Section 7. MAT Mathématiques d appoint pour l électromécanique. Stratégies de résolution de problèmes

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1 MAT Mathématiques d appoint pour l électromécanique Section 7 Stratégies de résolution de problèmes Site web CSPO : Adaptation et conception : Sylvie Leblond Gilles Coulombe CSPO

2 Mise en situation Un plan pour l atelier Un ébéniste de métier veut construire un atelier dans sa cour, dans lequel il effectuera ses travaux. Il s adresse à votre firme d architecture pour obtenir un plan. Vous avez, dans votre firme, deux stagiaires. Vous demandez à chacun de produire un plan à l échelle que vous vérifierez par la suite. Vous aurez à vérifier si les plans soumis par vos stagiaires respectent certaines conditions: un budget maximal spécifique pour les dépenses; certaines contraintes au niveau de la superficie de l atelier, et de l espace dans l atelier. Pour accomplir cette tâche, vous devrez : analyser les plans proposés; déterminer des mesures et faire des calculs. * Note Vous trouverez, en annexe à la fin du document, des formules et des tableaux d équivalences 1

3 Tâche 1 Vous devez vérifier les plans soumis par vos stagiaires (ci-dessous), qui doivent remplir les conditions suivantes : les coûts de construction de l atelier complet ne doivent pas dépasser $; ces coûts de construction s élèvent à 25$ par m²; il doit y avoir entre 75% et 80% d espace libre pour le travail, le reste de l espace servira pour les outils, les machines et les différents meubles; la table de travail doit occuper un espace compris entre 2m² et 2,5m²; l espace «machine-outil» doit être compris entre 1m² et 1,5m². Utilisez la page suivante pour indiquer clairement toutes vos démarches et tous vos calculs. Plan 1 Plan 2 Échelle : 1 cm 1,25 m Échelle : 1 cm 200 cm Légende Rangement Lavabo Table de travail Machine-outil Légende Rangement Lavabo Table de travail Machine-outil Tâche 2 Si l un ou l autre des plans ne respecte pas les conditions énoncées, proposer des changements à apporter à ces plans pour qu ils soient conformes à ces conditions. 2

4 SOLUTION - Mise en situation - Tâche 1 3

5 SOLUTION - Mise en situation - Tâche 1 (suite) 4

6 SOLUTION - Mise en situation - Tâche 2 5

7 Stratégies de résolution de problèmes L'habileté à résoudre des problèmes est une habileté complexe et exigeante, qui nécessite d avoir des connaissances, des attitudes et des dispositions particulières. Il faut de la pratique fréquente, dans des situations différentes. Indispensable à tout individu appelé à vivre dans une société présentant des défis de plus en plus complexes et ce, à travers l'ensemble des activités humaines, cette habileté est devenue, notamment, une exigence du milieu scolaire et du milieu de travail qui mise sur le potentiel créateur de tous les employés pour résoudre les nombreuses difficultés qui se posent quotidiennement dans les organisations. Pour résoudre des problèmes, il faut se munir de stratégies de résolution. Voici une proposition de stratégies de résolution de problèmes en 4 étapes. 1. Représentation 4. Réflexion Situation problème 2. Planification 3. Activation 6

8 Stratégies de résolution de problèmes en 4 étapes 1. Représentation Comprendre le problème J essaie de comprendre ce qui est demandé. Je récolte des informations. J enquête. Lire ou écouter le problème (2 fois) : Utiliser les stratégies de lecture. Définir les mots que je ne comprends pas. Reformuler le problème en ses propres mots. Imaginer la situation dans sa tête et décrire ce que je pense. Organiser l information : Relever les mots clés : les souligner, surligner, ou encercler. Se rappeler des problèmes semblables déjà résolus. Identifier ce que je cherche (la question dans le problème). Identifier les données dont j ai besoin. Éliminer les renseignements qui ne servent pas. Faire un dessin, simuler ou représenter la situation par du matériel concret. Pour communiquer : Tout au long, discuter du problème avec quelqu un afin de mieux le comprendre. 7

9 2. Planification Faire un plan Je décide comment je vais m y prendre. Je planifie. Penser à une résolution de problème semblable ou plus simple. Consulter le référentiel de résolution de problèmes. Choisir une ou plusieurs stratégies : Utiliser du matériel de manipulation. Faire un dessin, tracer une figure. Simuler le problème. Faire une liste ordonnée. Chercher une régularité ou un modèle. Utiliser un raisonnement logique (l élimination, la déduction, le choix d une opération). Travailler à rebours. Faire un tableau ou un diagramme. Procéder par essais et erreurs (tâtonnement). Utiliser une table de valeurs. Pour communiquer : Parler de comment résoudre le problème et écouter les idées des autres. 8

10 3. Activation Exécuter le plan Je fais ce que j ai décidé, ce que j ai planifié. Je résous le problème. Résoudre le problème : Appliquer la stratégie choisie. Suivre les étapes nécessaires. S arrêter en chemin pour repenser à sa stratégie. Déterminer s il y a une meilleure façon de procéder. Essayer une autre stratégie si nécessaire. Trouver une solution. Pour communiquer : Laisser des traces des étapes à l aide de dessins, de diagrammes, de mots, de symboles, etc. 4. Réflexion Examiner la solution Je vérifie ma solution et je porte un jugement sur la stratégie utilisée. Je fais un retour sur mon travail et je porte un jugement sur celui-ci. Faire un retour sur ma résolution : S assurer de répondre complètement à la question. Vérifier la vraisemblance du résultat. Vérifier le choix de stratégie, les calculs, les unités de mesure, le vocabulaire. Élaborer un nouveau plan si nécessaire. Pour communiquer : Vérifier si les traces de la solution sont claires. Expliquer sa démarche en utilisant le bon vocabulaire. S assurer de répondre clairement (oralement ou par écrit) au problème. Écouter et comparer sa solution avec celle des autres. Exprimer pourquoi le problème semblait facile ou difficile à résoudre. 9

11 DÉMARCHES ET STRATÉGIES DE RÉSOLUTION DE PROBLÈMES (EN RÉSUMÉ) 1. REPRÉSENTATION (comprendre le problème) Je lis le problème et le reformule dans mes propres mots (résumé). Je cherche des définitions de mots. J identifie les données importantes, je souligne surligne ou encercle les mots clés. Je vérifie les unités de mesure. Je cherche les notions mathématiques connues. J identifie les données dont j ai besoin. Je lis la question. 2. PLANIFICATION (faire un plan) J émets des hypothèses. Je découpe le problème en sous-problèmes. Je dresse la liste des étapes à faire pour résoudre le problème. Je compare le problème à d'autres, vus avant. Je procède par essais et erreurs. Je reconnais des moyens pour résoudre le problème, et je choisis les moyens appropriés : - dessins, schémas, graphiques, tableaux. - choix des opérations, modèles algébriques, formules, etc. 3. ACTIVATION (exécuter le plan) J applique les moyens choisis dans ma planification. Je fais le travail étape par étape. Je fais, si je le peux, une estimation de la réponse. Je laisse des traces de ma démarche, je fais les calculs nécessaires. Je vérifie au fur et à mesure ma démarche et mes calculs. Je réponds clairement à la question ou je donne une solution complète à la problématique posée. 4. RÉFLEXION (examiner la solution) Je fais un retour sur mes démarches et ma solution : - je compare la solution à l estimation. - je vérifie la cohérence de ma solution (est-elle réaliste?). - je m assure que tout est inclus dans ma solution (réponse complète, arrondissement, unités de mesure, etc.). - je me demande si une autre façon de faire pourrait être plus efficace. - je refais, au besoin, certaines parties du problème. 10

12 Exemple de stratégie de résolution de problème Solution de la mise en situation 1. Représentation (comprendre le problème) essentiellement, on me demande de calculer des surfaces à partir de 2 plans à l échelle; pour obtenir les dimensions réelles des surfaces à calculer, je dois établir des proportions avec l échelle de chacun des plans; coûts de construction pour l atelier 1 000$; espace libre entre 75% et 80% de l espace total; - espace total : toute la surface de l atelier - espace libre : la surface de l atelier moins les meubles espace à respecter pour la table de travail (entre 2 m² et 2,5 m²); espace à respecter pour la machine-outil (entre 1 m² et 1,5 m²); proposer des changements aux plans, s ils ne respectent pas les exigences demandées; 2. Planification (faire un plan) mesurer, avec une règle (en cm), les dimensions des items suivants pour chacun des plans; - atelier, table, machine-outil, rangement, lavabo convertir les dimensions mesurées en dimensions réelles en utilisant l échelle de chaque plan (établir des proportions et utiliser le produit croisé); calculer les superficies pour chaque plan en utilisant les bonnes formules; vérifier pour chaque plan si le budget est respecté (ne pas dépasser 1 000$); - multiplier la surface totale de l atelier par les coûts de construction qui sont de 25$/m² vérifier si l espace libre de chaque plan est entre 75% et 80% de l espace total de l atelier; - additionner ensemble les surfaces des objets qui occupent de l espace dans l atelier afin d obtenir la superficie de l espace utilisée - soustraire ce total de la surface de l atelier afin d obtenir la superficie de l espace libre - calculer le pourcentage de l espace libre par rapport avec la surface totale de l atelier 11

13 vérifier si la surface de la table est comprise entre 2 et 2,5 m²; vérifier si la surface de la machine-outil est comprise entre 1 et 1,5 m²; Pour chacun des plans, utiliser le tableau suivant pour inscrire les mesures et le résultat des calculs. PLAN NUMÉRO Mesure plan (cm) Mesure réelle (m) Formule pour calculer la superficie Superficie (m²) Atelier Table Lavabo Machine-outil Rangement 1 Rangement 2 longueur largeur diamètre rayon (r) base hauteur longueur largeur longueur largeur longueur largeur Espace occupé Espace libre Espace libre en % Coût total de construction 12

14 3. Activation (exécuter le plan) Plan 1 Atelier : Les dimensions sur le plan sont : longueur 5 cm, largeur 5 cm Calcul des dimensions réelles : Calcul de la surface de l atelier : Table : Les dimensions sur le plan sont : diamètre 1,3 cm Calcul des dimensions réelles : Calcul de la surface de la table : Lavabo : Les dimensions sur le plan sont : base 1 cm, hauteur 1 cm Calcul des dimensions réelles : Calcul de la surface du lavabo : 13

15 Machine-outil : Les dimensions sur le plan sont : longueur 1 cm, largeur 0,75 cm Calcul des dimensions réelles : Calcul de la surface de la machine-outil : Rangement 1 : Les dimensions sur le plan sont : longueur 1,75 cm, largeur 1 cm Calcul des dimensions réelles : Calcul de la surface du rangement 1 : Rangement 2 : Les dimensions sur le plan sont : longueur 3 cm, largeur 0,5 cm Calcul des dimensions réelles : Calcul de la surface du rangement 2 : 14

16 Espace occupé : Espace occupé = table + lavabo + machine-outil + rangement 1 + rangement 2 Espace occupé = 2,07 + 0,78 + 1,17 + 2,74 + 2,34 Espace occupé = 9,1 Espace libre : Espace libre = Surface de l atelier espace occupé Espace libre = 39,06-9,1 Espace libre = 29,96 Espace libre en %: Coûts de construction : 976,50 $ 15

17 Tableau PLAN NUMÉRO 1 Mesure plan (cm) Mesure réelle (m) Formule pour calculer la superficie Superficie (m²) Atelier Table Lavabo Machine-outil Rangement 1 Rangement 2 longueur 5 6,25 largeur 5 6,25 diamètre 1,3 1,625 rayon (r) 0,65 0,8125 base 1 1,25 hauteur 1 1,25 longueur 1 1,25 largeur 0,75 0,9375 longueur 1,75 2,19 largeur 1 1,25 longueur 3 3,75 largeur 0,5 0,625 39,06 2,07 0,78 1,17 2,74 2,34 Espace occupé 9,1 Espace libre 29,96 Espace libre en % 76.7 % Coût total de construction 976,50 $ 16

18 Plan 2 Atelier : Les dimensions sur le plan sont : longueur 5 cm, largeur 2 cm Calcul des dimensions réelles : Calcul de la surface de l atelier : Table : Les dimensions sur le plan sont : diamètre 0,8 cm Calcul des dimensions réelles : Calcul de la surface de la table : Lavabo : Les dimensions sur le plan sont : base 0,5 cm, hauteur 0,5 cm Calcul des dimensions réelles : Calcul de la surface du lavabo : 17

19 Machine-outil : Les dimensions sur le plan sont : longueur 1,25 cm, largeur 0,25 cm Calcul des dimensions réelles : Calcul de la surface de la machine-outil : Rangement 1 : Les dimensions sur le plan sont : longueur 2 cm, largeur 0,5 cm Calcul des dimensions réelles : Calcul de la surface du rangement 1 : Rangement 2 : Les dimensions sur le plan sont : longueur 1,75 cm, largeur 0,5 cm Calcul des dimensions réelles : Calcul de la surface du rangement 2 : 18

20 Espace occupé : Espace occupé = table + lavabo + machine-outil + rangement 1 + rangement 2 Espace occupé = 2,01 + 0,5 + 1, ,5 Espace occupé = 11,26 Espace libre : Espace libre = Surface de l atelier espace occupé Espace libre = 40-11,26 Espace libre = 28,74 Espace libre en %: Coûts de construction : 1000 $ 19

21 Tableau PLAN NUMÉRO 2 Mesure plan (cm) Mesure réelle (m) Formule pour calculer la superficie Superficie (m²) Atelier Table Lavabo Machine-outil Rangement 1 Rangement 2 longueur 5 10 largeur 2 4 diamètre 0,8 1,6 rayon (r) 0,4 0,8 base 0,5 1 hauteur 0,5 1 longueur 1,25 2,5 largeur 0,25 0,5 longueur 2 4 largeur 0,5 1 longueur 1,75 3,5 largeur 0, ,01 0,5 1,25 4 3,5 Espace occupé 11,26 Espace libre 28,74 Espace libre en % 71,85 % Coût total de construction 1000 $ 20

22 4. Réflexion (examiner la solution) les deux plans respectent le budget ( $) les deux plans respectent les limites d espace pour la table (entre 2 m² et 2,5 m²) et la machine-outil (entre 1 m² et 1,5 m²) le plan numéro 1 respecte le % d espace libre demandé (entre 75% et 80%) le plan numéro 2 ne respecte pas le % d espace libre demandé; l espace libre est inférieur à 75 % Conclusion : Le plan 1 est conforme et sera présenté au client tel qu il a été conçu par le stagiaire. Le plan 2 doit être modifié avant d être présenté au client. Il faut augmenter le % d espace libre afin de respecter la consigne. Proposition de modification pour le plan 2 : Une augmentation de 4 % en espace libre serait suffisante pour respecter la consigne. Nous obtiendrions ainsi un espace libre de 75,85%. Une augmentation de 4 % en espace libre représente combien de m² dans l atelier? 4% superficie de l atelier = 0,04 40 m² = 1,6 m² Pour obtenir 1,6 m² de plus en espace libre, on peut soit réduire l espace de rangement numéro 1 ou le numéro 2 ou même les deux à la fois. Choisissons, par exemple, de réduire seulement l espace de rangement 1. Il faut diminuer sa superficie de 1,6 m². Nouvelle superficie = 3,5 m² - 1,6 m² = 1,9 m² La superficie est calculée en multipliant la longueur par la largeur ( ). On peut donc soit réduire la longueur ou la largeur du rangement ou même les deux mesures à la fois. Choisissions, par exemple, de conserver la largeur et de réduire seulement la longueur. La nouvelle longueur du rangement 1 deviendrait donc ainsi 1,9 m. Le plan 2 deviendra conforme et pourra être présenté au client à la condition que les dimensions de l espace de rangement 1 deviennent 1,9 m par 1 m. 21

23 Situation-problème 1 Du rangement dans le placard Mise en situation Vous manquez d espace pour ranger vos vêtements. Vous décidez donc de réaménager le placard de votre chambre. Vous tracez un croquis à main levée du placard et du système de rangement en mélamine que vous y installerez. Vous organisez votre travail de la façon suivante: vous aurez à tracer un plan à l échelle afin d avoir une vue d ensemble du système de rangement; vous aurez à choisir les matériaux en mélamine qui seront les moins dispendieux pour faire cette rénovation. Pour accomplir cette tâche, vous devrez : analyser le croquis afin de produire un plan à l échelle; déterminer des mesures et faire des calculs. 22

24 Tâche 1 Voici le croquis que vous avez fait à main levée. Tracez un plan à l échelle de ce croquis dans l espace quadrillé ci-dessous. Planche en mélamine à l horizontal 30 cm Profondeur du système de rangement : 30 cm 2,4 m Planches en mélamine à la verticale Petites planches en mélamine horizontales placées à égale distance l une de l autre, en partant du plancher 30 cm 2 m 23

25 Tâche 2 Vous avez les outils nécessaires pour faire la coupe et l agencement des matériaux. À partir des items suivants : évaluez les coûts d achat en dressant la liste de matériaux en mélamine qui vous permettront d obtenir la facture la moins dispendieuse pour la construction du système de rangement. Tablette en mélamine 30 cm 244 cm 8,49 $ Panneau en mélamine 120 cm 244 cm 28,98 $ Tablette en mélamine 30 cm 183 cm 7,99 $ Tablette en mélamine 30 cm 115 cm 6,95 $ Utilisez la page suivante pour indiquer clairement toutes vos démarches et tous vos calculs. 24

26 SOLUTION - Situation problème 1 25

27 Situation-problème 2 Passera, passera pas! Mise en situation Le propriétaire d'un chalet construit un ajout à son chalet. Le camion qui doit livrer les matériaux de construction a 2 m de largeur et mesurera 5 m de hauteur avec son chargement. hauban La route qui mène au chalet passe sous un hauban supportant un poteau d'électricité tel que l'illustre le schéma ci-contre. Le poteau a 10 m de hauteur. La distance entre la base du poteau et la base du hauban est de 9,3 m. La route a 3 m de largeur et est située à 2,5 m du poteau. À partir de ces informations : vous devez dire si le camion pourra passer sous le hauban pour livrer les matériaux; vous devez expliquer clairement votre solution. 26

28 SOLUTION - Situation - problème 2 27

29 Situation-problème 3 L hélicoptère Mise en situation Un hélicoptère du service de la circulation se déplace à une hauteur uniforme de 300 m au-dessus du sol. Le pilote aperçoit un accident à un angle de dépression de 30. L'hélicoptère se dirige vers le lieu de l'accident à une vitesse et une hauteur uniformes, et cinq secondes plus tard, l'angle de dépression de l'accident est de 35. à partir de ces données, vous devez : trouver la distance horizontale qui sépare le lieu de l'accident de l'hélicoptère lorsque le pilote aperçoit l'accident pour la première fois; trouvez la distance que l hélicoptère pourrait parcourir en 15 secondes. 28

30 SOLUTION - Situation - problème 3 29

31 Situation-problème 4 Le support à vélo Mise en situation La roue avant d un vélo se retrouve dans un support à vélo. Vous devez trouver le diamètre de cette roue à partir des informations suivantes : le support complet a la forme d un triangle rectangle isocèle (Δ AKJ); le segment mesure 158,4 cm; le triangle ABD, semblable au triangle AKJ, est 2 fois plus petit que ce dernier; un motif décoratif partant du point C au point F, puis du point F au point D, apparait sur la roue; le point C et D sont à la même hauteur du sol; m m 30

32 SOLUTION - Situation - problème 4 31

33 Situation-problème 5 Des dalles dans l arrière-cour Mise en situation L arrière-cour de votre maison a besoin d aménagement. Vous voulez poser des dalles au sol pour aménager un espace patio. Vous avez fourni les dimensions de votre arrière-cour et vos exigences à une entreprise en aménagement paysager. L entreprise vous a présenté deux plans possibles d aménagement. Après avoir reçu ces plans, vos exigences ont changé. Votre travail comporte deux tâches : Vous devez choisir le plan qui respecte vos nouvelles exigences; Vous devez faire l achat de dalles pour l espace patio qui permet de respecter votre budget. Pour accomplir cette tâche, vous devez : analyser les schémas d un espace physique à 2 dimensions; déterminer des mesures et faire des calculs pour concevoir l aménagement de cet espace physique. 32

34 Tâche 1 Choisissez le plan (pages suivantes) qui respecte vos nouvelles exigences, qui sont les suivantes : l espace patio complet ne doit pas prendre plus de la moitié de la superficie totale de l arrière-cour; l espace pour les arbustes doit couvrir, au minimum, 10% de l espace patio complet, sans toutefois dépasser 15% de cet espace. Tâche 2 Vous devez maintenant faire l achat de dalles pour couvrir l espace patio. L entrepreneur vous a présenté plusieurs types de dalles, et vous avez retenu deux modèles. choisissez la dalle qui vous laissera la facture la moins élevée; donnez le montant de l achat, et le nombre de dalles à acheter. 1 po = 2,54 cm Dalle 1 16 po 16 po 6,42$ avec taxes Dalle 2 21 po 15 po 7,44$ avec taxes 33

35 Les plans de l arrière-cour Note : Ces plans ne sont pas à l échelle. Plan 1 Espace patio complet = espace patio + arbustes 9 m 6,5 m 2 m BBQ 1 m Espace patio 80 cm 6 m 10 m 1,5 m Arbustes 2,5 m 80 cm Arbustes 2,5 m 3,5 m 34

36 Plan 2 Espace patio complet = espace patio + arbustes 9 m 7 m Espace patio 3,5 m Arbustes 1 m 10 m 2 m 3 m BBQ 2 m 30 cm 5,2 m 35

37 SOLUTION Situation problème 5 tâche 1 36

38 SOLUTION Situation problème 5 tâche 2 37

39 Annexe 1 : Les principaux polygones Polygone Périmètre Aire Le carré P = 4c A = c² Le rectangle P = 2(L + l) ou P = 2(b + h) A = L l ou A = b h Le parallélogramme P = 2(b + a) A = b h Le losange P = 4c A = Le trapèze P = a + b + c + B A = Le triangle P = a + b + c A = Le cercle C = 2πr A = ² 38

40 Annexe 2 : Les solides simples Polygone Aire latérale Aire totale Volume Le cube A l = 4a² A t = 6a² V = a³ Le prisme rectangulaire A l = 2(Lh + lh) A t = 2(Lh + lh + Ll) V = L l h Le prisme droit A l = P base h A t = A l + 2 A base V = A base h Le cylindre droit A l = 2πrh A t = 2πr (h + r) V = πr²h Le cône A l = πra A t = πr (a + r) V = La pyramide à base carrée A l = 2ac A t = c (2a + c) V = La pyramide à base hexagonale A l = Somme des aires des triangles A t = A l + A base V = La sphère A = 4πr² V = 39

41 Annexe 3 : Tableaux d équivalences Conversion dans le même système Longueur Système international 1 m = mm 1 m = 100 cm 1 m = 10 dm 1 km = m Système impérial 1 pi = 12 po 1 vg = 3 pi 1 vg = 36 po 1 mi = vg 1 mi = pi Conversion d un système à un autre Longueur 1 po = 2,54 cm 1 pi = 30,48 cm = 0,3048 m 1 vg = 91,44 cm = 0,9144 m 1 mi = 1,609 km 1 mi = pi Système international 1 m³ = cm³ 1 cm³ = 1000 mm³ 1 dm³ = cm³ 1 m³ = L 1 L = cm³ 1 L = ml 1 ml = 1 cm³ 1 L = 4 tasses 1 tasse = 250 ml Volume et capacité Système impérial 1 pi³ = po³ 1 vg³ = 27 pi³ 1 gal imp= 160 oz 1 gal US= 128 oz 1 tasse = 8 oz Volume et capacité 1 po³ = 16,39 cm³ 1 pi³ = 0,0283 m³ 1 vg³ = 0,765 m³ 1 gal imp= 4,546 L 1 oz liq = 28,41 ml 1 pt = 1,137 L Système international 1 g = mg 1 kg = 1000 g 1 tonne métrique = kg Masse Système impérial 1 lb = 16 oz 1 tonne imp = lb Masse 1 lb = 0,454 kg 1 oz liq = 28,35 g 1 kg = 2,2 lb 1t ou kg = lb Température Température Degrés Celsius ( C) Degrés Fahrenheit ( F) 0 C = 32 F 100 C = 212 F 40