Exercices. Reprendre les exercices 1 et 2, concernant les garçons et les sapins (page 5). Déterminer la médiane de chaque série

Transcription

1 Exercices Reprendre les exercices 1 et, concernant les garçons et les sapins (page 5). Déterminer la médiane de chaque série Pour l exercice vous choisirez la méthode la plus précise. 14

2 Corrections Exercice 1 C est une variable discontinue, il faut alors regarder si est pair ou impair. On trouve = 0 (c est un nombre pair) ; la médiane correspond à la 10 éme valeur ( = 0 = 10) de la variable pour une série rangée en ordre croissant ou décroissant. Calculons les E.C.C. ombre de garçons x i ombre de familles Effectif n i E.C.C. On cherche dans la colonne des E.C.C. la première valeur supérieure ou égale à 10 (ici 16). La valeur de la variable correspondante est 3. La MEDIAE est : 3 garçons par famille Exercice C est une variable continue regroupée par classes, on trace le graphique des E.C.D. et des E.C.C. Tableau de valeurs ombre de sapins = Me La classe MEDIAE est : [5;6[ E.C.C E.C.D. hauteur des sapins (en m) x i E.C.C E.C.D la MEDIAE est environ 5,3 m. Il y a donc autant de sapins de taille inférieure à 5,3 m (10 sapins) que de sapins de taille supérieure à 5,3 m (10 sapins). 15

3 III - La moyenne C est la troisième caractéristique intéressante pour l industriel. Elle représente la valeur du poids qu aurait chaque fromage si tous les fromages avaient le même poids. Il existe deux méthodes de calcul : la moyenne arithmétique et la moyenne pondérée. 1) La moyenne arithmétique La moyenne arithmétique se calcule lorsque l on connaît toutes les valeurs mesurées de la variable. Elle n est pas adaptée lorsque des regroupements ont été effectués. Reprenons les notes du II- page 1 à savoir : Il y a 10 notes Pour calculer la moyenne on effectue la somme des notes et on divise par 10 qui est l effectif total. On la note : x Ici : x = = = 7,4 10 La moyenne de l élève est donc de 7,4. A partir de cet exemple, établissons la formule générale de calcul de cette moyenne. Si on appelle x 1 la 1 ère valeur, x la ème... etc x n la n ième valeur et l effectif total, alors : x = x 1+ x + x x n xi On note cela de la forme suivante : x = Σ Σ = somme qui se lit : moyenne = somme des x i que divise. Remarque : : représente l effectif total = = Σ n i. 16

4 ) La moyenne pondérée a) Méthode de calcul. On l utilise dès qu il y a des regroupements pour une variable discontinue ou une variable continue. Reprenons le tableau statistique des fromages. Poids en g Classes ombre de fromage Effectifs : n i [60 ; 70[ n 1 = 1 [70 ; 80[ n = 1 [80 ; 90[ n 3 = 4 [90 ; 300[ n 4 = 3 [300 ; 310[ n 5 = 8 [310 ; 30[ n 6 = 1 [30 ; 330[ n 7 = 7 [330 ; 340[ n 8 = 4 Total 40 Cette ligne veut dire qu il y a 1 fromage dont le poids est compris entre 60 et 70 g mais on ne sait plus quel est le poids réel de ce fromage. On va donc faire une ESTIMATIO du poids de chaque fromage. Si son poids est compris entre 60 et 70 grammes, on supposera qu il est de 65 g (qui est la valeur centrale de cette classe). Pour cela, on fait la somme des bornes de l intervalle et on divise par. Exemple : VALEUR CETRALE de [60;70[ = = 65 VALEUR CETRALE de [70;80[ = VALEUR CETRALE de [80;90[ = de même pour les autres classes = 75 = 85 Pour calculer la moyenne pondérée (notée comme précédemment : x) on va suivre la démarche suivante : 1 ère étape : multiplier la valeur centrale des classes par le nombre de fromages de la classe. C est-à-dire : ligne par ligne calculer x i n i. ex. : x 1 = 65 g x 1 n 1 = 65 x 1 = 65 ex. : x 3 = 85 g n 1 = 1 fromage n 3 = 4 fromages Cela veut dire qu il y a 4 fromages dont le poids est environ 85 g. Ces 4 fromages représentent 85 x 4 = 1140 g = x 3 n 3. 17

5 ème étape : Faire la somme de toutes ces valeurs : cette somme représente le poids total des fromages. Tableau ci-dessous : somme = 1400 g. 3 ème étape : Diviser par le nombre total de fromages : ; on trouve x : le poids moyen pour un fromage. x = = 310 g Le poids moyen d un fromage est donc de 310 g. Pour faciliter les calculs, on peut présenter les résultats sous forme d un tableau de valeurs. Poids Effectif x i n i x i n i Total 1400 D où x = (65x1) + (75x1) + (85x4) + (95x3) (335x4) 40 Ici x = = 310 g Le poids moyen des fromages est donc de 310 g. On a calculé : x = (x1n 1) + (xn ) (xnn n) en écriture mathématique cela s écrit : x = Σxn i i et se lit «somme des x i n i que divise» 18

6 Exercices Reprendre les deux tableaux pages et 3 concernant les garçons et les sapins et calculer les moyennes dans les deux cas. A vous...!!! 19

7 Corrections Exercice 1 : On a regroupé toutes les familles en fonction du nombre de garçons dans la famille, on va donc utiliser la formule de la moyenne pondérée : x = Σ x i n i (1x0) + (3x1) + (4x) +.(8 x 3) + (3 x 4) + (1 x 5) + (0x6) x = 0 x = 5 0 =,6 Il y a,6 garçons en moyenne dans chaque famille de 6 enfants. Exercice : Les effectifs sont déjà regroupés par classe, on utilisera aussi la moyenne pondérée : x = Σ x i n i Mais, dans ce cas, il faut chercher les valeurs centrales des classes. Hauteu r des sapins Centre de classe x i Effectif n i [0;1[ [1;[ [;3[ [3;4[ [4;5[ [5;6[ [6;7[ [7;8[ [8;9[ [9;10[ = 05, = 15, + 3 = 5, = 3, = 45, = 55, = 65, = 75, = 85, = 95, x i n i 0,5 4, ,5 7, x = Σ x i n i = 0,5 + 4, = = 5, La hauteur moyenne des arbres est donc de 5,3 m environ. 0

8 Exercices de synthèse. 1) Donner le mode des deux séries statistiques suivantes. a) En milliers de tonnes Principaux exportateurs de viande de porc en 1993 GIRA - OFIVAL TOTAL MODE = Union Européenne U.S.A Canada Chine Europe Est Extrême Orient Document : Chambres d agriculture - Octobre b) ,5 Production de viande de volaille dans le monde en 1993 En millions de tonnes équivalent carcasse GIRA - OFIVAL 10 TOTAL MODE = , ,3,5,5 1, 1,3 USA Union Européenne URSS Europe Est Moyen Orient Brésil Japon Chine Document : Chambres d agriculture - Octobre

9 ) Pour chacun des pays, dites quel est le mode et ce qu il représente. ALLEMAGE % FRACE % ROYAUME UI - % - ITALIE % ESPAGE % Café torrefié (50 g/l) 0,6 1, , Café soluble (16 g/l) 1,8 4,7 9,7 0,6 3,5 Thé (13 g/l),7 3,6 3,7 1,5 0,3 Tisane (16 g/l) 1,5 0,5 0,5 0,3 1,5 Lait 11,5 17, 19,4 17,8 3,6 Eau minérale 14,6 0 1,9 8 1, Boissons non alcoolisées 1,5 5,3 1,1 5,1 14,9 Jus de fruits 7 3,9 3,1 7 10,1 Bière 4,7 8,8 17,7 5,5 16,3 Vin 3,1 14,7 1,8 14,1 7,6 Total (litres/habitant/an) Répartition (en pourcentage) de la consommation par habitant et par an en Europe Source : R.I.A. n 58 -Décembre B. Remarquez que les valeurs sont données en fréquences (exprimées en pourcentage). 3) La répartition de la population active d un pays est donnée par le tableau suivant : Age (années) ombre de personnes [15 ; 5[ [5 ; 30[ [30 ; 35[ [35 ; 40[ [40 ; 45[ [45 ; 50[ [50 ; 60[ [60 ; 70[ a) Tracer l histogramme correspondant à cette série (attention à l amplitude des classes). b) Déterminer le Mode, la Médiane (graphiquement) et la Moyenne.

10 4) Un éleveur a pesé ses veaux âgés de 5 mois. Il a obtenu les résultats suivants en kg : a) Effectuer un regroupement par classes d amplitudes égales : 10 kg à partir de 140 kg. b) Tracer l histogramme. c) Calculer la moyenne pondérée et la comparer à la moyenne arithmétique des 100 valeurs. d) Déterminer graphiquement la médiane. 3

11 CORRECTIOS Exercice 1 : a) Le mode est l Union Européenne C est elle qui exporte le plus de viande de porc. b) Le mode est les U.S.A. Ce sont les Etats-Unis d Amérique (U.S.A.) qui produisent le plus de viande de volaille. Exercice : Le Mode (Mo) représente, dans cet exercice, la boisson la plus consommée dans le pays. Allemagne : Le mode est la Bière (4,7%) France : Le mode est le Café torréfié (1,%) Royaume-Uni : Le mode est le Thé (3,7%) Italie : Le mode est l Eau minérale (8%) Espagne : Le mode est le Lait (3,6%) Exercice 3 : a) Histogramme Les classes n ont pas toutes la même amplitude ; il est important de tenir compte de cette variation. On va devoir ramener toutes les classes à une amplitude égale (voir dossier ). La majorité des classes ont une amplitude de 5. Les autres ont une amplitude de 10. 4

12 On va séparer les classe d amplitude 10 en classes d amplitudes 5 Age (années) Classes Amplitude Classes Effectifs [15;5[ 5 [15;0[ [0;5[ = [5;30[ 5 [5;30[ [30;35[ 5 [30;35[ [35;40[ 5 [35;40[ [40;45[ 5 [40;45[ [45;50[ 5 [45;50[ [50;60[ 10 5 [50;55[ [55;60[ [60;70[ 10 5 [60;65[ [65;70[ Effectifs âge : années 5

13 b) * Le mode est la valeur de la variable qui a l effectif le plus grand. Ici la classe modale est représentée par celle dont la hauteur du rectangle est la plus grande : Classe modale : [5;30[ Mode : Mo = 7,5 ans * La médiane est environ 33 ans (voir graphique ci-dessous). GRAPHIQUE DES EFFECTIFS CUMULES CROISSATS (E.C.C) ET DES EFFECTIFS CUMULES DECROISSATS (E.C.D) milliers de personnes E.C.C. E.C.D. Me Age (en années) * La moyenne Le regroupement par classes nous impose un calcul par la méthode de la moyenne pondérée. Il faut rechercher les centres de classes puis calculer les x i n i. Classes âges (années) ni effectif nb personnes xi Centre de la classe + = 0 x i n i [15;5[ [5.30[ , [30.35[ , [35.40[ , [40;45[ , [45;50[ , [50;60[ [60;70[ Total avec x = Σn i x i = = 34, L âge moyen est donc de 34,7 années. 6

14 Exercice 4 a) Le poids maximal des veaux est 03 kg. La première classe sera : [140;150[ la deuxième [150;160[ etc... jusqu à [00;10[ qui contient la valeur maximale. Puis on relève classe par classe le nombre de veaux. RAPPEL Attention à respecter l exclusion de la borne supérieure (voir dossier 1). 70 appartient à [70;80[ et non à [60;70[ Cela donne le tableau suivant, comprenant déjà le calcul des centres de classes et des valeurs de x i n i pour la moyenne. Classes de poids en kg Effectifs comptés (n i ) Centre de classe (x i ) x i n i [140;150[ [150;160[ [160;170[ [170;180[ [180;190[ [190;00[ [00;10[ Total = 100 Total D où la moyenne = x = Σ x i n i = = 175,3 100 Le poids moyen d un veau est donc : 175,3 kg L effectif maximal est ici de : 43. Il correspond à la classe [170;180[ qui est donc la CLASSE MODALE. Le Mode est le centre de cette classe : Mo = 175 kg. 7

15 b) Histogramme n i : effectif = nombre de veaux poids des veaux (en kg) c) On a calculé la moyenne pondérée précédemment (dans le a)), on a trouvé x = 175,3 kg. La moyenne arithmétique est la somme de toutes les valeurs que divise le nombre de valeurs (ici il y en a 100). Calculons la somme, on trouve : kg On divise par 100 : d où la moyenne arithmétique : = 174,68 kg. 100 On trouve une valeur très proche de x mais avec beaucoup de difficultés : il a fallu additionner 100 valeurs...!!! d) Pour trouver la médiane, on va tracer le graphique des Effectifs Cumulés Croissants (E.C.C.) et le graphique des Effectifs Cumulés Décroissants (E.C.D.). On trouve environ : 175 kg. Me = 175 kg GRAPHIQUE DES EFFECTIFS CUMULES CROISSATS (E.C.C) ET DES EFFECTIFS CUMULES DECROISSATS (E.C.D). nombre de veaux E.C.C E.C.D Me poids des veaux en kg Fin 8