Simulation numérique de l'agglomération des colloïdes : du nanomètre au micromètre. 13 Décembre 2010 GDR Colloïdes Annecy

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Gaston Falardeau
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1 Simulation numérique de l'agglomération des colloïdes : du nanomètre au micromètre Mikaël Mohaupt, Jean-Pierre Minier et Anne Tanière 13 Décembre 2010 GDR Colloïdes Annecy LEMTA UMR 7563 CNRS, ESSTIN Université Henri Poincaré Nancy I EDF R&D mikael.mohaupt@esstin.uhp-nancy.fr ::1::

2 Plan général Introduction et problématique Équations du mouvement et schéma d'intégration numérique Théorie de l'agglomération Algorithme de collision cas balistique Algorithme de collision cas diffusif Conclusions et perspectives ::2::

Objectifs Idée principale : simuler la formation d'agglomérats de particules dans le temps à partir des forces d'interactions élémentaires But :

3 Objectifs Idée principale : simuler la formation d'agglomérats de particules dans le temps à partir des forces d'interactions élémentaires But : Tester les méthodes d'agglomération et développer de nouveaux modèles Applications en médecine, alimentaire, ingénierie industrielle et nucléaire,... ::3::

4 Cadre de l'étude Formation d'agglomérats à partir de particules colloïdales placées dans un écoulement fluide Multi-échelle : du nanomètre au micromètre Turbulence, mouvement brownien, (gravité) Théorie : noyaux d'agglomérations Phénomène d'agglomération Outil numérique : la DNS (Direct Numerical Simulation) Résolution de la phase fluide par DNS Suivi lagrangien des particules Besoins et motivations de l'étude Traitement numérique des interactions entre particules Recherche d'un unique outil de simulation pour ces interactions sur une gamme de diamètres étendue : du nanomètre au micromètre. ::4::

5 Plan général Introduction et problématique Équations du mouvement et schéma d'intégration numérique Hypothèses Intégration numérique Théorie de l'agglomération Algorithme de collision cas balistique Algorithme de collision cas diffusif Conclusions et perspectives ::5::

Établissement des équations pour la simulation dynamique Hypothèses : particule isolée, one-way, espace infini Processus stochastique (E) sur la vitesse : Colloïdes => forces de

6 Établissement des équations pour la simulation dynamique Hypothèses : particule isolée, one-way, espace infini Processus stochastique (E) sur la vitesse : Colloïdes => forces de trainée + Brownien La position : La physique de la particule brownienne décrivant la thermalisation d'une particule dans un fluide au repos à l'équilibre thermique correspond à : ::6::

7 Suivi lagrangien d'une particule Intégration (Peirano et al. 2006) Système d'équations intégrées, non contraint par ::7::

8 Plan général Introduction et problématique Équations du mouvement et schéma d'intégration numérique Théorie de l'agglomération Noyaux Browniens Cadre de notre étude Algorithme de collision cas balistique Algorithme de collision cas diffusif Conclusion et perspectives ::8::

9 Théorie de l'agglomération sous influence brownienne Smoluchowski (1917) : agglomération probabiliste (kernel) Équation de bilan de population : Mouvement brownien => deux régimes, en fonction du nombre de Knudsen : Régime «moléculaire libre» : Régime «continu» : Relation en les noyaux d'agglomérations ( collisions ( ) : ) et les noyaux de ::9::

10 Noyaux de collisions brownien Dans le cas d'une distribution polydispersée : Dans le cas d'une distribution monodispersée : Smoluchowski (1917) ::10::

collisions estimé dans une simulation déterministe : La première phase

11 Estimation du noyau dans une simulation numérique à partir du nombre de collisions Le nombre de collisions théorique à l'instant t : Noyau de collisions estimé dans une simulation déterministe : La première phase de l'agglomération réside dans l'estimation du nombre de collisions ::11::

12 Plan général Introduction et problématique Équations du mouvement et schéma d'intégration numérique Théorie de l'agglomération Algorithme de collision cas balistique Bibliographie Cas test brownien pur Analyse et conclusion Algorithme de collision cas diffusif Étude de la complexité numérique Conclusion et perspectives ::12::

13 Bibliographie les algorithmes de collisions déterministes Algorithmes type recouvrement Yeung & Pope (1988), Sundaram & Collins (1996) Étude sur la mise en œuvre numérique Chen & Mac Lauglin (1998) Application : DNS canal plan, écoulement turbulent Wunsch, Fede & Simonin (2006) Libre parcours moyen sur inférieur à Algorithme type Dynamique moléculaire Sigurgeirson, Stuart & Wan (2001) Complexité croissante (one-way, two-way) Respect du régime balistique (trajectoire rectiligne) sur un pas de temps ::13::

14 Analyse Algorithme de type recouvrement Fraction volumique élevée Libre parcours moyen faible des particules sur un pas de temps Très couteux lorsque devient petit Algorithme de type dynamique moléculaire (MD) Fraction volumique faible Libre parcours moyen élevé des particules sur un pas de temps Très couteux lorsque coût exhorbitant pour les colloïdes : devient grand Choix d'algorithme : type MD dit time driven ::14::

Algorithme de collision élaboré Vue générale - Distribution uniforme des positions de particules - Monodispersée, sans recouvrement - Vitesse du fluide nulle et

15 Algorithme de collision élaboré Vue générale - Distribution uniforme des positions de particules - Monodispersée, sans recouvrement - Vitesse du fluide nulle et particulaire à l'eq. thermique - temps de latence avant l'activation des collisions - adaptées au traitement des collisions sur les bords du volume de contrôle ::15::

16 Algorithme de collision «time driven» Collisions sur critères géométriques type MD Pas de temps de la simulation variable : traitement d'une unique collision binaire Avantage : Simplicité Inconvénient : Coût numérique élevé si élevé ::16::

Simulations de collisions browniennes Mouvement

numérique dans le régime balistique (déplacement

Collisions uniquement, distribution monodispersée

17 Simulations de collisions browniennes Mouvement brownien pur, fluide au repos (air) Simulation numérique dans le régime balistique (déplacement rectiligne sur un pas de temps) Régime continu : Collisions uniquement, distribution monodispersée Fraction volumique constante : Comparaisons à la théorie ::17::

18 Collisions browniennes Analyse de l'algorithme time-driven Time in s Time in s ::18:: Time in s

19 Analyse : collision brownienne Coût numérique total Bon comportement par rapport à la théorie, mais très petits pas de temps impliquant des coûts numériques élevés Tests on Intel Xeon 2.33 GHz Ordre de grandeur utilisé dans les simulations Exemple : dans l'air correspond à des coûts numériques élevés Comment dépasser cette limitation en accord avec le schéma d'intégration choisi? ::19::

20 Analyse : collision brownienne Utilisation directe de l'algorithme Où est le problème? Mohaupt et al. - ICMF 2010 Qu'est-ce qui reste valable de l'algorithme élaboré? Rien. L'hypothèse de base est le déplacement rectiligne sur un pas de temps. Connaissances et besoins La position et la vitesse de la particule aux instants et Une particule considérée rencontre-t-elle une autre particule sur Déterministe ET probabiliste? ::20::

21 Plan général Introduction et problématique Équations du mouvement et schéma d'intégration numérique Théorie de l'agglomération Algorithme de collision cas balistique Algorithme de collision cas diffusif Idée de base Mise en oeuvre Description de l'algorithme élaboré Premiers résultats Conclusions et perspectives ::21::

22 Vers un algorithme de collision adapté aux colloïdes Une paire de particules ayant un comportement diffusif : Quelle est la probabilité pour qu'une paire de particules ayant un comportement diffusif sur un pas de temps, connaissant les positions initiales et finales, se rencontrent? Peut-on donner la probabilité pour ce mouvement brownien relatif à la paire de particule, d'atteindre le minimum? ::22::

23 Travaux mathématiques de référence Karatzas & Shreve (1991) Sur un pas de temps, la probabilité pour un mouvement brownien 1D ( ) que son minimum atteigne le niveau connaissant et est donnée par : ::23::

deux particules : Probabilité de collision si Brownien 3D : Norme du

24 Comment utiliser cette idée dans nos travaux? Pour un mouvement brownien de variance quelconque : Mouvement relatif de deux particules : Probabilité de collision si Brownien 3D : Norme du mouvement relatif à deux particules Collision : soit un nombre aléatoire (tirage uniformément réparti sur [0;1]) ::24::

Application On construit le processus de

25 Norme d'un processus brownien : le processus de Bessel Définition Si est un processus brownien, alors est un processus de Bessel de dimension 3 Application On construit le processus de Bessel représentant la norme du vecteur position relative de deux particules Avec l'aide de C. Profeta (IECN), on arrive à donner : ::25::

$à fraction$

26 Mise en pratique tests à fraction volumique constante : ::26::

27 Résultats ::27::

28 Résultats ::28::

29 Résultats ::29::

30 Conclusion Sur la piste d'un traitement probabiliste des collisions de colloïdes basé sur la théorie des processus de diffusion Méthodologie et premiers résultats très encourageants En bonne voie dans l'élaboration d'un outil unique permettant de simuler les collisions de particules, sous un comportement diffusif et/ou balistique sur un pas de temps. Cet outil peut permettre l'étude de nombreux cas appliqués d'écoulements fluides-particules à des échelles de tailles très différentes. ::30::

31 En vous remerciant pour votre attention. Des remarques, des questions? ::31::

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