que E(T n = E(Z + + E(Z n = n + n p De plus les variables aléatoires (Z j j étant mutuellement indépendantes, V (T n = V (Z + + V (Z n = n q p 2 0