Liste d exercices IV

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1 Université de Paris-Sud Orsay Année universitaire S2, M1 Géométrie Liste d exercices IV (I) Exemples des variétés différentielles 1. Variété produit : Soient M et N deux variétés différentielles de classe C. (a) Montrer que qu il existe un atlas C sur M N tel que les projections sur M et N respectivement sont de classe C. (b) Montrer que avec cette structure différentielle l espace tangent à M N en un point (p, q) est naturelement identifié au produit T p M T q N. 2. Action d un groupe : Soit M une variété différentielle de classe C. On rappelle qu un groupe G agit proprement discontinûment sur M si pour tout point p M il existe un ouvert U de M contenant p tel que g(u) U = pour tout g. On suppose que M/G est séparé. (a) Montrer que si le groupe G agit par difféomorphismes C sur M, alors il existe un atlas C sur l espace quotient M/G tel que la projection canonique π : M M/G est un difféomorphisme local. (b) Quelle-est la différentielle de π dans un point p M? (c) Conclure que le tore T n = R n /Z n et l espace projectif P n = S n /{±Id} sont des variétés différentielles. (d) Montrer que T n = S 1 S 1 avec la structure différentielle produit est difféomorphe à R n /Z n. (II) Application de Gauss Soit M une hypersurface, c est-à-dire une sous-variété sans bord de codimension 1, compacte de classe C de R n+1. On définit une application ψ de M dans P n en associant à x la droite vectorielle orthogonale à T x M pour le produit scalaire canonique. 1. Montrer que ψ est C. 2. Montrer que ψ est surjective. (III) Une surjection de l espace projectif sur la sphère de même dimension 1. On considère l application P de R n+1 \ {0} dans R n+1 définie par : ( 2tx1 (t, x 1,..., x n ) t 2 + x 2,..., où l on a posé : x 2 = 2tx n t 2 + x 2, t2 + x 2 t 2 + x 2 n x 2 i. Montrer que cette application définit par passage au quotient une application p de P n dans S n et que p est C. Quelle est l image réciproque du pôle nord N = (0,..., 0, 1)? Du pôle sud S = (0,..., 0, 1)? ),

2 2. En utilisant la projection stéréographique de pôle N, montrer que p induit un difféomorphisme de P n \ p 1 (N) sur S n \ N. 3. Que peut-on dire de p pour n = 1? 4. Montrer que l ensemble des points de P n dont une coordonnée homogène est non nulle est connexe. En admettant le fait que le complémentaire dans S 2 d une courbe fermée simple a deux composantes connexes, en déduire que P 2 n est pas homéomorphe à S 2. (IV) Grassmanniennes Soit V un espace vectoriel réel de dimension n et 0 k n un entier. On note G k (V ) l ensemble des sous-espaces vectoriels de dimension k de V. L objet de cet exercice est de munir cet ensemble d une structure de variété C compacte. Si B est un sous-espace vectoriel de dimension n k de V, on note U B le sousensemble de G k (V ) constitué des supplémentaires de B. Soit A un supplémentaire de B. On note L(A, B) l ensemble des applications linéaires de A dans B. On définit ψ A,B : L(A, B) U B, f (Id + f)(a). 1. Montrer que ψ A,B est bien définie et bijective. 2. Montrer que le domaine de définition et l image de ψ 1 A,B ψ A,B sont des ouverts de L(A, B) et de L(A, B ). 3. Montrer que ψ 1 A,B ψ A,B est un difféomorphisme C de son domaine de définition sur son image. 4. Montrer qu il existe une topologie sur G k (V ) telle que les U B soient des ouverts et les ψ A,B des homéomorphismes. Vérifier que G k (V ) est séparé pour cette topologie. 5. Montrer que les ψ A,B forment un atlas munissant G k (V ) d une structure de variété C. 6. Montrer que G k (V ) est compacte. (V) Connexité Soit Y une variété différentielle de classe C et connexe de dimension n, et X une sous-variété fermée de classe C de Y de dimension n 2. Montrer que Y \ X est connexe. (VI) Les sous-variétés comme lignes de niveau Soit M une variété différentielle de classe C et N M une sous-variété fermée de classe C de M. 1. Soit x M. Montrer qu il existe un voisinage U x de x dans M et une fonction de classe C F : U R + telle que U N = F 1 (0). 2. Montrer qu il existe une fonction de classe C F : M R telle que N = F 1 (0). (VII) Immersions et plongements Soit f : X Y une application de classe C entre variétés différentielles de classe C.

3 1. Montrer que si f est une immersion injective propre, f(x) est une sous-variété de Y. 2. Montrer que c est faux si l on enlève une des trois hypothèses. 3. Plus généralement, montrer que si f est une immersion propre dont les fibres non vides ont cardinal constant d, alors f(x) est une sous-variété de Y. 4. On suppose que f est propre, de rang constant, et que le nombre de composantes connexes de f 1 (f(x)) est constant et fini. Montrer que f(x) est une sous-variété de classe C de Y. 5. Plongements du plan projectif : (a) Soit φ : R 3 R 6 donnée par (x, y, z) ( x 2, y 2, z 2, 2xy, 2zx, 2yz ). Montrer que M = φ(r 3 \ {0}) est une sous-variété de R 6. (b) Montrer que M S 5 est une sous-variété de S 5, difféomorphe à P 2, appelée la surface de Veronese. (c) On identifie R n avec l espace des polynômes en T de degré au plus n 1. En utilisant l application χ : R 3 R 5, x+yt +zt 2 (x+yt +zt 2 ) 2, construire un plongement de P 2 dans S Montrer qu il n existe pas d immersion de S n dans R n. 7. Soient M et P deux variétés différentielles de classe C, N une sous-variété de classe C de M, et f : M P une application de classe C. (a) Si f est une immersion, est-ce que la restriction de f à N l est aussi? (b) Si f est une submersion, est-ce que la restriction de f à N l est aussi? (VIII) Fibration de Hopf 1. Soit Ĉ = C { } le compactifié d Alexandrov de C. Montrer qu il est muni d une structure de variété de classe C par les paramétrages locaux φ 1 : R 2 Ĉ, (x, y) x + iy, et φ 2 : R 2 Ĉ, (x, y) (x + iy) On identifie S 3 avec la sphère unité de C 2. On définit alors une action de S 1 sur S 3 par θ (z 1, z 2 ) = ( e 2iπθ z 1, e 2iπθ z 2 ) pour θ S 1. Pour tout z = (z 1, z 2 ), montrer que θ θ z est un plongement (i.e. une immersion injective propre) de S 1 dans S On définit une application π : S 3 Ĉ par π(z 1, z 2 ) = z 1 /z 2. Montrer que cette application est C et submersive. Quelles sont ses fibres? 4. Montrer que, pour tout z Ĉ, il existe un voisinage U de z et un difféomorphisme ψ entre π 1 (U) et U S 1 tel que π ψ 1 : U S 1 U est la première projection. On dit que π est un fibré localement trivial de fibre S 1. (IX) Transversalité et théorème de Sard Soient M m et N n deux sous-variétés de classe C de R d. On rappelle que M et N sont transverses si pour tout point p M N on a T p M + T p N = R d. 1. Montrer que si M et N sont transverses et dimm + dimn < d, alors M N =.

4 2. Montrer qu il existe un sous-ensemble X de R d de mesure nulle tel que pour tout a R d \X on a que M + a et N sont transverses. 3. Conclure que si dimm + dimn < d, alors il existe un sous-ensemble X de R d de mesure nulle, tel que pour tout a R d \ X on a (M + a) N =. (X) Pré-images d une fonction 1. Soit f : S 1 R une application C. Montrer que pour toute valeur régulière t de f la pré-image f 1 (t) a un nombre pair de points. En particulier, un point x S 1 est une sous-variété qui n est pas la pré-image d une valeur régulière. 2. On considère l action du group {±Id} sur S 2 et soit π : S 2 P 2 la projection canonique. Alors S 1 {0} es invariant et sont projeté π(s 1 ) est naturellement identifié à P 1 ; i.e. on obtient ainsi un plongement de P 1 dans P 2. Montrer que P 1 n est pas la pré-image d une valeur régulière d une fonction f : P 2 R. 3. Soit P un polynôme homogène réel non constant en n variables, et a une valeur non nulle de P. Montrer que P 1 (a) est une sous-variété C de dimension n 1 de R n, et que les hypersurfaces P 1 (a) pour a > 0 sont difféomorphes. (XI) Projection orthogonale Soient M une sous-variété C de R n, muni de son produit scalaire euclidien standard, et x M. On note ψ : M T x M la projection orthogonale de M sur T x M. Calculer la différentielle de ψ en x. (XII) Éclatement Soit n 1. On identifie P n 1 à l ensemble des droites vectorielles de R n. On note E n = { (x, X) R n P n 1 : x X }. 1. Montrer que E n est une sous-variété de classe C de dimension n de R n P n Soit π la projection de R n P n 1 dans R n. Montrer que E n \ π 1 (0) est difféomorphe à R n \ {0} et que π 1 (0) est difféomorphe à P n Soient I un intervalle de R et γ : I R n une immersion C 1. Supposons que la restriction de γ à l ensemble I \ γ 1 (0) soit injective et que, pour s t dans I avec γ(s) = γ(t) = 0, on ait γ (s) γ (t). Montrer qu il existe une unique application continue γ : I E n telle que π γ = γ et que γ soit injective. (XIII) Champs de vecteurs tangents Soit M une variété différentielle de classe C, T M = {(p, v) : p M, v T p M} son fibré tangent, et π : T M M la projection π(p, v) = p. Un champs de vecteurs tangent à M est une fonction X : M T M qui à chaque point p M donne un vecteur tangent X(p) T p M. Autrement dit, π X = id M. Si φ : V R n U M est une carte locale de M, on note { x 1 (p),..., } (p) x n la base de T p M induite par φ, pour un point p U.

5 1. Montrer que si X est un champs de vecteurs tangents à M, alors pour toute fonction f : M R de classe C on peut associer une fonction X(f) : M R en posant X(f)(p) = d dt (f α(t)) t=0, où α : ( ɛ, ɛ) M est une courbe C avec α(0) = p et α (0) = X(p). 2. Montrer que les affirmations suivantes sont équivalentes : (a) Le champ X : M T M es de classe C. (b) Pour toute carte locale φ : V U le champ X s écrit comme X = n a i, x i où les fonctions a i : U R sont de classe C. (c) Pour toute fonction f : M R de classe C la fonction X(f) est de classe C. 3. Supposons que X est de classe C, et notons par C (M) l algèbre des fonctions C sur M. D après 2.(c), X : C (M) C (M), f X(f). Montrer que X est linéaire et qu il vérifie (L) X(fg) = fx(g) + gx(f), pour tout f, g C (M). 4. Montrer que si δ : C (M) C (M) est linéaire et vérifie (L), alors il existe un champs X sur M tel que δ(f) = X(f) pour toute f C (M). 5. On note X (M) l espace de champs de vecteurs tangents à M de classe C. Soient X, Y X (M), on definit le crochet de Lie [X, Y ] : C (M) C (M) en posant [X, Y ](f) = X(Y (f)) Y (X(f)), f C (M). Montrer que [X, Y ] X (M). 6. Montrer que le crochet vérifie les propriétés suivantes : soient X, Y, Z X (M), a, b R et g, f C (M). Alors (a) [X, Y ] = [Y, X], (b) [ax + by, Z] = a[x, Z] + b[y, Z], (c) L identité de Jacobi : [[X, Y ], Z] + [[Y, Z], X] + [[Z, X], Y ] = 0, (d) [fx, gy ] = fg[x, Y ] + fx(g)y gy (f)x. 7. Soit φ : V U une carte locale, et soient X, Y X (M) tels que dans la base induite par φ s écrivent n n X = a i et Y = b i. x i x i Montrer que [X, Y ] = n n b i a i a j b j. x j x j x i j=1 8. Montrer que si X X (M) est tel que [X, Y ] = 0 pour tout Y X (M), alors X = 0.

6 9. Définir sur R 2 \ {0} les champs de vecteurs X r et X θ formant en tout point une base orthonormée positive, telle que X r soit radial sortant. Calculer leur crochet de Lie. Si (x, y) et (r, θ) sont respectivement les coordonnées cartésiennes et polaires d un point de R 2 \ {0}, calculer l expression de r et θ en fonction de x et y, et calculer leur crochet de Lie. Quel est le rapport entre X r, X θ et r, θ? 10. Soient (x, y, z) et (r, θ, φ) respectivement les coordonnées cartésiennes et sphériques d un point de R 3 \{0}. Calculer l expression de r, θ et φ le crochet de Lie des champs de vecteurs 1 r θ et 1 r φ. en fonction de x, y et z. Calculer 11. Sur S 2, on considère sur l ouvert complémentaire des deux pôles les champs de vecteurs N et E unitaires et pointant respectivement vers le nord et l est. Calculer [N, E]. 12. Le produit vectoriel vu comme un crochet : On se donne sur R 3 les champs de vecteurs X = z y y z ; Y = x z z x ; Z = y x x z. (a) Montrer qu ils sont linéairement indépendants sur R. Soit E l espace vectoriel qu ils engendre. Montrer que E est stable par le crochet. (b) Soit φ : E R 3 donné par Montrer que φ est un isomorphism et que où désigne le produit vectoriel. φ (ax + by + cz) = (a, b, c). φ ([V, W ]) = φ(v ) φ(w ),