Bac S 2013 Amérique du nord EXERCICE II : STATION SPATIALE ISS (6,5 points)

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1 Lycée Joliot Curie à 7 PHYIQUE - Capitre XI Classe de erminale ujet Bac Cours n 11 «Mouement des satellites et des planètes» Bac 013 Amérique du nord EXERCICE II : AION PAIALE I (6,5 points) La station spatiale internationale I (International pace tation) est à ce jour le plus rand des objets artificiels placé en orbite terrestre à une altitude de 400 km Elle est occupée en permanence par un équipae international qui se consacre à la recerce scientifique dans l enironnement spatial Jusqu à présent, trois aisseaux caros AV ont permis de raitailler la station I Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes PARIE A : Étude du mouement de la station spatiale I La station spatiale internationale, supposée ponctuelle et notée, éolue sur une orbite qu on admettra circulaire, dont le plan est incliné de 51,6 par rapport au plan de l équateur on altitude est eniron éale à 400 km Données : rayon de la erre : R = 6380 km masse de la station : m = 435 tonnes masse de la erre, supposée ponctuelle : M = 5, k constante de raitation unierselle : G = 6, m 3 k 1 s altitude de la station I : expression de la aleur de la force d interaction raitationnelle F entre deux corps A et B ponctuels de masses respecties m A et m B, distants de d = AB : F ma mb G d 1 Représenter sur un scéma : - la erre et la station, supposée ponctuelle ; - un ecteur unitaire u orienté de la station ers la erre () ; - la force d interaction raitationnelle exercée par la erre sur la station Donner l expression ectorielle de cette force en fonction du ecteur unitaire u En considérant la seule action de la erre, établir l expression ectorielle de l accélération a de la station dans le référentiel éocentrique, supposé aliléen, en fonction de G, M,, R et du ecteur unitaire u 3 Vitesse du satellite 31 Montrer que, dans le cas d un mouement circulaire, la aleur de la itesse du GM satellite de la station a pour expression : R 3 Calculer la aleur de la itesse de la station en ms 1 4 Combien de réolutions autour de la erre un astronaute présent à bord de la station spatiale internationale fait-il en 4?

2 PARIE B : Raitaillement de la station I Le 3 mars 01, un lanceur Ariane 5 a décollé du port spatial de l Europe à Kourou (Guyane), emportant à son bord le éicule de transfert automatique (AV) qui permet de raitailler la station spatiale internationale (I) Au moment du décollae, la masse de la fusée est éale à 7,8 10 tonnes, dont eniron 3,5 tonnes de caraison : erols, oxyène, air, eau potable, équipements scientifiques, ires et êtements pour l équipae à bord de l AV D après ttp://wwwesaint/esacp/pr_10_01_p_frtml On se propose dans cette partie d étudier le décollae de la fusée Pour ce faire, on se place dans le référentiel terrestre supposé aliléen À la date t = 0 s, le système est immobile À t = 1 s, la fusée a éjecté une masse de az notée m, à la itesse alors notée m f et sa itesse f Données : Intensité de la pesanteur à Kourou : = 9,78 Nk -1 Débit d éjection des az au décollae : D =, ks -1 Vitesse d éjection des az au décollae : = 4,0 kms 1 a masse est 1 Modèle simplifié du décollae Dans ce modèle simplifié, on suppose que le système {fusée + az} est isolé 11 En comparant la quantité de mouement du système considéré aux dates t = 0 s et t = 1 s, montrer que : f Quelle est la conséquence de l éjection de ces az sur le mouement de la fusée? 1 Après aoir montré numériquement que la ariation de la masse de la fusée est nélieable au bout d une seconde après le décollae, calculer la aleur de la itesse de la fusée à cet instant Étude plus réaliste du décollae 1 En réalité la itesse f est très inférieure à celle calculée à la question 1 En supposant que le système {fusée + az} est isolé, quelle force n aurait-on pas dû nélier? On considère désormais le système {fusée} Il est soumis à son poids P et à la force de poussée F définie par F D où D est la masse de az éjecté par seconde 1 Montrer que le produit (D ) est omoène à une force Vérifier par une application numérique que la fusée peut effectiement décoller Capitre XI : Mouement des satellites et des planètes Pae

3 Lycée Joliot Curie à 7 PHYIQUE - Capitre XI Classe de erminale Correction ujet Bac Cours n 11 «Mouement des satellites et des planètes» CORRECION Amérique du nord 013 EXERCICE II : AION PAIALE I Partie A : Étude du mouement de la station spatiale I 1 céma : L expression ectorielle de la force raitationnelle F/ u F / exercée par la erre sur la station est : mm F/ G u d Le système {station I} est étudié dans le référentiel éocentrique supposé aliléen La station n est soumise qu à la force raitationnelle F / La masse m de la station étant constante, la deuxième loi de Newton s écrit : F / = m a En posant d = R + il ient : Finalement : GM a u R 31 Dans le repère de Frenet,n,, le ecteur accélération s écrit : aec n u on a : d a u R dt mm G u ma R Capitre XI : Mouement des satellites et des planètes Pae 3 a n d R dt En éalant les deux expressions de l accélération, il ient : GM d R u u R dt GM sur u : Par identification on obtient : R R d sur : 0 cte dt La aleur de la itesse de la station est constante donc le mouement est uniforme GM L expression de la itesse s obtient à partir de la relation : R R GM R soit finalement : 3 On conertit R + en m : GM R , ,98 10 = 7, ms 1 = 7,67 kms oit la période de réolution de la station autour de la erre, comme le mouement R est circulaire et uniforme de rayon R +, la itesse s écrit : =

4 3 3 R donc soit = 5, s = 1,54 3 7,67 10 t Le nombre n de réolutions de la station en Δt = 4 est n = 4 n = = 15,6 Un astronaute à bord de la station I fait plus de 15 fois le tour de la 1,54 erre en 4 Partie B : Raitaillement de la station I 1 Modèle simplifié du décollae 11 Le système = {fusée + az} étant supposé isolé, la quantité de mouement p du système se consere au cours du temps Entre les dates t = 0 et t = 1 s on a donc : p (t 0 s) p (t 1 s) Initialement le système est immobile (on considère que les az n ont pas encore eu le temps d être éjectés de la fusée) donc p (t 0 s) 0 d où 0 pf p, soit 0 m f m donc finalement : f Lors du décollae, les az sont éjectés ers le bas La relation précédente montre que la fusée est alors propulsée ers le aut Il s ait d un exemple de mode de propulsion par réaction 1 Entre les dates t = 0 et t = 1 s, la ariation de masse m de la fusée est due à l éjection de az qui a lieu aec un débit D La masse m des az éjectés s écrit m = Dt Donc m = Dt Pour t = 1 s on a : m =, =,910 3 k k = 3 t m,9 En exprimant les masses en tonnes, calculons: =3,710 3 = 0,37% 0,4 % i 7,8 10 La ariation de masse Δm de la fusée au bout d une seconde après le décollae est inférieure à 1 % de la masse initiale m fi de la fusée : elle est donc nélieable On considère que la masse m f de la fusée n a pas arié une seconde après le décollae Calculons alors la aleur de la itesse de la fusée : En projetant la relation f selon un axe ertical il ient : f En laissant les masses en tonnes et la itesse en kms 1,9, il ient : f 4,0 7,8 10 f = 1,510 kms 1 = 15 ms 1 1 i la itesse est en réalité très inférieure à celle calculée, c est que le système n est pas isolé Le système {fusée + az} subit la force poids qui le ralentit fortement (et dans une moindre mesure la force de frottement de l air) 1 D s exprime en ks 1 s exprime en ms 1 Donc D s exprime en kms Le produit D est donc omoène à une masse (k) multipliée par une accélération (ms ) f Capitre XI : Mouement des satellites et des planètes Pae 4

5 La deuxième loi de Newton F ext ma permet de conclure que le produit D est omoène à une force La fusée peut décoller si la aleur F de la force de poussée F D est supérieure à la aleur P du poids P de la fusée : P = m f soit P = 7, ,78 = 7,610 6 N (conertir m f en k) F = D soit F =, ,010 3 = N Comme F > P, la fusée peut décoller Capitre XI : Mouement des satellites et des planètes Pae 5