Matrices aléatoires non commutatives et mesure de Plancherel

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Paul Boulet
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1 Matrices aléatoires non commutatives et mesure de Plancherel Laboratoire d'informatique de l'institut Gaspard-Monge, Université Paris-Est Séminaire du laboratoire, 8 avril 2008

2 Cadre de travail Notation : S n groupe des permutations de {1,..., n} Représentations irréductibles de S n partitions λ n. Objectif : Etudier asymptotiquement la forme de certaines partitions.

3 Plan 1 Matrice de Biane et mesure de Plancherel Diagramme de Young et mesure de transition Outil d'étude

4 Plan 1 Matrice de Biane et mesure de Plancherel Diagramme de Young et mesure de transition Outil d'étude 2 Trace et chemins Cas d'une matrice gaussienne Cas de la matrice de Biane

5 Plan 1 Matrice de Biane et mesure de Plancherel Diagramme de Young et mesure de transition Outil d'étude 2 Trace et chemins Cas d'une matrice gaussienne Cas de la matrice de Biane 3

6 Partitions et diagrammes de Young Diagramme de Young et mesure de transition Outil d'étude Une partition λ d'un entier n 0 est une suite décroissante λ 1 λ 2... λ r de somme n.

7 Partitions et diagrammes de Young Diagramme de Young et mesure de transition Outil d'étude Une partition λ d'un entier n 0 est une suite décroissante λ 1 λ 2... λ r de somme n. Représentation graphique par un digramme de Young (à la russe) : λ 1 = 3; λ 2 = λ 3 = 2; λ 4 = 1; λ 5 =... = 0.

8 Partitions et diagrammes de Young Diagramme de Young et mesure de transition Outil d'étude Une partition λ d'un entier n 0 est une suite décroissante λ 1 λ 2... λ r de somme n. Représentation graphique par un digramme de Young (à la russe) : x 1 y 1 x 2 y 2 x 3 y 3 x 4

9 Mesure de transition Diagramme de Young et mesure de transition Outil d'étude diagramme de Young λ n mesure de transition m λ La mesure m λ est la mesure de probabilité sur R dénie par : dm λ (s) = z y i i R z s i z x i

10 Mesure de transition Diagramme de Young et mesure de transition Outil d'étude diagramme de Young λ n mesure de transition m λ La mesure m λ est la mesure de probabilité sur R dénie par : dm λ (s) = z y i i m λ est supportée par {x i } R z s i z x i endroits où on peut ajouter une case au diagramme λ n pour obtenir un autre diagramme µ n + 1

11 Génération aléatoire de diagramme Diagramme de Young et mesure de transition Outil d'étude Interprétation : mesure de transition entre diagrammes. mesure de Plancherel : Itération depuis mesure de proba P n sur les diagrammes à n cases Objectif : Calculer les moments de la mesure m P n = λ n P n (λ)m λ. permet de connaître la forme limite des diagrammes.

12 Autre question liée Diagramme de Young et mesure de transition Outil d'étude On tire une permutation de longueur n au hasard

13 Autre question liée Diagramme de Young et mesure de transition Outil d'étude On tire une permutation de longueur n au hasard Distribution de la longueur maximale d'une sous suite croissante (ici 4)?

14 Autre question liée Diagramme de Young et mesure de transition Outil d'étude On tire une permutation de longueur n au hasard Distribution de la longueur maximale d'une sous suite croissante (ici 4)? Proposition Distribution de la longueur maximale d'une sous-suite croissante = Distribution de la première ligne d'une partition sous la mesure de Plancherel

15 Formule pour les moments Diagramme de Young et mesure de transition Outil d'étude Notation (Matrice de Biane) Soit (i j) la transposition échangeant i et j de S n, posons : (1 2)... (1 n) B n =. 1 (2 1) (n 1 n) 1 (n 1)... (n n 1) 0 Proposition M s (m P n) = E ( 1 n tr(b s n) ) où { E(Id) = 1 E(σ) = 0 si σ Id

16 En fait... Diagramme de Young et mesure de transition Outil d'étude Le comportement limite de la mesure P n est bien connu : forme limite, oscillation autour de la forme limite, oscillation d'un nombre xé de lignes autour de leur longueur moyenne... Mais... la matrice de Biane pourrait permettre d'étudier d'autres mesures apparaissant dans la théorie des représentations du groupe symétrique.

17 Trace et chemins Cas d'une matrice gaussienne Cas de la matrice de Biane Combinatoire de la trace d'une puissance matricielle Soit A = ( ) a i,j une matrice n n. 1 i n 1 j n tr(a s ) = 1 i0,...,i s 1 n a i0,i1 a i1,i2... a i s 2,i s 1 a i s 1,i0

18 Matrice de Biane et mesure de Plancherel Trace et chemins Cas d'une matrice gaussienne Cas de la matrice de Biane Combinatoire de la trace d'une puissance matricielle Soit A = ( ) a i,j une matrice n n. 1 i n 1 j n tr(a s ) = = 1 i0,...,i s 1 n C=(e i ) 1 i s a i0,i1 a i1,i2... a i s 2,i s 1 a i s 1,i0 a e1... a es où la somme parcourt les chemins fermés de longueurs s dans le graphe complet à n sommets. i e2 2 e1 i 0 i 1 = i 4 e5 e4 i 3 e3

19 Asymptotique Trace et chemins Cas d'une matrice gaussienne Cas de la matrice de Biane Question : asymptotique de E(tr(A s )) quand Hypothèse : { E(a i0,i1 a i1,i2... a i s 2,i s 1 a i s 1,i0 ) n s xe? ne dépend que de la forme du chemin correspondant (et pas des étiquettes des sommets).

20 Asymptotique Trace et chemins Cas d'une matrice gaussienne Cas de la matrice de Biane Question : asymptotique de E(tr(A s )) quand Hypothèse : { E(a i0,i1 a i1,i2... a i s 2,i s 1 a i s 1,i0 ) n s xe? ne dépend que de la forme du chemin correspondant (et pas des étiquettes des sommets). Alors E(tr(A s )) = C forme de chemin n(n 1)... (n V (C + 1) E(C) On cherche les chemins avec un nombre de sommets maximal parmi ceux vériant E(C) 0.

21 Modèle gaussien Trace et chemins Cas d'une matrice gaussienne Cas de la matrice de Biane Hypothèse : A symétrique et les (a i,j) i j sont des variables gaussiennes de variance 1 indépendantes.

22 Matrice de Biane et mesure de Plancherel Modèle gaussien Trace et chemins Cas d'une matrice gaussienne Cas de la matrice de Biane Hypothèse : A symétrique et les (a i,j) i j sont des variables gaussiennes de variance 1 indépendantes. Alors seuls les chemins pairs (i.e. les chemins où toutes les arêtes sont parcourues un nombre pair de fois) ont une contribution non nulle à E. Exemple (chemin pair) i 0 i 2 e2 e3 e1 i 1,3,11 e12 e4 e11 i 4,7,10 e5 e8 e10 e7 i 5,8 e9 i 6,9 e6

23 Terme dominant Trace et chemins Cas d'une matrice gaussienne Cas de la matrice de Biane Soit i un chemin pair avec {i j } s + 1. sommet i k par lequel on ne passe qu'une fois. Alors i k 1 = i k+1.

24 Terme dominant Trace et chemins Cas d'une matrice gaussienne Cas de la matrice de Biane Soit i un chemin pair avec {i j } s + 1. sommet i k par lequel on ne passe qu'une fois. Alors i k 1 = i k+1. Cardinal maximal : s + 1 Nombre de formes de chemins correspondantes : C s = 1 s+1 ( 2s s )

25 Transposition du cas gaussien Trace et chemins Cas d'une matrice gaussienne Cas de la matrice de Biane Remarque : On oubliera la présence de la ligne et de la colonne de 1 qui ne change pas le résultat. Soit i une suite (dite admissible) telle que : (i 0 i 1 )(i 1 i 2 )... (i s 2i s 1)(i s 1i 0 ) = Id Alors, si j k : i j = i k, nécessairement i k 1 = i k+1

26 Trace et chemins Cas d'une matrice gaussienne Cas de la matrice de Biane Comparaison des asymptotique Même comportement asymptotique des chemins que les matrices gaussiennes : Théorème M 2s (m P n) C s n s Avec des renormalisations adéquates, la limite de la mesure m Pn la distribution asymptotique des valeurs propres d'une matrice Gaussienne (i.e. loi du demi cercle). est

27 Et pour s plus grand... Proposition L'asymptotique M 2s (m Pn ) C s n s est encore valable pour s = o(n 1/3 ) Motivation : comportement des premières lignes d'une partition aléatoire? Proposition oscillation des premières lignes est d'ordre inférieure ou égale à n 1/3

28 Matrice de Biane et mesure de Plancherel Suites admissibles et chemins de Dick Exemple i suite admissible Chemin de Dick y k = (i 0 i 1 )... (i k 1i k ) }{{} σ k

29 Matrice de Biane et mesure de Plancherel Suites admissibles et chemins de Dick Exemple i suite admissible Chemin de Dick y k = (i0 i 1 )... (i k 1i k ) }{{} σ k Choix canonique pour les descentes : i k+1 = σ 1 (i k k) (ici 1 choix non canonique).

30 Matrice de Biane et mesure de Plancherel Suites admissibles et chemins de Dick Exemple i suite admissible Chemin de Dick y k = (i 0 i 1 )... (i k 1i k ) }{{} σ k répétition parmi les arrivées des pas montants

31 Esquisse de preuve Terme dominant à s xe : suites sans répétitions que des choix canoniques.

32 Esquisse de preuve Terme dominant à s xe : suites sans répétitions que des choix canoniques. Lemme Le nombre de choix non canoniques est majoré par le nombre de répétitions non eaçables.

33 Esquisse de preuve Terme dominant à s xe : suites sans répétitions que des choix canoniques. Lemme Le nombre de choix non canoniques est majoré par le nombre de répétitions non eaçables. Introduire un choix non canonique multiplie le nombre de suite par : αs (nombre de positions) αy k α s (nombre de valeurs possibles) αs s (idem : position et valeurs de la répétition) α 1 n (un choix de valeurs en moins dû à la répétition) i.e. par α s3 n, CQFD!

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