Probabilités et variables aléatoires

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1 robabilités et variables aléatoires Table des matières I) robabilités 1 a) robabilité d un événement b) Événements élémentaires équiprobables c) Événement contraire d) Événements A B et A B e) Arbre pondéré II) ariable aléatoire 3 a) Introduction b) c) Étude de l exemple : d) Espérance, variance et écart-type e) Deuxième exemple

2 ourcentage I) robabilités a) robabilité d un événement Exemple : Soit l expérience aléatoire : «On lance un dé à six faces et on regarde le résultat.» L ensemble de toutes les issues possibles Ω={1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} s appelle l univers des possibles. On considère l événement A : «On obtient un résultat pair». On a donc : A={2 ; 4 ; 6}. On considère l événement élémentaire E : «On obtient un 3». On a donc : E= {3}. Chaque résultat d une expérience aléatoire s appelle une issue. L univers des possibles est l ensemble des issues d une expérience aléatoire. Un événement est un sous-ensemble de l univers des possibles. Un événement élémentaire est un événement contenant une seule issue. La probabilité d un événement est la somme des probabilités des événements élémentaires qui le constituent. emarque : Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1 La somme des probabilités des évènements élémentaires vaut toujours 1 b) Événements élémentaires équiprobables ropriété Si les événements élémentaires sont équiprobables, alors la probabilité de l événement A est égal à : nombre d événements élémentaires constituanta (A)= nombre total d événements élémentaires de l univers c) Événement contraire L événement contraire de l événement A se note A, est constitué de toutes les issues ne se trouvant pas dans A. ropriété p(a)=1 p(a) Lycée du golfe age 1/5

3 ourcentage d) Événements A B et A B L événement A B est constitué de toutes les issues se trouvant à la fois dans A et dans B. L événement A B est constitué de toutes les issues se trouvant dans l un au moins des événements A ou B. ropriété p(a B)= p(a)+ p(b) p(a B) e) Arbre pondéré ropriété Lorsqu une situation est représentée par un arbre pondéré, la probabilité d un événement correspondant à un chemin est égale au produit des probabilités inscrites sur chaque branche de ce chemin. Exemple Une urne contient 4 boules rouges et 6 boules vertes. On tire successivement 2 boules de l urne, sans remettre la première boule dans l urne et on s intéresse au nombre de boule(s) rouge(s) obtenue(s). On peut faire un arbre pondéré pour modéliser la situation : 1. Quelle est la probabilité d obtenir deux boules rouges? 2. Quelle est la probabilité d obtenir une seule boule rouge? Lycée du golfe age 2/5

4 ourcentage II) ariable aléatoire a) Introduction Une urne contient 3 boules rouges et 5 boules vertes. On tire simultanément 2 boules de l urne et on s intéresse au nombre de boule(s) rouge(s) obtenue(s). On crée ainsi une fonction X définie sur l univers qui à chaque issue e i (ici chaque tirage), fait correspondre un nombre entier X(e i )= x i compris entre 0 et 2. b) On appelle variable aléatoire, une fonction X qui a chaque issue d un univers associe un nombre réel. L événement «X prend la valeur x i» se note (X=x i ). Méthode Donner la loi de probabilité de X, c est donner toutes les valeurs x i prises par X ainsi que toutes les probabilités p(x=x i ). On la présente souvent dans un tableau. c) Étude de l exemple : Ici, les valeurs prises par X sont 0, 1 ou 2. On peut faire un arbre pondéré pour trouver la loi de probabilité de X : p(x= 0)= p()= = == 15 p(x= 1)= p()+ p()= p(x= 2)= p()= = 3 On obtient donc la loi de probabilité suivante pour X : x i p(x=x i ) Lycée du golfe age 3/5

5 ourcentage d) Espérance, variance et écart-type On définit alors l espérance E(X), la variance (X) et l écart-type σ(x) de la variable aléatoire X par : E(X)= (X)= n x i p(x=x i ) i=1 n x 2 i p(x=x i ) (E(X)) 2 i=1 σ(x)= (X) e) Deuxième exemple On lance quatre fois une pièce de 1 euro ordinaire et on appelle X la variable aléatoire qui compte le nombre de fois où on a obtenu ile. 1. aire un arbre L expérience aléatoire a 16 issues équiprobables. 2. Déterminer la probabilité de chacun des tirages suivants : A : «On obtient quatre fois pile» ; A est un événement élémentaire car il est constituer d une seule issue : A= { } donc p(a)= 1 16 Lycée du golfe age 4/5

6 ourcentage B : «On obtient une seule fois pile» ; B est un événement qui est constitué de quatre issues : B= {,,, } donc p(b)= 4 16 = 1 4 C : «On obtient au moins une fois pile». Il vaut mieux travailler sur l événement contraire : C = { } donc p(c)= = D : «On obtient deux fois pile». D est un événement qui est constitué de six issues : D= {,,,,, } donc p(b)= 6 16 = 3 8 Lycée du golfe age 5/5