Analyse des mécanismes

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1 Théorie des mécanismes Fichier : AnalyseDesMecanismes_cours. Définitions.. Degré de mobilité d un mécanisme Le degré de mobilité d un mécanisme se note m et correspond au nombre m u de paramètres à imposer pour obtenir une configuration géométrique donnée du système augmenté du nombre de mouvements m i que pourraient avoir certaines pièces du mécanisme. Exemple L0 θ 2 3 L30 3 Y X 0 Figure Pour obtenir une configuration donnée du mécanisme, il suffit d imposer θ.: m u =. Les liaisons et 3 sont des liaisons rotules la pièce 2 a donc une mobilité en rotation autour de l axe passant par le centre des deux rotules. n qualifie cette mobilité d interne : m i =. Elle n a aucune influence sur la loi entrée-sortie du mécanisme. La mobilité de ce mécanisme est m = m u + m i = + = Degré d hyperstatisme ( ou d hyperstaticité) d un mécanisme Le degré d hyperstaticité se note h. Il correspond au nombre d inconnues statiques (Ns) du mécanisme diminué du nombre de relations indépendantes (rs) entre ces inconnues. Le degré d hyperstaticité h, correspond aussi au nombre de conditions géométriques et/ou dimensionnelles qu il faut imposer au mécanisme pour que celui-ci fonctionne correctement. Lorsque h = 0, on qualifie le système d isostatique. Lorsque h > 0, on qualifie le système d hyperstatique. Analyse des mécanismes, page /4

2 Exemple : L Figure 2 La pièce est guidée par rapport à la pièce 0 par deux liaisons «pivot glissant». Pour que le mécanisme fonctionne correctement, il faut : - que l entraxe des deux cylindres de soit le même que l entraxe des deux alésages de 0. Ce qui fait condition dimensionnelle. - que les axes des deux alésages de 0 soient parallèles ce qui fait condition géométrique. - que les axes des deux cylindres de soient aussi parallèles ce qui fait nouvelle condition géométrique. Au total, il faut imposer 3 conditions pour que le système fonctionne correctement. Le degré d hyperstatisme h est donc égal à Isostatisme ou hyperstatisme (isostaticité ou hyperstaticité)? Un mécanisme isostatique présente les avantages suivants : - Il est constitué de pièces plus faciles à réaliser du point de vue des contraintes dimensionnelles et géométriques. - Il se prête aussi beaucoup mieux aux calculs de mécanique car on a l assurance que les surfaces de liaison sont bien en contact. Il présente les inconvénients suivants : - Il est souvent moins rigide qu un mécanisme hyperstatique - Il est parfois plus complexe en termes de nombre de pièces. Un système hyperstatique est à l inverse constitué de pièces plus «difficiles» à réaliser du fait des contraintes dimensionnelles et géométriques. Les calculs de mécanique sont plus complexes, il faut faire intervenir la déformation des pièces. Il est, en revanche, souvent plus rigide et comporte généralement moins de pièces pour une même fonction. n peut régler les problèmes dus à l hyperstaticité : - en donnant des jeux suffisants dans les liaisons quand cela est possible, - en prévoyant des dispositifs de réglage, - en faisant de l appairage, - en combinant les trois propositions précédentes. Cinétique, page 2/4

3 2. Etude des chaînes de solides indéformables 2.. Graphe des liaisons Dans le graphe de liaisons d un mécanisme, les solides sont représentés par des cercles dans lesquels on indique le repère du solide et les liaisons sont représentées par des arcs joignant ces cercles. Exemple : graphe de liaisons associé au mécanisme de la figure : : liaison rotule 3 : liaison rotule 2 L03 : liaison glissière d axe x r L0 3 L0 : liaison pivot d axe z r 0 L03 3 Figure Liaison équivalente La liaison équivalente à un ensemble de liaisons situées entre deux solides (S) et (S2) est une liaison théorique qui a le même comportement que cette association de liaisons, c est à dire qui transmet la même action mécanique et qui autorise le même mouvement relatif de ces deux solides Torseur de la liaison équivalente à un ensemble de liaisons en parallèle L Leq S Li S2 S S2 Ln Figure 5 Torseur statique Notons, pour simplifier, { F eq} le torseur statique de la liaison équivalente (torseur des efforts transmissibles de S à S2 par la liaison équivalente) et { F i } le torseur des efforts de S sur S2 transmissibles par la liaison Li. Alors : n { Feq} { Fi } = i= Page 3/4

4 Torseur cinématique Notons, pour simplifier, { eq} le torseur cinématique de la liaison Li. Alors : V le torseur cinématique de la liaison équivalente et { V } { Veq} = { V} = { V 2} =... = { V i} =... = { Vn} i Hyperstaticité, mobilité. n montre que : h = Ns rs m = 6 rs Exemple : y L S2 x S figure 6 S L S2 Torseur statique de la liaison équivalente : 0 0 X 0 F = Y M { F2} = 0 0 Z N 0 0 ( ) ( ) { } r r r r r r r r M,x x,y,z M,x x,y,z { Feq} = { F } + { F2 } Xeq L eq 0 0 X 0 Feq = Yeq Meq = Y M Z N Z N 0 0 { } eq eq x,y,z x,y,z x,y,z Xeq = X Leq = 0 = Yeq = Y Meq = M Zeq Z Neq N = = x,y,z 5 équations statiques indépendantes et 5 inconnues statiques Cinétique, page 4/4

5 { Feq} X 0 = Y M Z N x,y,z Torseur statique correspondant à celui d une liaison pivot d axe (,x r ). Torseur cinématique de la liaison équivalente : ωx vx ωx2 0 { V} = 0 0 { V2} = ωy2 vy2 0 0 z2 vz ω 2 x,y,z M x,y,z { Veq} = { V } = { V2} ωxeq vx eq ωx vx ωx2 0 ω y vy = 0 0 = ωy vy ωz vz 0 0 z vz ω xeq =ω x =ωx 2 ω y = eq 0 =ω y ωx 0 2 ω zeq = 0=ωz 2 { Veq} = 0 0 vxeq = vx = vyeq = 0 = vy 2 vzeq = 0 = vz2 eq eq 2 2 eq eq ω x,y,z 2 2 x,y,z x,y,z 0 x,y,z Torseur cinématique d une liaison pivot d axe (,x r ) Hyperstaticité, mobilité Ns = 5 rs = 5 h = 5 5 = 0 et m = 6 5 = Le système est isostatique et a une mobilité de Torseurs de la liaison équivalente à un ensemble de liaisons en série N liaisons sont dites en série si elles sont disposées l une à la suite de l autre par l intermédiaire de N+ solides. n dit également que les N+ solides assemblés par les N liaisons en série constituent une chaîne continue ouverte. Page 5/4

6 L Li Li+ Ln S0 S Si Sn S0 Leq Sn Torseur statique : { Feq} = { F } = { F 2} =... = { F i} =... = { Fn } Torseur cinématique : Exemple : n { Veq} { Vi } = i= z S2 y L S S0 Figure 7 L S S0 S S2 Torseur statique de la liaison équivalente : 0 L X2 0 F = 0 M F2 = Y2 0 Z 0 Z 0 { } { } M x,y,z 2 x,y,z Cinétique, page 6/4

7 { Feq} = { F} = { F2} Xeq L eq 0 L X2 0 Y M = 0 M = Y 0 eq eq 2 Zeq N eq Z 0 0 Z x,y,z x,y,z x,y,z Xeq = 0= X2 Leq = L = 0 Y = 0= Y M = M = 0 eq 2 eq Zeq Z Z2 Neq 0 0 = = = x,y,z 0 0 { Feq} = 0 0 Z 0 x,y,z Torseur statique d une liaison ponctuelle de normale (,z r ) Torseur cinématique de la liaison équivalente : 0 vx ωx2 0 V = 0 vy F2 = ωy2 0 ωz 0 ωz 0 { } { } M x,y,z 2 x,y,z { Veq} = { V } + { V2} ωxeq vx eq 0 vx ωx2 0 V = ω y vy = 0 vy + ωy 0 { } eq eq eq 2 ωzeq vz eq z 0 z x,y,z 2 0 ω ω x,y,z x,y,z ω xeq =ω x2 vxeq = vx = ω yeq =ω y2 vyeq = vy ω zeq =ω z +ω z2 vzeq = 0 { Veq} x,y,z ωx vx = ωy vx ωz 0 x,y,z Torseur cinématique d une liaison ponctuelle de normale (,z r ). Page 7/4

8 2.3. Chaîne continue fermée Une chaîne continue ouverte dont les deux solides extrêmes ont une liaison entre eux constitue une chaîne continue fermée. Notons p le nombre de liaisons constituant une chaîne continue fermée. L 2 L5 5 L4 L3 3 4 Approche statique Soit : - Ns le nombre d inconnues statiques des p liaisons. p Ns = ns - rs le nombre d équations scalaires indépendantes entre les Ns inconnues statiques n définit le degré d hyperstaticité h de la chaîne continue fermée par : h = Ns rs () Approche cinématique Soit : - Nc le nombre d inconnues cinématiques des p liaisons. i= i p Nc = nc - rc le nombre d équations scalaires indépendantes entre les Nc inconnues cinématiques. n définit le degré de mobilité m de la chaîne fermée par : i= i m = Nc rc (2) Synthèse Pour chaque liaison i, ns i + nc i = 6 car le nombre d inconnues du torseur statique au centre d une liaison est le complément à 6 du nombre d inconnues du torseur cinématique. Pour p liaisons : p p p nci + nsi = ( nci + nsi) = 6.p Nc + Ns = 6.p (3) i= i= i= Cinétique, page 8/4

9 n montre d autre part que le degré de mobilité est : m = 6(p-) rs (4) En éliminant rs entre les relations () et (4) on obtient : h = Ns + m 6(p-) (5) En éliminant Ns entre les relations (3) et (5), on obtient : h = m + 6 Nc (6) 2.4. Chaîne complexe Définition Une chaîne complexe est une chaîne cinématique constituée de plusieurs chaînes continues fermés imbriquées. Nombre cyclomatique d une chaîne complexe. n appelle nombre cyclomatique d une chaîne complexe le nombre de chaînes continues fermées indépendantes appartenant à cette chaîne complexe. n note ce nombre γ. Soit p le nombre de solides et L le nombre de liaisons de la chaîne complexe on montre que : L p γ= + (0) Approche statique n définit le degré d hyperstaticité de la chaîne complexe par : h = Ns rs () Approche cinématique Le degré de mobilité de la chaîne complexe est : m = Nc rc (2) Synthèse L L L nci + nsi = ( nci + nsi) = 6.L Nc + Ns = 6.L (3) i= i= i= n montre d autre part que le degré de mobilité de la chaîne complexe est : m = 6(p-) rs (4) En éliminant rs entre () et (4), on obtient : h = Ns + m 6(p-) (5) Page 9/4

10 En éliminant Ns entre les relations (3) et (5), on obtient : h = 6L Nc + m 6(p-) = m + 6(L - p+) Nc Soit : 3. A retenir absolument 3.. Liaisons en parallèle n { Feq} { Fi } = i= h = m + 6γ - Nc { Veq} = { V} = { V 2} =... = { V i} =... = { Vn} 3.2. Liaisons en série { Feq} = { F } = { F 2} =... = { F i} =... = { Fn } n { Veq} { Vi } = i= 3.3. Degré de mobilité m = Nc rc m = m u + m i 3.4. Degré d hyperstaticité γ= L p+ h = Ns rs h = Ns + m 6(p-) h = m + 6γ - Nc Cinétique, page 0/4

11 4. Applications 4.. Etau Y L4 L X A B C L3 : Mors fixe 2 : Vis de commande 3 : Mors mobile 4 : Pièce : Liaison pivot (ns = 5, nc = ) L3 : Liaison glissière (ns = 5, nc = ) L4 : Liaison plane (ns = 3, nc = 3) 3 : Liaison hélicoïdale (ns = 5, nc = ) L34 : Liaison plane (ns = 3, nc = 3) Tracer le graphe des liaisons : 2 3 L3 3 L4 L34 4 Par une étude cinématique, déterminer le degré de mobilité de la chaîne complexe et le degré d hyperstaticité. Nombre cyclomatique : γ= L p+ γ= 5 4+ = 2 Il donc faut trouver deux chaînes continues fermées indépendantes faisant intervenir toutes les liaisons. Choisissons : () (2) (3) () et () (3) (4) () Page /4

12 Expression des torseurs cinématiques Tous les torseurs gardent leur forme en A ω2 0 0 v3 { V2/} = 0 0 { V3/} = A x,y,z A x,y,z ω4 0 ω23 p'. ω23 V = 0 vy V = 0 0 { } { } 4/ 4 2/3 0 vz A x,y,z A x,y,z ω34 0 V = 0 vy { } 3/ vz A 34 x,y,z Chaîne () (2) (3) () : { V } + { V } + { V } = { 0} /2 2/3 3/ ω + ω = v + p'. ω = Chaîne () (3) (4) () : { V } + { V } + { V } = { 0} /3 3/4 4/ ω +ω = v = 0 3 vy + vy = vz + vz = Les 6 équations cinématiques sont indépendantes donc rc = 6. Il y a 9 inconnues cinématiques donc Nc = 9 n en déduit : m = Nc rc = 9 6 = 3 h = m + 6 γ - Nc h = 3 + 6x2 9 = 5 9 = 6 Cinétique, page 2/4

13 4.2. Mécanisme de réglage L 2 3 L6 L4 L3 5 L5 4 Liaison Type ns nc L Pivot 5 Hélicoïdale 5 L3 Pivot glissant 5 L4 Glissière 5 L5 Plane 3 3 L6 Glissière 5 γ= L p+ = = 2 m =, il suffit d un paramètre pour obtenir une configuration géométrique donnée du système. h = Ns + m 6(p-) = (5-) = = 4 h = m + 6γ - Nc = + 6x2 9 = 3 9 = 4 Page 3/4

14 4.3. uvre barrière L 2 L4 7 L3 3 Liaison Type ns nc L Pivot 5 Pivot 5 L3 Linéaire annulaire 2 4 L4 Pivot 5 Mobilité : =, il suffit de fixer paramètre pour obtnir une configuration géométrique donnée du système. Il n y a pas de mobilité interne. h = m + 6 γ - Nc = + 6 x 7 = 0 Cinétique, page 4/4