CHAPITRE 11 : PUISSANCE EN REGIME FORCE

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1 CSI CHAIE : SSANCE EN EGIME FOCE /6 CHAIE : SSANCE EN EGIME FOCE I. INODUCION Le lecteur attentif se souvenant de l électrocinétique de première partie aura remarqué que nous avons systématiquement omis toute mention à l énergie au cours du précédent chapitre. Nous allons consacrer le chapitre à des considérations énergétiques en régime forcé. Comme on peut s y attendre, les bilans énergétiques feront apparaître des nouveautés par rapport à notre étude en régime continu. La dépendance temporelle des signaux nous amènera tout d abord à distinguer puissance instantanée et puissance moyenne. Ensuite, l existence d un déphasage entre tension et courant nous mènera à introduire les notions de facteur de puissance et d adaptation d impédance et, enfin, la dépendance du circuit envers la fréquence conduira à l existence d une résonance en puissance. II. SSANCE INSANANEE ) Définition u(t) i(t) D Figure.. : appel de la convention récepteur L expression connue de la puissance reçue par un dipôle en convention récepteur (figure..) se généralise aux régimes variables en introduisant la puissance instantanée p () t reçue par le dipôle à la date t : p t = u t i t ) Cas des régimes sinusoïdaux ( ) ( ) ( ) On note ϕ le déphasage du courant par rapport à la tension. On a donc en choisissant convenablement l origine des temps : u () t = U cos ( ωt ) et i( t) = I cos( ωt+ ϕ ) La puissance instantanée est : p() t = UIcos( ωt) cos( ωt+ ϕ) = UI cosϕ+ cos( ωt+ ϕ) où on trouve la dernière égalité en utilisant l identité d Euler pour passer en notation complexe. La puissance reçue par le dipôle est donc périodique, sa pulsation est double de celle de la tension à ses bornes (sa période est donc moitié). Le dipôle se comporte comme un récepteur lorsque > et comme un générateur lorsque <. La puissance instantanée oscille autour de la valeur cosϕ, a pour valeur à l origine cosϕ et pour valeur extrémales ( cosϕ + ) et ( cosϕ ). La courbe correspondante est représentée en figure. pour divers déphasages, les valeurs particulières sont données pour l exemple du déphasage ϕ.

2 CSI CHAIE : SSANCE EN EGIME FOCE /6 () t ( + cosϕ ) cos ϕ cosϕ ( cos ϕ ) ϕ = ϕ ϕ = π 4 ECEEU 3 = π GENEAEU ϕ4 = 7π 8 Figure.. : uissance instantanée III. SSANCE MOYENNE ) Valeur moyenne La moyenne temporelle d une grandeur ( ) f t sur une durée t = t t s écrit : f t t () = f t dt t f est donc la valeur constante dont l intégration sur la durée t est égale à l intégrale de ( ) f t. Géométriquement, cela se traduit par l égalité des aires algébriques se trouvant sous les courbes f t et f = cte (figure.3.). () f ( x) f ( x) entre et. les aires sous les deux courbes sont égales Figure.3. : Interprétation géométrique du calcul de la valeur moyenne Exemples : La moyenne d une fonction périodique sinusoïdale sur une période est nulle : t t cos( ωt+ ϕ) = cos π ϕ dt sin π ϕ + = + = π ce qui se comprend par l interprétation géométrique de l intégrale, les aires de la courbe au dessus et en dessous de l axe des abscisses étant égales. De même, l intégrale de toute fonction impaire entre une date arbitraire et son opposé est nulle. La moyenne du carré d une fonction périodique est appelée «valeur quadratique moyenne». La valeur quadratique moyenne d une fonction sinusoïdale est égale à un demi : cos ( ω t t ϕ ) cos dt π ϕ + = + =

3 CSI CHAIE : SSANCE EN EGIME FOCE 3/6 4 ix ix puisque cos ( x) = ( + e + e ) = ( + cos( x) ) ) Définition La puissance moyenne est la moyenne de la puissance instantanée sur une période. Si on note la période de la tension, elle s écrit : () () p t = p t dt Dans le cas où les courant et tensions sont sinusoïdaux, elle devient d après les résultats des exemples du : = cos ϕ Elle est nulle si l intensité est en quadrature avec la tension et maximale si ces deux grandeurs sont en phase. 3) Notation complexe Définissons la puissance moyenne complexe comme le produit de la tension et du complexe conjugué de l intensité : = * ui on a alors = e( ) puisque * j ωt j ωt+ φ jφ e ui = e e e = e e = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4) Intensité efficace, facteur de puissance L intensité efficace est la valeur I de l intensité qui produirait en régime continu la même dissipation par effet joule à travers une résistance. C est donc la valeur qui vérifie : I I = i dt = d où : I I On définit de même la tension efficace : U U afin que les puissances instantanée et moyennes s écrivent : p() t = cosϕ + cos( ωt+ ϕ) et = cos ϕ Le terme cosϕ est appelé le facteur de puissance. IV. BILANS ENEGEIQUES DANS LES CICS ) uissances reçues par les dipôles,l,c Les puissances réelles instantanées sont, en régime sinusoïdal, d après la formule établie au II.. (figure.4.):

4 CSI CHAIE : SSANCE EN EGIME FOCE 4/6 puisque () = cosϕ + cos( ω + ϕ ) = + cos( ω ) pc ( t) = cos( ωt+ π ) p () t = cos( ωt π ) = p ( t) p t t t L i = Gu ϕ = ; i = jcωul ϕc = π ; C i = u ϕ = π jlω L L L p (W) p / p L p C Figure.4. : uissances instantanées reçues par un dipôle,l ou C branché sur un générateur de tension sinusoïdale (U = 5V, I = ma) Les facteurs de puissance sont : cosϕ = ; cosϕc = cosϕl = On en déduit les puissances moyennes : = = I ) Application au circuit,l,c a. Bilan d énergie La loi de la maille donne pour le circuit,l,c série alimenté par une tension sinusoïdale et ( ) : di q i+ L + = e() t dt C d où on tire un bilan en puissance instantanée en multipliant par i : di q dq i + L i e()() t i t dt + C dt = d i + ( E ) ( ) m + E e = p t dt où p () t = e()() t i t est la puissance délivrée par le générateur, E m Li est l énergie magnétique emmagasinée dans la bobine et E C q C = Cu est l énergie électrique emmagasinée dans le condensateur. D autre part, en régime forcé, le bilan instantané en puissance d un circuit,l,c série est d après les résultats du paragraphe précédent : p + pc + pl = p avec pl + pc = En identifiant E m = pl et E C = pc : d ( Em + E e) = dt C = L =

5 CSI CHAIE : SSANCE EN EGIME FOCE 5/6 Alors qu ils jouaient un rôle crucial aux bilans d énergie en régime transitoire, les condensateurs et bobines ne participent donc pas aux bilans d énergie en régime sinusoïdal. Le bilan en puissance moyenne s écrit simplement : = I b. ésonance en puissance L impédance équivalente d un circuit,l,c série est égale à : Z = Z + Z + C Z = L + jlω jcω + L équation algébrique complexe vérifiée par le courant le traversant est : i = e Z Il vient, d après les résultats du chapitre précédent et avec les notations habituelles : + jq E I = + Q On en déduit : ( ) E I max max = I = = = + Q Q Q + + où Imax E est l intensité efficace maximale que l on puisse atteindre avec le circuit. Cette valeur est réalisée à la résonance en puissance, lorsque ω = ω. La puissance tend vers zéro 4 rapidement lorsque augmente (en ). On définit la largeur de la courbe de résonance en puissance de telle manière qu elle soit égale à la largeur de la courbe de résonance en intensité : max = ± =± + + 4Q 4Q en gardant les solutions positives. La largeur ω du pic de résonance est donc : ω ω = ω = Q La puissance reçue par le circuit tend vers zéro loin de la résonance en puissance (rôle d interrupteur ouvert du condensateur et de la bobine en régime respectivement très lentement et très rapidement variables). L allure de la courbe de résonance en puissance d un circuit,l,c série est indiquée en figure.5. c. Cas du circuit,l,c parallèle Le seul dipôle dissipatif étant la résistance, la puissance moyenne dissipée est : U = = = V. ADAAION D IMEDANCE Le courant traversant une installation électrique d impédance Z jx = + alimentée par un générateur de tension de f.e.m. complexe e et d impédance interne z r jx = + est :

6 CSI CHAIE : SSANCE EN EGIME FOCE 6/6 max Figure.5. : Courbe de résonance en puissance e i = Z + z La puissance moyenne consommée par l installation est donc : E = I = ( + r) + ( X + x) On cherche, pour un générateur donné (i.e. E, r et x fixés), pour quelle valeur de l impédance de la charge la puissance moyenne fournie à l installation est maximale. Les extrema sont obtenus pour les dérivées par rapport à et X nulles : = = X = cte X ( + r) + ( X + x) ( X + x) = X = x ( + r) + ( X + x) ( + r) = + = 4 X= x ( + r) ( + r) = = r + r La puissance fournie à l installation est donc maximale lorsque l impédance de l installation est l impédance conjuguée du générateur : X = x * E Z = z = max = = r 4r