CHAPITRE 01 LES FONCTIONS POLYNÔMES DU SECOND DEGRÉ

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1 CHAPITRE 01 LES FONCTIONS POLYNÔMES DU SECOND DEGRÉ I OBJECTIFS L objectif de ce chapitre est de maîtriser parfaitement les fonctions polynômes du second degré, différentes formes, racines du polynôme, signe du polynôme, tableaux de variation et courbes représentatives. Il faut ensuite savoir utiliser ces nouvelles connaissances dans des exercices plus complets et en ayant encore vos connaissances de seconde sur les fonctions de référence. Compétences travaillées : CODE A0101 A0102 A0103 A0104 A0105 A0106 A0107 A0108 A0109 A0110 A0111 INTITULÉ Trouver la forme développée Trouver la forme factorisée Trouver la forme canonique Déterminer les racines d une fonction polynômes du second degré Déterminer les racines en se ramenant à du second degré (ex : bicarrées) Déterminer le signe d Dresser le tableau des signes d une expression plus complexe Résoudre un problème se ramenant à une équation du second degré Décrire les variations d Décrire la courbe d Tracer correctement l allure de la courbe d une fonction du second degré II LES FONCTIONS POLYNÔMES DU SECOND DEGRÉ II. 1 Définition Les fonctions polynômes du second degré sont les fonctions de la forme : f : x ax 2 + bx+ c avec a R,b R et c R Dans tout ce chapitre, on notera C f la représentation graphique de f dans un repère (O; i, j ) EXEMPLE 1 La fonction f : x 4x 2 + 5x 7 est n est pas La fonction g : x 4(x+ 2) 2 (2x 2) 2 est n est pas La fonction h : x (x+ 1) 3 x 3 est n est pas

2 II. 2 Domaine de définition f (x) existe pour toutes les valeurs de x réel d ou : D f =R II. 3 Les différentes formes Les fonctions polynômes du second degré peuvent avoir plusieurs formes : 1. la forme développée f : x ax 2 + bx+ c 2. la forme factorisée f : x a(x x 1 )(x x 2 ) Cette forme n existe pas toujours! ( 3. la forme canonique f : x a x+ b ) 2 4a THÉORÈME 1 - EXISTENCE DE LA FORME CANONIQUE Tout polynôme f (x) du second degré possède une forme canonique. De plus, si on note = b 2 4ac, alors la forme canonique du polynôme du second degré ax 2 + bx+ c est donnée par : ( f (x)= a x+ b ) 2 4a DÉMONSTRATION Cette preuve a été effectuée dans l activité d introduction. Pour simplifier l écriture, on note α= b et β=. Ainsi le théorème précédent peut s énoncer : 4a COROLLAIRE 1 - EXISTENCE DE LA FORME CANONIQUE Tout polynôme f (x) du second degré peut se mettre sous la forme canonique, il existe donc a R,α R et β R tels que : II. 4 Variations et courbe représentative (Rappels de seconde) II Tableau de variations Ce paragraphe a déjà été abordé en seconde donc nous allons redonner les résultats. On utilise la forme canonique : Il y a deux cas à prévoir selon le signe du coefficient du terme de plus degré : soit a> 0 soit a< 0 THÉORÈME 2 - VARIATIONS D UNE FONCTION POLYNÔME a> 0 x α + variations ց ր de f β β est donc le minimum de f atteint pour x = α. Autrement dit, si a> 0, le minimum de f (x) est 4a atteint pour x = b a< 0 x α + β variations ր ց de f β est donc le maximum de f atteint pour x = α. Autrement dit, si a< 0, le maximum de f (x) est 4a atteint pour x= b

3 II Représentations graphiques Ce paragraphe aussi est un résultat de seconde. La représentation graphique d est une parabole tournée vers le haut ou vers le bas et dont le sommet est donné par la forme canonique : THÉORÈME 3 - COURBE REPRÉSENTATIVE D UNE FONCTION POLYNÔME 1. si a > 0 alors C f est une parabole tournée vers le haut et de sommet : S(α;β) 2. si a < 0 alors C f est une parabole tournée vers le bas et de sommet : S(α;β) a> 0 a< 0 D(0; β) S(α; β) A(x 1 ;0) E(α;0) B(x 2 ;0) F (0;c) F (0;c) D(0; β) S(α; β) A(x 1 ;0) E(α;0) B(x 2 ;0) III EQUATIONS ET INÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ DÉFINITION 1 - RACINES On appelle racines du polynôme f les réels x vérifiant : f (x) = 0 EXEMPLE 2 Soit f : x 2x 2 4x Ecrire f (x) sous forme canonique : 2. Factoriser f (x) Soit x R, f (x) = 2x 2 4x 6=2(x 2 2x 3) = 2 [ (x 1) ] = 2 [ (x 1) 2 4 ] = 2(x 1) 2 8 Soit x R, f (x) = 2(x 1) 2 8=2 [ (x 1) 2 4 ] = 2 [ (x 1) 2 (2) 2] = 2[(x 1) 2][(x 1)+2] = 2(x 1 2)(x 1+2) = 2(x 3)(x+ 1) 3. Résoudre f (x)=0 Soit x R, f (x)=0 2(x 3)(x+ 1)= 0 x 3=0 ou x+ 1=0 x = 3 ou x = 1 L ensemble S des solutions de l équation f (x) est : S = { 1;3} Les racines de f sont donc : -1 et 3. Cela revient au même que de dire que les solutions de f (x)=0 sont -1 et 3.

4 III. 1 Racines des polynômes du second degré Les racines d un polynôme f sont les réels x vérifiant f (x) = 0. Ce sont les solutions de l équation f (x) = 0. Soit f : x ax 2 +bx+c. Nous avons vu dans l activité qu en notant =b 2 4ac, trois possibilités s offrent à nous pour trouver les racines éventuelles de f. On peut résumer cela dans le théorème suivant : THÉORÈME 3 - RACINE(S) D UN POLYNÔME DU SECOND DEGRÉ Soit f : x ax 2 + bx+ c et =b 2 4ac. > 0 = 0 deux solutions réelles une seule solution réelle x 1 = b x 2 = b+ On a alors la factorisation : f (x)= a(x x 1 )(x x 2 ) x 0 = b On a alors la factorisation : f (x)= a(x x 0 ) 2 <0 le polynôme f n admet aucune solution réelle et n est pas de factorisable dansr DÉMONSTRATION La démonstration de ce théorème a été faite dans l activité. III. 2 Tableau des signes et inéquations On note f (x)= ax 2 + bx+ c un polynôme du second degré et =b 2 4ac. Etudions le signe de f (x) suivant le signe de. si =0, alors f (x)= a(x x 0 ) 2 Pour tout x R, (x x 0 ) 2 > 0 donc le signe de f (x) est le même que celui de a. si >0, alors f (x)= a(x x 1 )(x x 2 ) Nous allons faire un tableau des signes où apparaissent les fonctions : x a ; x x x 1 et x x x [( 2 si <0, alors f (x)= a x+ b ) 2 ] [( 4a 2 = a x+ b ) 2 + ] 4a 2 La valeur numérique dans les crochets est strictement positive donc f (x) est du signe de a et ne s annule pour aucun réel. THÉORÈME 4 - SIGNES D UN POLYNÔME DU SECOND DEGRÉ si =0 x x 0 + f (x) Signe de a 0 Signe de a si >0 x x 1 x 2 + (x x 1 ) (x x 2 ) 0 + a Signe de a Signe de a Signe de a f (x) Signe de a 0 Signe opposé de a 0 Signe de a si <0 x + f (x) Signe de a

5 EXEMPLE 3 Résoudre l inéquation 10x 2 x+ 3 0 On va s intéresser à la fonction polynôme P : x 10x 2 x+ 3 et déterminer son tableau des signes. Pour ce faire, commençons par calculer son discriminant. = ( 1) ( 10) = = 121 Le discriminant du polynôme est strictement positif, il a admet donc deux racines données par : x 1 = = et x 2 = = = 1 2 = 3 5 On a donc le tableau de signes suivant : x (x+ 3 5 ) (x 1 2 ) 0 + signe de a = signe de f (x) III. 3 Equations bicarrées Nous allons appliquer maintenant nos nouvelles connaissances pour résoudre des équations plus complexes. Les équations bicarrées sont de la forme : ax 4 + bx 2 + c = 0. On utilise le changement de variable t = x 2 et on remplace x 2 par t dans l équation. On obtient alors l équation : at 2 + bt+ c!! Oh, une équation connue... Il suffit de trouver les racines de at 2 + bt+ c pour trouver les valeurs de t puis ensuite obtenir les valeurs de x. EXEMPLE 4 Résoudre l équation : 2x 4 + 2x 2 24=0 Notons t = x 2. Notre équation est donc équivalente à l équation d inconnue t : 2t 2 + 2t 24=0. On définit γ(t)=2t 2 + 2t 24. Cherchons les racines éventuelles de γ : γ = ( 24)= 4+192=196>0 Le polynôme γ admet donc deux racines réelles t 1 et t 2 données par : t 1 = = 4 Le polynôme γ admet ainsi 3 et -4 comme racines. et t 2 = = 3 Les solutions de 2x 4 + 2x 2 24=0 sont donc solutions de x 2 = t 1 ou x 2 = t 2. x 2 = t 1 n admet aucune solutions réelles, et x 2 = t 2 admet deux solutions qui sont : 3 et 3. Conclusion : l ensemble des solutions de 2x 4 + 2x 2 24=0 est S = { 3; 3}

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