L3 MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES

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1 L3 MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES Code Apogee S5 ECTS CM TD TP EL5MAFAM Topologie et Analyse hilbertienne 7, EL5MAFBM Intégration 1 7, EL5MAFCM Algèbre EL5MAFEM Analyse Numérique ED3MATAM Langue 3 24 total 30 Code Apogee S6 ECTS CM TD TP EL6MAFBM Intégration 2 & Probabilités EL6MAFDM Fonctions holomorphes EL6MAFAM Calcul différentiel et Géométrie différentielle EL6MAFIM Equations différentielles EL6MAFCM Algèbre EL6MAFEM PROJET ETUDIANT 3 Projet 3h/étudiant ED4MATAM Langue 3 24 total 30

2 EL5MAFAM Topologie et Analyse hilbertienne (7,5 ECTS, 90h = 36 HCM + 54 HTD) Rappels de L2: propriétés de : densité des rationnels, borne supérieure, suites de Cauchy et complétude, propriété de Bolzano- Weierstrass et compacité. Dénombrabilité. Distances, espaces métriques. Normes, espaces vectoriels normés ; normes associées à un produit scalaire. Parties ouvertes, fermées, voisinage, adhérence, intérieur, frontière (notions déjà abordées dans le cadre de n en L2). Topologie d un espace métrique, d un espace vectoriel normé. Notion d espace topologique séparé. Limites, continuité. Notion d homéomorphisme. Continuité uniforme dans les métriques. Prolongement de fonctions uniformément continues. Comparaison de topologies. Topologie induite. Produit fini de métriques (on pourra parler de produit fini d espaces topologiques, mais on évitera les produits infinis!). Complétude, espaces métriques complets : définition et propriétés élémentaires. Définition des espaces de Banach ; exemples (en particulier espaces d applications continues sur un intervalle compact de R). Théorème du point fixe de Picard-Banach pour les applications contractantes (avec et sans paramètre). Compacité: définition d espace compact, propriété de Borel-Lebesgue. suites dans un métrique compact : propriété de Bolzano- Weierstrass. produit fini d espaces métriques compacts (le théorème de Tychonoff pour un produit fini d espaces topologiques sera admis.) Caractérisation n des parties compactes de et de. théorème classique d approximation polynomiale de Weierstrass. une fonction réelle continue sur un compact est bornée et atteint ses bornes. théorème de Heine sur les applications continues sur un compact Connexité, connexité par arcs, notion de composante connexe. Espaces vectoriels normés : caractérisation de la continuité des applications linéaires, multilinéaires. Equivalence des normes en

3 dimension finie. Les suites bornées n ont pas forcément de valeur d adhérence. (Le théorème de Riesz sera vu en Master.) Séries convergentes, absolument convergentes dans un Banach. L algèbre L(E) des endomorphismes continus d un Banach E, l ouvert des isomorphismes de E. Espaces de Hilbert. Théorème de projection. Théorème de dualité de Riesz. Familles orthonormées, bases hilbertiennes (cas séparable). Exemples de polynômes orthogonaux (compléments de l étude faite en L2).

4 EL5MAFBM Intégration 1 (7,5 ECTS, 72h = 30 HCM + 42 HTD) Motivation du cours et introduction. L objectif est de définir assez vite l intégrale de Lebesgue et de l utiliser. En particulier, on évitera de trop s étendre sur la délicate notion de mesurabilité. Le module "Intégration 2 et Probabilités " du second semestre permettra de consolider les bases théoriques. Rappels et motivations Intégrale de Riemann, ses limitations. Pourquoi définir une autre intégrale? Exemples de fonctions simples non Riemann intégrables. Espaces mesurés Tribus, tribus engendrées, boréliens (propriétés sans démonstration). Mesure : définitions, propriétés élémentaires, exemples : mesure de Dirac, mesures discrètes, mesure de Lebesgue sur R ( on admettra sans démonstration qu il existe une unique mesure λ sur les boréliens de R, telle que λ( ]a,b[) = b-a ). Ensemble négligeable, propriété vraie presque partout. Fonctions mesurables Rappels préliminaires : limite simple, limite sup et inf de fonctions. Définitions, propriétés (ordre, algébriques, stabilité par limite simple), cas des fonctions à valeurs dans, mesures images, approximation des fonctions à valeurs réelles mesurables positives. Intégrale par rapport à une mesure Construction de l intégrale, propriétés générales. Intégrale par rapport à certaines mesures : mesure de Dirac et mesures discrètes, mesure de comptage (lien avec les séries), mesure de Lebesgue (énoncé sans démonstration des relations entre l intégrale au sens de Riemann et l intégrale au sens de Lebesgue), intégration par rapport à une mesure image. Théorème de convergence monotone, lemme de Fatou, Théorème de convergence dominée, Théorème sur la continuité et la dérivabilité d une intégrale dépendant d un paramètre. Intégration par rapport à une mesure produit Théorèmes de Fubini et existence de la mesure produit. (Eventuellement, Théorème d'unicité des mesures de Dynkin (caractérisation via une classe stable par intersection finie)).

5 d Mesure de Lebesgue sur. Théorème de changement de variable. Lien avec le changement de variable pour l'intégrale de Riemann sur. Passage en coordonnées polaires. Espaces L p Définitions (classes d'équivalences), inégalités de Minkovski et de Hölder. Continuité en moyenne d ordre p. Convergence L p, L p est un espace de Banach ; l espace de Hilbert L 2. Dans le cas de la mesure de Lebesgue, densité de l espace des fonctions étagées. Séries de Fourier. Lemme de Riemann-Lebesgue. Séries de Fourier des fonctions localement intégrables périodiques (d une variable réelle). Produit de convolution de fonctions périodiques. Noyaux de Dirichlet et Féjer. Théorème de Dirichlet. Théorème de Fejer (schéma de preuve), égalité de Parseval, convergence en moyenne quadratique. Quelques exemples d applications : inégalité isopérimétrique, résultats d approximation et/ou régularisation.

6 EL5MAFCM Algèbre I (6 ECTS, 60h = 24 HCM + 36 HTD) Anneaux, diviseurs de zéros, morphismes d anneaux, sous-anneaux. Anneaux euclidiens, anneaux des fractions des anneaux intègres, idéaux, anneau quotient. Idéaux premiers, idéaux maximaux. Anneaux de polynômes, division euclidienne. Manipulations algébriques avec les séries formelles. Anneaux factoriel. Éléments irréductibles, inversibles et premiers entre eux. PGCD, PPCM. Factorialité des anneaux de polynômes (à plusieurs variables, c-a-d il faut faire la division euclidienne sur A[X] où A est lui-meme un anneau de polynômes). Polynômes irréductibles, critère d Eisenstein.

7 EL5MAFCM Analyse numérique (6 ECTS, 60h: 24 HCM + 24 HTD + 12 HTP (Matlab)) Analyse numérique matricielle Décompositions matricielles (LU, QR, DVS, Choleski). Applications aux moindres carrés. Normes matricielles (spectrale, de Frobenius), conditionnement. Résolution de système linéaires par des méthodes itératives Calcul de valeurs propres (localisation, méthode de la puissance, méthode QR). Résolution d une équation: existence de solutions. Dichotomie, méthode des approximations successives: applications contractantes, méthode de Newton. TP Matlab: 6x2h

8 EL6MAFAM Calcul différentiel et Géométrie différentielle (6 ECTS, 60h: 24HCM, 36 HTD) Différentiabilité d une application définie sur un ouvert d un e.v.n et à valeurs dans un e.v.n. ; différentielle. Opérations sur les applications différentiables. Dérivées d ordre supérieur. Rappels et compléments de L2 (dimension finie): dérivées partielles, matrice jacobienne en dimension finie, matrice hessienne. Théorème des accroissements finis. Les fonctions de classe C 1 sur un ouvert y sont localement lipschitziennes. Formules de Taylor (Taylor-Young, Taylor avec reste intégral). Optimisation sur un ouvert (sans contrainte) : conditions nécessaires du premier ordre et du deuxième ordre, condition suffisante. Théorème d inversion locale, globale, des fonctions implicites. Application à l étude des courbes et surfaces: représentation locale par des équations ou des paramétrages, espace tangent. (N.B Un cours de géométrie différentielle aura lieu au premier semestre du M1). Application à l optimisation sous contrainte (extrema liés).

9 EL6MAFBM Probabilités et Intégration 2 (6 ECTS, 60h = 30 HCM + 36 HTD + 10 HTP) Motivation du cours et introduction. L objectif est d'une part d'approfondir la théorie de la mesure d'autre part de présenter une vision unifiée des modèles probabilistes discrets et continus vus en L1 et en L2 pour aboutir aux théorèmes limites illustrés par une brève introduction aux statistiques. Compléments d'intégration et mesure Théorèmes d'existence Théorème d'extension de Caratheodory (fonction sigma-additive sur un semi-anneau et mesure extérieure associée ; le théorème pourra être admis). Mesures de Lebesgue- Stieltjès, théorème de complétion. Absolue continuité (énoncé du théorème de Radon-Nikodym). Ensemble de Cantor de mesure nulle et de mesure positive. Exemple de mesure singulière. Convolution Algèbre de convolution L1, énoncé sans preuve des résultats pour la convolution f g pour f dans L p, g dans L q ; régularisation par produit de convolution (approximation de l'unité avec fonctions à support compact ou non). Théorèmes de densité. Transformée de Fourier dans L1 Propriétés, action sur un produit de convolution, dérivation et transformation de Fourier ; théorème d inversion (avec schéma de preuve). Probabilités Espaces de probabilités Modèle probabiliste. Variables aléatoires, lois de probabilités. Exemples d espaces de probabilités : unification des cas des v.a. discrètes et continues. Lois usuelles. Construction du jeu de pile ou face infini. Intégrabilité des variables aléatoires, espérance mathématique. Inégalités de Jensen, Markov et Bienaymé-Tchebychev. Caractérisation de la loi d'une v.a. Théorème d'unicité des mesures de Dynkin (caractérisation via une classe stable par intersection finie). Fonction de répartition, décomposition d une probabilité en partie discrète et partie continue. Fonction caractéristique. Calculs de loi.

10 Indépendance Probabilités conditionnelles. Indépendance d évènements, de tribus et des variables aléatoires. Somme de variables aléatoires indépendantes. Caractérisation (en particulier en utilisant la fonction caractéristique). Lemme de Borel-Cantelli (loi du 0-1). Convergences. Convergence d une suite de variables aléatoires : presque sûre, en probabilité, au sens L p. Convergence en loi (théorème de Lévy admis). Loi des grands nombres. Énoncé du théorème de la limite centrale. Brève introduction à l'estimation statistique Estimation ponctuelle paramétrique : modèle statistique, notion d'estimateur, biais et risque quadratique, estimateur fortement consistant de la moyenne, notion d'estimateur du maximum de vraisemblance. Estimation par intervalle de confiance, illustration du théorème de la limite centrale. TP : 2 x 5h : chaînes de Markov à espace d états finis.

11 EL6MAFIM Équations différentielles (3 ECTS, 42h: 18 HCM, 24 HTD) Définition d une solution, problème de Cauchy. Existence globale et unicité quand la fonction est globalement lipschitzienne. Existence locale quand la fonction est localement lipschitzienne (en particulier cas de la dimension finie). Solutions maximales. Le critère d existence globale. Dépendance par rapports aux paramètres (admis). Le cas particulier des équations ou systèmes linéaires : théorème de structure de l ensemble des solutions, formule avec l exponentielle quand la matrice est à coefficients constants, Wronskien. Équations autonomes : points d équilibre, étude qualitative en dimensions 1 et 2, avec propriétés de monotonie, isoclines. Approche numérique du problème de Cauchy : méthode d Euler.

12 EL6MAFCM Algèbre II (3 ECTS, 42h = 18 HCM + 24 HTD) Rappels de L2: groupes, morphismes, sous-groupes et sous-groupes engendrés par une partie. Ordre d un élément, groupes cycliques, monogènes. Classes latérales, théorème de Lagrange. Sous-groupes distingués, groupes quotients. Structure des groupes abéliens de type fini. Groupe symétrique, simplicité du groupe alterné. Groupe de matrices : GL(n), SL(n), O(n), SO(n). Actions de groupes. Actions linéaires de groupes de matrices. Commentaire: pour les groupes classiques, il s agit de donner les définitions et de les illustrer par ces actions linéaires (le mot représentation reste subliminaire). Notion de groupe libre engendré par un ensemble fini de matrices : alphabet (constitué par les matrices de l ensemble générateur ), mots formés par ces matrices (produit), notion de mot irréductible. Exemples de groupes de Schottky. Commentaire: l exemple des matrices permet de passer des notions sousjacentes aux groupes libres sans introduire toutes les définitions formelles de la théorie combinatoire des groupes. L idée est de donner une notion sur les groupes libres même si elle reste intuitive.

13 EL6MAFDM Introduction à l analyse complexe (6 ECTS, 54h = 24 HCM + 30 HTD) Fonction analytique d une variable réelle ou complexe : définition et propriétés basiques (rappel sur le rayon de convergence et les opérations élémentaires sur les séries entières). Prolongement analytique, théorème des zéros isolés. Théorème de Green-Riemann, 1-formes fermées, exactes. Conditions pour qu une 1-forme fermée soit exacte. Fonctions -dérivables et fonctions holomorphes. Diverses interprétations des équations de Cauchy-Riemann. Théorème de Cauchy pour les fonctions holomorphes au voisinage d un compact à bord orienté. Formule intégrale de Cauchy (via Green-Riemann) et estimations de Cauchy. Équivalence entre holomorphie et analyticité. Principe du maximum. Primitives des fonctions holomorphes, logarithme complexe. Développement de Laurent, théorème des résidus et application au calcul de quelques intégrales.

14 EL6MAFEM Projet (3 ECTS, 150h de travail perso, 3 heures d encadrement par étudiant)