Les plans Factoriels Fractionnaires 2 k-p

Transcription

1 Les plans Factoriels Fractionnaires 2 k-p Comment réduire le nombre d essais?? 1

2 Nombre d essais Approche fractionnaire Dans un plan factoriel complet, le nombre d essais augmente de façon exponentielle avec le nombre de facteurs 4 facteurs : 2 4 =16 essais 5 facteurs : 2 5 =32 essais 7 facteurs : 2 7 =128 essais 3.5 x Les plans fractionnaires sont des plans optimaux orthogonaux qui se focalisent sur les effets les plus intéressant Nombre de facteurs 2

3 Comment réduire le nombre d essais? y y E P X P E T X T E E X E E PT X PT E PE X PE E TE X TE E PTE X PTE Nombre d essais minimum? 3

4 Relation nombre d essais et nombre de ddl Règle le nombre minimal d essais à réalisé est égal au nombre de ddl du modèle étudié (nombre de coefficients du modèle) Exemple : 3 facteurs à 2 niveaux A,B,C et 2 interactions AB, AC ddla+ddlb+ddlc+ddlab+ddlac+1=6 ddl de la moyenne 4

5 Plans Fractionnaires à 2 niveaux Objectif : Réduction du nombre d essais Focalisation sur les effets les plus intéressants Hypothèse : Interactions d ordre supérieur à 2 sont souvent négligeables : ABC, ABCD, ABCDE Ex: 5 facteurs A,B,C,D,E 32 essais Les informations utiles : A,B,C,D,E : 5 Interaction d ordre 1 : 10 Une table avec 16 essais (2 5-1 ) suffirait Lorsque le nombre de facteurs augmente, le rapport du nombre d informations utiles au nombre total d essais diminue de façon alarmante! Réduction de la taille des plans 5

6 Démarche pour le choix d une table d expérimentation Faire le bilan sur le nombre de facteurs (+ nombre de modalités) Le nombre d interactions Le nombre de degrés de liberté (ddl) au total : donne le nombre d essais minimal nécessaire. ddl(total)=somme des ddl des facteurs ddl(facteur)=nombre de modalité du facteur moins 1 Choisir la table en adéquation avec le nombre d essais minimum Affecter les facteurs aux colonnes Le choix de colonnes se fait selon des contraintes de coût sur la fréquence de variation des niveaux des facteurs d un essai à l autre. 6

7 Démarche pour le choix d une table d expérimentation Tables orthogonales et tables des interactions associée L 8 (2 3 ) 3 facteurs A,B,C + 3 interactions Sans confusion A B C _ x2 1x4 2x4 7

8 Démarche pour le choix d une table d expérimentation Tables orthogonales et tables des interactions associée L 8 (2 3 ) 4 facteurs A,B,C, D + interactions Sans confusion A B C D _ x2 4x7 1x4 2x7 2x4 1x7 8

9 Plan : Etude de 4 facteurs Plan complet : 2 4 =16 essais Liste des facteurs et interactions : A,B,C,D : 4 AB,AC,AD,BC,BD,CD : 6 interactions ordre 1 ABC,ABD,ACD,BCD : 4 interactions ordre 2 ABCD : 1 interaction ordre 3 Total de 15 facteurs : nécessite 16 essais 15 colonnes Réduire le nombre d essais Réaliser le plan fractionnaire ( 8 essais)?

10 L8(2 3 ) Table à 16 essais (4 facteurs ABCD) L16 Ajouter un facteur implique une confusion avec une colonne??? 10

11 Le plan Chaque facteur (A,B,C) et les interactions occupent une colonne. Pour tester le facteur D et les interactions avec (A,B,C,AB,AC,BC,AC,ABC) avec seulement 8 essais : il faut donc les affecter à des colonnes déjà occupées A quelle colonne affecter le facteur D? ABC interaction probablement négligeable D est affecté à la colonne ABC Conséquences :Niveaux de D et ABC suivent les mêmes changements de signes 11

12 Affectation des Facteurs et interactions : Alias Essai A B C D Y Y Y2 Comment déterminer tous les aliases? Y Y Y Y Y7 8 Y8 D et ABC sont donc aliasés : D=ABC Les autres colonnes A, B, C, AB,.. vont être aliasés avec les interactions de D 12

13 Détermination des aliases Propriétés Commutativité : AB=BA Associativité : A(BC)=(AB)C=ABC Elément Neutre I (colonne de (+)): I.A=A.I=A A.A=I quel que soit A Conséquences L égalité D=ABC peut s écrire I=D.D=DABC=ABCD I=ABCD appelé GENERATEUR D ALIAS Détermination de tous les alias : I.A=ABCD.A=BCD A=BCD I.B=ABCD.B=ACD B=ACD 13

14 Liste des alias Comment calculer les effets des facteurs et interactions à partir des colonnes aliasées? On parle de Contrastes 14

15 Calcul des contrastes Colonne 1 : A et BCD Contraste : h 1 =A+BCD=1/8(-y1+y2-y3+y4-..+y8) Colonne 2 : B et ACD Contraste : h 1 =B+ACD=1/8(-y1-y2+y3+y4-..+y8) Etc.. Exemple : Etude de l influence sur Y = allongement à la rupture d un élastomère (en %) des facteurs : A : nature de l élastomère B : taux d additif ( autour de la valeur préconisée) C : Système de vulcanisation D : taux de kaolin 15

16 Exemple ( suite) Plan fractionnaire Alias D=ABC Générateur d alias I=ABCD Contrastes h =A+BCD h =B+ACD h C+ABD h =D+ABC h =AB+CD h6 5.0 BC+AD h AC+BD Essai A B C D Y Niveau (-1) Niveau (+1)

17 Interprétation Hypothèses Conditions de l étude : les contrastes dont la valeur absolue est inférieur à 8 sont supposés négligeables Compte tenu de la nature des facteurs les interactions d ordre 2 sont probablement négligeables Conséquences : h1= A h2= B h3= C h4=-3.75 D 0 h5=ab+cd=-13.75? Quel est l interaction la plus prépondérante? H6 et h7 négligeables : interactions négligeables ou de signes opposés Conclusion Effet A et de C sont du même ordre de grandeur Effet de B important, D insignifiant. On peut donc penser que dans h5 l interaction AB et plus significative que CD AB= Interprétation physique : une interaction élastomère-additif (AB) est plus plausible qu une interaction entre système de vulcanisation et kaolin (CD) (charge inerte) 17

18 Conclusion Facteurs significatifs : A (Elastomère), B (taux additif) C (Syst. Vulc), AB E A = E B = E C = E AB = Un excès d additif diminue l allongement à la rupture, surtout avec l élastomère 2. L élastomère 2 et préférable au 1. Système de vulcanisation 2 est meilleur Kaolin sans influence Bilan Nous avons pu conclure de façon satisfaisante avec 8=2 4-1 essais pour 4 facteurs. Nous avons effectué la moitié d un plan complet

19 Remarques L utilisation des plans fractionnaires est conseillée lorsque l on a une connaissance minimum a priori sur les interactions. A l issue de l exploitation d un plan fractionnaire, si l information obtenue est jugée insuffisante, le plan peut être complété par une autre fraction du plan complet à condition qu elle soit choisie de façon judicieuse. 19

20 Plan (groupe d alias) Cas d un plan fractionnaire à 5 facteurs ABCDE plan complet 32 essais 20

21 Plan 2 5 plan complet A B C AB AC BC ABC D AD BD CD ABD BCD ACD ABCD E AE BE CE ABE ACE BCE ABCE DE ADE BDE CDE ABDE BCDE ACDE ABCDE

22 Plan (groupe d alias) Réduction du nombre d essais de 32 à 8 essais A B AB C AC BC ABC Affectation des facteurs D et E Choix des colonnes Détermination du groupe de générateurs d alias - indépendants - dépendants Détermination des alias

23 Générateurs d Alias D=ABC et E= AC. Il y a donc 3 générateurs d'alias : I=ABCD, I=ACE et I=BDE Essais A CE BCD ABDE B DE ACD ABCE C AE ABD BCDE D BE ABC ACDE E AC BD ABCDE AB CD ADE BCE BC AD ABE CDE I ACE BDE ABCD 23

24 Essais sélectionnés : I=ABCD, I=ACE et I=BDE A B AB C AC BC ABC D AD BD CD ABD ACD BCD ABCD E AE BE CE DE ABE ACE BCE ADE BDE CDE ABCE ABDE ACDE BCDE ABCDE N. + BOUDAOUD Plans + + d expériences

25 Essais sélectionnés : I=ABCD, I=ACE et I=BDE Table 2^5-2 25

26 Essais sélectionnés : I=ABCD, I=ACE et I=BDE Quels sont les autres Essais (24 )? Comment les choisir pour désaliaser? H1=A+CE H2=B+DE H3=C+AE Approche : Rechercher les générateurs d alias permettant d élaborer un contraste des differences d effets 26

27 Démarche pour désaliaser H1=A+CE H2=B+DE H3=C+AE Le générateur d alias de CE, DE, AE? I=ACE Pour avoir les contrastes : H 1=A-CE H 2=B-DE H 3=C-AE Il faut prendre comme générateur IE=-ACE E=-AC 27

28 Démarche pour désaliaser On recalcule les générateurs dépendants IE=-ACE ID=ABCD D où IDE=ID IE=-BDE Les essais en vert A B C D E

29 Bilan des contrastes Première série d essais H1=A+CE H2=B+DE H3=C+AE Deuxième série d essais : H 1=A-CE H 2=B-DE H 3=C-AE D où A=(H1+H 1)/2; CE=(H1-H 1)/2; B=(H2+H 2)/2; DE=(H2-H 2)/2; C=(H3+H 3)/2; AE=(H3-H 3)/2 29

30 Généralisation Plan fractionnaire 2 k-p Choix d un plan fractionnaire pour un plan complet avec k facteurs à deux niveaux : 2 k expériences on réduit ce plan en prenant 2 k-p expériences avec k-p 3 si k=4,5,6 et k-p=4 si k=7,..15. On a donc recours au plan 2 3 ou 2 4. Alias et générateurs d aliases Dans un plan 2 k-p on dispose de p aliases indépendants dont on déduit des aliases dépendants par multiplication 2 à 2, 3 à 3 de tous les aliases indépendants, ce qui représente finalement 2 p -1 générateurs d alias. Exemples : 4 facteurs : p=1, 1 alias D=ABC, 1 générateur d aliases I=ABCD 5 facteurs : p=2, 2 aliases D=ABC E=AB, 3 générateurs d aliases I=ABCD, I=ABE, I=CDE 6 facteurs : p=3, 3 aliases et 7 générateurs d aliases. 30

31 Niveau de résolution 31

32 Essais par blocs 32

33 Réalisation d essais par Blocs Quand? Si l on souhaite réaliser des essais décalés dans le temps Ex : pour des raisons de temps on ne peut réaliser tous les essais sur un même équipement Utiliser 2 machines par exemple Tester l effet de 4 facteurs A,B,C,D Solution : partager la table. Comment? On peut prendre les essais 1-4 sur le 1er équipement puis 5 à 8 sur le second équipement Table L8 Equipement 1 Equipement 2 Effet de l équipement 33 Confondu avec l effet de A

34 Réalisation d essais par Blocs On ne pourra pas distinguer l effet de A de celui de l équipement Idée pour éviter la confusion avec A : Rechercher 2 blocs tel que l effet de l équipement ne soit pas confondu avec un facteur principal Création d un facteur fictif : X (équipement) Choix d une colonne d affectation Par exemple : ABC, AC, BC Découpage des blocs : Bloc 1: 1,3,6,8 Bloc 2 : 2,4,5,7 34

35 Exemple Un plan factoriel 8 essai a été réalisé pour minimiser le fluage (% d allongement après 24 heures) d une pièce. Facteurs listés sont : A : la température B : la quantité de gomme C : la quantité d additif Essai Température Gommes Additif Comment répartir les essais sur Les 2 mélangeurs? Mélangeur 1 35 Mélangeur 2

36 Additif Quels essais choisir? Comment répartir les essais sur Les 2 mélangeurs? Gommes Température 36 Mélangeur _

37 Exemple Essai Température Gommes Additif Réponse(%) Mélangeur 1 Les essais sont répartis en 2 blocs de 4 : - essais : essais : Mélangeur 2 Cela permet de ne pas Confondre l effet «changement de mélangeur» avec un facteur du plan Le facteur Type de mélangeur est affecté à la colonne 7 De la table L8(2 3 ) 37

38 Exemple Essai Température Gommes Additif Melangeur (C7) Réponse(%) Mélangeur 1 Comment estimer l effet bloc? Mélangeur 2 Au travail! 38

39 Solution T Gomme Additif Melangeur -4-6 effet Moy- effet Moy+ T Gomme Additif Melangeur

40 Solution Facteur SCE ddl V F A B C Melangeur R Total F0.95(1,3)=10.01 Alors le mélangeur a-t-il introduit un effet bloc? 40

41 Plans screening Les plans screening (Plaket-Burman) sont utilisés pour tester les facteurs principaux Qui? Ne concerne que les plans à 2 niveaux Quand? Lorsque le nombre de facteurs est élevé Cela permet de filtrer ou de débroussailler des cas complexes Comment générer ces plans? Algorithme de permutation circulaire 41

42 Plans screening On donne la séquence de signes de la première ligne On réalise une permutation circulaire à partir de la droite On complète la dernière ligne par -1 Essayons! 42

43 Plans screening Les premières lignes en fonction du nombre de facteurs principaux à analyser k inférieur ou égal à 3 (N=4): - k inférieur ou égal à 7 (N=8): k inférieur ou égal à 11(N=12) : k inférieur ou égal à 15 (N=16) : k inférieur ou égal à 19 (N=20):

44 Exemple : tenue de soudage de supports Un plan d expérience de type SCREENING a permis de tester l influence de 4 facteurs de réglage sur la tenue de soudage de 2 supports : Les réponses sont : Y1 : taux de microdéfauts souhaité < 20% Y2 : Dureté après soudure souhaité >70 HB Les facteurs sont : A : type de décapage -1 (mécanique) +1 (non mécanique) B : jeu de supports -1 (0.1 mm) +1 (0.5 mm) C : nature de soudure -1 (C10) +1 (C20) D : montée en température -1 ( 5 min) +1 ( 10 min) Générer le plan d expérience «screening»! 44

45 Exemple 4 facteurs, k inférieur ou égal à 7 : essais Construire la table 45

46 Exemple A B C D Y1 Y

47 Analyse du plan Estimation des effets moyens Analyse de Variance Écriture du modèle et validation 47