Introduction au transfert de chaleur. Le transfert de chaleur est un des modes les plus communs

Transcription

1 Introduction au transfert de chaleur Le transfert de chaleur est un des modes les plus communs d échange d énergie. Il se produit dès qu il existe une différence de température dans un système ou entre systèmes Ils jouent donc un rôle essentiel Sciences pures et dans les applications technologiques Au quotidien o Moteurs thermiques o Chauffage de l eau o Calorifugeage Isolation o Passage ombre soleil lil o Utilisation d énergie solaire o Refroidissement d aliments (purée) o o Introduction aux transferts thermiques D. SAURY

2 hermodynamique et transfert de chaleur concepts de base : Quantité de chaleur : forme d énergie à l échelle microscopique pq due à l agitation des particules Différence de température : moyen de «chiffrer» l agitation des particules er principe : équivalence de la chaleur et du travail nd principe : la chaleur se propage spontanément du système le plus chaud vers le système le plus froid (tendance à l uniformisation des températures) hermodynamique (classique) états d équilibre ransferts thermiques mécanismes d échange Introduction aux transferts thermiques D. SAURY

3 Grandeurs thermiques Surfaces isothermes x x x x x Gradient de température x La température a une valeur définie en tout point et à tout instant (x,y,z,t) A l instant t, le lieu des points de même température forme une surface appelée surface isotherme. Ces surfaces sont, en général, déformables raduit la variation de température dans une direction donnée Dans un repère cartésien Oxyz :,, x y z Le long d une isotherme, le gradient de température est nul uuuur grad d dn Introduction aux transferts thermiques D. SAURY 3

4 Grandeurs thermiques (suite) Quantité de chaleur et dérivés Quantité de chaleur énergie Q [J] (Joule) Flux de chaleur puissance : Quantité de chaleur par unité de temps Φ Q/t [W] ](Watt) Densité de flux de chaleur : Flux de chaleur par unité de surface ϕ Φ/A [W/m ] Introduction aux transferts thermiques D. SAURY 4

5 Les différents modes de transfert de chaleur Il existe 3 modes différents de transfert de chaleur (liés aux échanges d énergie thermique) : Conduction Convection processus physique bien déterminés Rayonnement Introduction aux transferts thermiques D. SAURY 5

6 Conduction L énergie se propage par contact direct des particules sans déplacement appréciable éibl decelle ci (phénomène de diffusion) i ige métallique Introduction aux transferts thermiques D. SAURY 6

7 Conduction (suite) L énergie se propage par contact direct des particules sans déplacement appréciable de celle ci ci (phénomène de diffusion) o Nécessité d un support matériel (solide, liquide ou gazeux) o Seul mode de transfert de chaleur dans les solides opaques r o Suit la loi de Fourier ϕ grad uuuur o (scalaire) : conductivité thermique [W m K ] o : densité de flux [W m ] ϕ r Exemple : Propagation dans une seule direction ϕ x ϕ ϕ x (x) L x Si (x) () est linéaire (cf. f fg figure) ) ϕ d ϕ dx d dx L L Introduction aux transferts thermiques D. SAURY 7

8 Ordre de grandeur de DOMAINE DE VARIAION DE LA CONDUCIVIE HERMIQUE SELON LES CORPS alliages métaux solides purs métaux liquides monocristaux réfractaires compacts eau+liquides organiques huiles liquides organiques poudres, fibres, mousses, pulvérulents matériaux isolants, solides amorphes liquides inorganiques gaz et vapeurs organiques gaz et vapeurs inorganiques (W.m -.K - ) Introduction aux transferts thermiques D. SAURY 8

9 Convection Le terme viens du latin cum veho s en aller avec. Nécessite un support matériel (fluide : liquide ou gaz) Conjonction de deux mécanismes : a) transfert d énergie du au mouvement aléatoire des particules (cf. conduction) b) transfert d énergie par mouvement macroscopique du fluide (possibilité de déformation importante) Introduction aux transferts thermiques D. SAURY 9

10 Convection (suite) Souvent le Δ est du à une paroi (chaude ou froide) Le phénomène suit la loi de Newton : Fluide en mouvement à s > ϕ s ϕ h c ( s ) h c : coefficient d échange de chaleur par convection (W.m.K ) ϕ : densité de flux (W.m ) Lorsque la circulation d air est imposée on parle convection forcée. Dans le cas contraire on parle de convection naturelle. Dans ce cas les mouvements d air sont causés par les forces d Archimède (différence de densité entre l air chaud et l air froid). Lorsque les deux effets sont du même ordre de grandeur, on parle de convection mixte Introduction aux transferts thermiques D. SAURY 0

11 Convection (suite) Valeurs typiques du coefficient d échange de chaleur par convection h c (W m K ) Convection libre 5 5 Fluide au repos à ϕ s > s Convection forcée dans un gaz Fluide en mouvement à s > Convection forcée dans un liquide s ϕ ébullition Convection avec changement de phase 500 (ébullition ou condensation) eau Introduction aux transferts thermiques D. SAURY

12 Rayonnement Spontanément ou au cours d interactions, les particules peuvent céder de l énergie cinétique par émission d ondes électromagnétiques Inversement, l absorption d ondes électromagnétiques par les particules se retrouve sous forme d énergie cinétique donc de chaleur Aucun support matériel n est nécessaire seul mode de transfert de chaleur dans le vide Le transfert suit la loi de Stefan Boltzmann ϕ σ 4 : température absolue (K) ϕ : densité de flux (W m - ) σ : constante de S-B (5, W m - K -4 ) en général : ϕ 4 ε : émissivité de la surface (<) εσ Introduction aux transferts thermiques D. SAURY

13 Rayonnement : échanges entre surfaces ext surface entourant la surface considérée ε Surface, s 4 4 ϕ ε σ S ext ( ) Remarque : ϕ h( ) rès souvent, on écrit ϕ sous la forme linéaire : r s h échange r : coefficient d de chaleur par rayonnement (W m K ) εσ( ) h ( ) ε σ ( + )( + )( ) h ( ) 4 4 S ext r s ext S ext S ext S ext r s ext h εσ( + )( + ) r S ext S ext Introduction aux transferts thermiques D. SAURY 3 ext

14 Combinaison entre les différents modes d énergie Dans la réalité, les différent modes sont le plus souvent intimement liés. Exple : Eau chauffée dans un récipient Eau : conduction (un peu) + convection Paroi : conduction Flamme : convection + rayonnement Rq : Si le chauffage se poursuit longtemps : ébullition et vaporisation (transfert avec changement de phase, non étudié ici) Introduction aux transferts thermiques D. SAURY 4

15 Combinaison entre les différents modes d énergie En pratique : Soit un mode est prépondérant p (et on néglige gg les autres) Soit les modes ont une importance comparable, mais il peuvent être découplés et traités séparément Exple:ransfert de chaleur hl entre une surfaceet un fluide par convection et rayonnement ϕ ϕ total ϕconv + ϕray h( ) + ε σ ( ) 4 4 total c S ext S ext Conservation de l énergie : ( er principe de la thermodynamique) Particulièrement utile en transfert de chaleur! Il faut définir un volume de référence ( volume de contrôle), représentatif du système Introduction aux transferts thermiques D. SAURY 5

16 Conservation de l énergie Energie entrante (E e ) Energie sortante (Es) Energie produite (E p ) Energie produite (Ep) : chimique, électrique, électro-magnétique ou nucléaire Si E e +E p >E s stockage d é dénergie dans le volume La température du volume augmente Si E e +E p <E s déstockage d énergie dénergie dans le volume La température du volume diminue Si E e +E p E s état stationnaire La température du volume est constante E e + E p E s E stock E stock m c p Δ Introduction aux transferts thermiques D. SAURY 6

17 Résumé DIFFERENS MODES DE RANSFER DE CHALEUR MODE MECANISME SCHEMA DENSIE DE FLUX (W.m - ) > COEFFICIEN CONDUCION Diffusion d'énergie due au mouvement aléatoire des particules ϕ -.d/dx (W.m-.K-).K ϕ CONVECION Diffusion d'énergie due au mouvement aléatoire des particules et transfert d'énergie due au mouvement d'ensemble Fluide en mouvement à s > ϕ s ϕ hc.(s- ) hc (W.m-.K-) RAYONNEMEN ransfert d'énergie par ondes électromagnétiques ext Surface, s ϕ εσ( 4 s 4 ext) ou ϕ hr.(s-ext) hr (W.m-.K-) m- ε Introduction aux transferts thermiques D. SAURY 7

18 ranferts conductifs

19 Définition ransmission locale (irréversible) de la chaleur à l intérieur d un dun système matériel (solide liquide ou gazeux) non isotherme, dans le sens des température décroissantes Mécanismes différents suivant le milieu matériel Interaction ti moléculaire l : GAZ Diffusion de phonons et de charges électriques : SOLIDES Interaction ioniques : LIQUIDES Rq : Dans ce cours on ne considérera que le cas des solides ransferts conductifs en régime permanent D. SAURY 9

20 Loi de Fourier (8) En tout point d un système, la densité de flux de chaleur est proportionnelle au gradient de température. r ϕ grad uuuur Joseph Fourier /03/768 6/05/830 (scalaire) : conductivité thermique [W m K ] : densité de flux [W m ] ϕ r n ϕ M grad da Par convention, ϕ est compté positif (>0) dans le sens de l écoulement de la chaleur, c. a. d. dans le sens des températures décroissantes ransferts conductifs en régime permanent D. SAURY 0

21 Loi de Fourier (suite) Flux élémentaire traversant la surface élémentaire da : da dφ ϕ da da n ϕ - grad dφ - grad n da grad M n da ϕ noté : dφ - da n Quantité de chaleur associée : d Q dt dφ dq - dadt n ransferts conductifs en régime permanent D. SAURY

22 Orthogonalité du gradient et de l isotherme En tout point et à tout instant, on peut écrire : da n ϕ d grad.dm Pour un déplacement élémentaire sur une isotherme, Δ0. grad M Isotherme cte A Ainsi les vecteurs grad et dm sont orthogonaux. ransferts conductifs en régime permanent D. SAURY

23 Orthogonalité du gradient et de l isotherme Lignes isothermes Lignes de flux orthogonales aux lignes isothermes ransferts conductifs en régime permanent D. SAURY 3

24 La loi de Fourier montre que s exprime en [W m K ]. dépend de : Du matériau (nature, ) De la température Du degré hygrométrique Conductivité thermique Son domaine de variation est très étendu! La conductivité itéd d un matériau caractérise l aptitude de ce matériau à conduire la chaleur : Bons conducteurs >> Mauvais conducteurs Bons conducteurs Bons isolants << Rq: dans les pays anglo saxon, la conductivité thermique est souvent noté k. ransferts conductifs en régime permanent D. SAURY 4

25 Influence de la température sur GAZ : est proportionnel à / et dépend peu de la pression LIQUIDES : décroit avec (sauf eau) et croit avec P SOLIDES : Homogènes : diélectriques et métaux pur : décroit quand augmente Alliages : variations faibles et de sens contraire ( cst pour de nombreux aciers) Poreux : on définit un coefficient de conductivité thermique équivalent 3 Isolant classique A : +B Super isolants : 0 55 W m K Cas pratique : cste, β < 0 ( ) +β( - ) 0 0 ransferts conductifs en régime permanent D. SAURY 5

26 Quelques valeurs Conducteurs thermiques CARACERISIQUES PHYSIQUES DE CERAINS MAERIAUX Isolants thermiques CARACERISIQUES PHYSIQUES DE CERAINS MAERIAUX Aluminium Cuivre Fer pur Argent Etain Laiton Fonte pure Constantan Acier inox Acier doux Conductivité thermique (W.m -.K - ) ,7 4,5 45,3 Chaleur volumique Diffusivité thermique cρ a cρ (0 6 J.m -3.K - ) (0-6 m.s - ), , ,4 8, , ,7 30 3, ,7 5,8 3,60 4 3,6 Effusivité b cρ (0 3 J.m -.s -½.K - ) , 3 Amiante Laine de verre Brique argile Béton Verre à vitre Chêne en travers Chêne en long Glace Pierre calcaire Air à 0 C Conductivité thermique (W.m -.K - ) 0,5 0,045,00 0,93 0,78 0, 0,35,0,7 0,055 Chaleur volumique cρ (0 6 J.m -3.K - ) 0,60 0,09,93,93,7,94,94,75,84 0,004 Diffusivité thermique a cρ (0-6 m.s - ) 0,5,37 0,5 0,48 0,34 0, 0,8,5 0,9 Effusivité b cρ (0 3 J.m -.s -½.K - ) 0,3 0,09,4,3,3 0,64 0,8,6,77 0,00539 Vapeur d'eau 00 C 0,50 0,00 0,0059 Eau à 0 C 0,60 4,6 0,4,6 Huile 03 0,3 64, , ,46 Sodium liquide (700 C) 60 0,97 6 7,6 Polyéthylène 0,60,5 0,3 0,9 Polystyrène y 0,46,9 0,65 0,50 ransferts conductifs en régime permanent D. SAURY 6

27 Equation (indéfinie) de la chaleur La relation de Fourier doit être vérifiée en tout point du système matériel On considère un élément de volume du système et on lui applique le principe de conservation de l énergie. E e + E p E s E stock E e : énergie entrant par la surface extérieure (relation de Fourier) E p : énergie produite à l intérieur (par effet Joule par exemple) E stock : énergie stockée dans le volume Appliquée à des infiniment petits (dv, dt), la conservation de l énergie conduit à une relation entre éléments différentiels, appelée équation indéfinie delachaleur (utilisation du théorème de Green Ostrogradski) div( grad ) ρ c P t P : puissance produite par unité de volume (W.m 3 ) ransferts conductifs en régime permanent D. SAURY 7

28 DIFFERENES FORMES DE L EQUAION INDEFINIE DE LA CHALEUR Milieu isotrope avec cte P Δ- + 0 a t a Δ c ρ Laplacien : Δ Diffusivité thermique : a Milieu isotrope avec cte et P0 (régime instationnaire sans sources internes) Δ- 0 a t Équation de Fourier Milieu isotrope avec cte et 0 t (régime permanent avec sources internes) P Δ+ 0 Équation de Poisson Milieu isotrope avec cte, P0 et (régime permanent sans sources internes) Δ0 0 0 t Équation de Laplace ransferts conductifs en régime permanent D. SAURY 8

29 CONDIIONS INIIALE E AUX LIMIES Equation indéfinie de la chaleur infinité de solutions possibles Conditions initiale et aux limites, causes de l évolution du phénomène Obtention de la solution unique d un problème physique particulier

30 Conditions initiales et aux limites L équation indéfinie de la chaleur admet en principe une infinité de solutions. La solution unique d un problème physique particulier nécessite la prise en compte des conditions initiale et aux limites qui sont les causes de l évolution du phénomène Condition initiale Le champ thermique doit être connu à t0 en tout point du domaine étudié Conditions aux limites A) Contact thermique parfait entre milieux homogènes solides Continuité du champ de Conservation du flux thermique (A ) (A ) - dσ - dσ n n milieu A (x) A n milieu (x) ransferts conductifs en régime permanent D. SAURY 30

31 Conditions initiales et aux limites (suite) B) Contact thermique imparfait entre milieux homogènes solides Discontinuité du champ de Conservation du flux thermique (A ) (A ) R,.Φ (x) A milieu Δ n R, résistance thermique de contact A milieu (x) C) Contact thermique entre un solide et un fluide empérature imposée (Condition de Dirichlet) (ex: frontière fortement conductrice et en contact avec un milieu extérieur conducteur de grande capacité calorifique ou en cours de changement d état) (x) ransferts conductifs en régime permanent D. SAURY 3 x

32 Conditions initiales et aux limites (suite) Flux imposé (Condition de Neumann) (ex: frontièreconductrice et chauffée par effet Joule ou par rayonnement thermique) Φ d A dx Φ (x) x Rem : Flux nul, surface isolée, adiabatique Φ 0 d 0 dx Pente nulle (x) ransferts conductifs en régime permanent D. SAURY 3

33 Conditions initiales et aux limites (suite) Coefficient d échange connu (Condition de Fourier) s (cas le plus fréquent) ϕ A h A (S ) nn S solide fluide h Coefficient d échange superficiel (W.m.K ) empérature du fluide (non influencée par le solide) (x) Le coefficient h peut représenter l échange par convection h c, l échange par x rayonnement h r r, ou l échange par convection et rayonnement h h c + h r Remarques empérature imposée h Surface isolée h 0 ransferts conductifs en régime permanent D. SAURY 33

34 ranferts conductifs en régime éi permanent sans source interne

35 Généralités Soit un système matériel se trouvant dans un état déterminé à un certain instant. A partir de cet instant, on entretient en certains points de la frontière extérieure de ce système, des conditions aux limitesit qui ne changent pas au cours du temps L expérience montre qu au bout d un certain temps, la température en chaque point du système prend une valeur invariable régime permanent t 0 permanent t transitoire transitoire Dans ce chapitre : P 0 et une seule direction de propagation de la chaleur Δ 0 cte Phénomènes permanents sans puissance interne - D. SAURY 35

36 Problème du mur Milieu matériel (solide) limité par deux plans parallèles et infinis de températures uniformes Faces isolées y z x p p d l hl d l d O Propagation de la chaleur dans une seule direction, notée Ox 0 L ϕ x Par commodité, l origine est prise sur la face la plus chaude Le sens des x croissants est pris dans le sens de l écoulement de la chaleur Phénomènes permanents sans puissance interne - D. SAURY 36

37 Problème du mur (suite) L équation indéfinie de la chaleur se réduit à : Intégration de l équation léquation d dx 0 d 0 d a dx a x + b dx La répartition de température dans un mur est linéaire Les constantes d intégration a et b sont déterminées par les conditions aux limites (CL) Ex : * une source S impose sa température en x 0 ( la température est connue en x 0) * une source S impose sa température (< ) en x L ( la température est connue en x L) ϕ Ainsi, b a < 0 L et L (x) x + 0 L x Phénomènes permanents sans puissance interne - D. SAURY 37

38 Exemple : mur en béton L'écart de température provoque un flux de chaleur à travers le mur : L (x) x + ϕ L Écart de température : 0 C 5 C 5 C Épaisseur du mur : L 0,0 m l pour le béton : 0,9 W / (m.k) Densité de flux thermique à travers le mur : ϕ 0,9 x 5 / 0,0 69 W/m Puissance pour A 5 m x 4 m 0 m, P ϕ A,38 kw Phénomènes permanents sans puissance interne - D. SAURY 38

39 Problème du mur (suite) Ex : * une source S à la température est en contact avec la face en x 0 par l intermédiaire d un coefficient d échange superficiel de valeur connue ( la température est inconnue en x 0) condition de Fourier * une source S impose sa température en x L ( la température est connue en x L) x x - p 0 Mathématiquement, la ère CL s écrit : h ( ) Flux de chaleur : d Φ A avec : a x + b dx Φ A a cte Φ > 0 car a < 0 0 x Il y a conservation du flux de chaleur, et de la densité de flux Φ A L ou Φ A L Phénomènes permanents sans puissance interne - D. SAURY 39

40 Notion de résistance thermique Dans l exemple précédent, le flux conductif s écrivait : Φ A L peut s écrire : Φ R mur avec R mur L A R mur : Résistance thermique interne du mur (conduction) R cd [K/W] Elle dépend de la géométrie et des propriétés thermiques du mur Phénomènes permanents sans puissance interne D. SAURY 40

41 Notion de résistance thermique (suite) solide s h A fluide 8 On peut également écrire la loi de Newton Φ ha( h.a.(s Φ ) sous la forme : s R sur R avec ha h.a sur (K/W) 8 R sur : Résistance thermique superficielle de convection R cv h Φ 8 Φ ha.( ) Φ.A. L h A.( ) Φ h Phénomènes permanents sans puissance interne D. SAURY 4

42 Notion de résistance thermique (suite) Notion de résistance thermique (suite) 8 ) A ( h L A ) A ( h Φ En régime permanent, on peut écrire : Φ R 8 Φ h [ ] [ ] [ ] A h A L A h Φ sur mur sur R R R Φ Φ Φ Φ sur mur sur R R R [ ]Φ R R R sur mur sur + + h Ainsi : En sommant, on obtient alors : sur soit : totale sur mur sur R R R R Φ + + A h A L A h R totale + + [ K/W ] avec : Dans les applications, en particulier en thermique du bâtiment, il est commode d exprimer le flux traversant le mur sous la forme : A U Φ Δ U est alors le coefficient d échange de chaleur global (W.m -.K - ) R totale A U 4 Phénomènes permanents sans puissance interne D. SAURY

43 Résistance thermique Association série i Schéma électrique équivalent - R eq Φ () i R R R R i- R Φ () Φ - i R Φ (3) Φ ()+(3) - (R +R ) Φ () R eq Φ eq R eq R eq Φ Φ R eq R +R Phénomènes permanents sans puissance interne D. SAURY 43

44 Résistance thermique Association parallèle Schéma électrique équivalent Φ R R R Φ Φ R Φ Φ Φ + Φ ( - )/R eq Φ ( - )/R Φ ( - )/R Φ ( - )/R eq ( - )(/R + /R ) R eq Φ R eq / Φ /R eq /R +/R Phénomènes permanents sans puissance interne D. SAURY 44

45 Mur composé Assemblage de murs élémentaires juxtaposés, en contact avec des surfaces plus ou moins parfaites Φ contacts imparfaits 8 ' h R, R,3 Résistances de contact ' ' 3 Φ ' 3 L, L 3, 3 3 ' h 8 Résistance équivalente d un mur composé R R ii + R sj + i j k R ck L, Rq : Plus la résistance thermique est grande, plus la chute de température est importante Rq : La notion de résistance thermique n a de sens qu en régime permanent! Phénomènes permanents sans puissance interne D. SAURY 45

46 Analogie électrique Φ R est analogue à la relation : I V V R e (électricité) thermique électricité Φ [ W ] I [ A ] [ C R cd ou K] V L [ K / W ] A Δ R Φ ΔV R R e [ V ] L [ Ω] σ A e I U ρ σ σ : conductance électrique ρ : résistivité électrique R est l obstacle ( la résistance) à l écoulement du flux de chaleur dans le mur, comme R e est l obstacle au passage du courant d intensité I dans le conducteur électrique Phénomènes permanents sans puissance interne D. SAURY 46

47 Analogie électrique (suite) L analogie électrique permet de résoudre de nombreux cas pratiques Mur simple Mur composé Phénomènes permanents sans puissance interne D. SAURY 47

48 Mur composite Mur composite Résistances en parallèle R R R R + R Association de résistances en série et en parallèle Mur réel parpaing air enduit En pratique, on définit un équivalent Phénomènes permanents sans puissance interne D. SAURY 48

49 Cas du cylindre creux Cylindre très long Surfaces isothermes ex : tuyauterie z e h e r h i i r Φ (x,y,z) (r,θ,z) (r) Propagation radiale de la chaleur r d dr r d dr 0 soit d d r 0 dr dr Intégration de l équation a ln r + b La répartition de température dans un cylindre est logarithmique Phénomènes permanents sans puissance interne D. SAURY 49

50 Cas du cylindre creux (suite) a et b sont déterminés par deux conditions aux limites Expression du flux Ex : * une source S impose sa température en r r ( la température est connue en r r ) * une source S impose sa température en r r ( la température est connue en r r ) a R ln R ; et b lnr R ln R lnr d d a Φ. A. A πrl dr avec et dr r Φ π a L Φ π L R ln R On trouve qu il y a conservation du flux (résultat attendu). Mais la densité de flux varie selon r (la surface traversée par le flux dépend du rayon) Phénomènes permanents sans puissance interne D. SAURY 50

51 Résistance thermique du cylindre Φ peut s écrire sous la forme : Φ R cyl ln Rcyl avec π L R R R cyl : Résistance thermique interne du cylindre (K/W) Aux contacts solide/fluide, on définit les résistances thermiques superficielles interne et externe à partir de la loi de Newton Φ Φ i R R sup-int e sup-ext avec R sup-int R sup-ext h.a h i e i.a e e h e A π. r.l r h i i r Ai A e Φ Phénomènes permanents sans puissance interne D. SAURY 5

52 Utilisation des résultats Dans les applications, en particulier en échangeurs, il est commode d exprimer le flux traversant le cylindre sous la forme : Φ UA U.A. Δ U est alors le coefficient d échange de chaleur global (W.m -.K - ) En fonction de la surface à laquelle on se réfère, on a les deux expressions suivantes : Φ U.A. Φ U.A e. Δ i Δ ou avec U.A i U.A e Cas des cylindres accolés On procède comme dans le cas des murs composés. Les résistances thermiques s additionnent (association série) Phénomènes permanents sans puissance interne D. SAURY 5

53 Cas de la sphère creuse Surfaces isothermes ( ) d d div grad () r 0 r dr dr (x,y,z) (r,ϕ,θ) (r) Propagation radiale de la chaleur soit d d r dr dr 0 a + r b a et b sont déterminés à partir des conditions aux limites La répartition de température dans une sphère creuse est hyperbolique Expression de la densité de flux : d a ϕ grad() dr r Il y a conservation du flux. Φ A ϕ a 4 π La densité de flux varie selon le rayon en /r² (la surface traversée par le flux dépend du rayon) cste Phénomènes permanents sans puissance interne D. SAURY 53

54 Cas de la sphère creuse (suite) Cas de la sphère creuse (suite) a et b sont déterminés par deux conditions aux limites Ex : * une source S impose sa température en r r Ex : une source S impose sa température en r r ( la température est connue en r r ) * une source S impose sa température en r r ( l t é t t ) ( la température est connue en r r >r ) R R b et ; a 4 π [ ] R R ; R R R R R R R R r + [ ] cste R R 4 Φ π [ ] R R r ϕ 54 Phénomènes permanents sans puissance interne D. SAURY

55 Synthèse résistance thermique de conduction Cas de la surface plane (mur plan) R plan e S Cas de la surface cylindrique (tube) R cyl π L R ext ln R Cas de la coquille sphérique int Rq : si les rayons deviennent très grands, la surface tend vers un plan Ainsi, R ext R int +e >> et ln(r ext /R int ) ln(+e/r int ) ~ e/r int e e R cyl π R L ( ) S int R sphère Rq : si les rayons deviennent très grands, la surface tend vers un plan Ainsi, i R /[ /R R R ext R int +e >> et /R int -/R ext /R int (-/[+e/r in )]) ~ e/r² int int ext e e R cyl 4π ( 4π R ) S int Phénomènes permanents sans puissance interne D. SAURY 55

56 ranferts conductifs en régime éi permanent avec source interne

57 SYSEMES AVEC PRODUCION INERNE DE CHALEUR Une source interne est définie par la puissance thermique P qu elle produit par unité de volume. En général, P(M,,t) Cas particuliers fréquents : P A 0.exp( α) Réaction chimique P A(M,t) + B(M,t). Production de chaleur par effet Joule Dans ce chapitre, on considérera P cte Phénomènes permanents avec puissance interne D. SAURY 57

58 Etude du mur plan L équation indéfinie de la chaleur s écrit : d dx d dx P d P P - - x + a - x + a x + b dx -P La répartition de température dans le mur est parabolique La chaleur s évacue par les deux faces Si, il y a symétrie par rapport au plan médian 0 L x Rem : * a et b sont déterminées par deux CL. * on peut exprimer a et b, inconnues, en fonction des températures de paroi, qui sont généralement elles-aussi inconnues Phénomènes permanents avec puissance interne D. SAURY 58

59 Etude du mur plan (suite) en x 0, b P en x L, a + L L P P - x + L x + + L Densité de flux d P ϕ - - x + a dx ϕ P x - L P L On constate que la densité de flux n est pas constante : ϕ(x). Mais on peut toujours écrire la conservation de l énergie Phénomènes permanents avec puissance interne D. SAURY 59

60 L équation indéfinie de la chaleur s écrit : d + dr r d dr P - Etude du cylindre d dr + r d dr P La solution générale de cette équation différentielle est la somme de : la solution de l équation sans second membre et d une solution particulière de l équation avec second membre a ln r + b On recherche une solution de la forme Cr + Dr + E d Cr + D dr d C dr soit : 4C + D r C + ( Cr + D) r P P D 0 et C P 4 P 4 r + a ln r + b Phénomènes permanents avec puissance interne D. SAURY 60

61 Cas du cylindre plein Il n y a qu une source qui, par exemple, impose sa température au rayon r R Une autre CL est donnée par le fait que sur l axe, la température doit garder une valeur finie r a ln0 + b valeur finiei a 0 - P P r R.R + b b R P + 4 P 4 - r +.R La température est maximum sur l axe (r 0) enue mécanique et thermique des matériaux Phénomènes permanents avec puissance interne D. SAURY 6

62 Cas du cylindre creux P 4 r + a ln r + b Les CL peuvent être : en r R, la face est isolée en r R, d 0 dr d P or r dr + a r P P R + R ln R 4 + B a P R - P 4 [ ] R + r P R r ln R r R, d/dr 0 r R, Dans ce cas également, on peut déterminer la température maximum atteinte par le matériau Phénomènes permanents avec puissance interne D. SAURY 6

63 Etude de la barre

64 Problème de la barre C est un problème qui a de nombreuses applications, en particulier avec les ailettes de refroidissement Barre homogène, de section constante et de grande longueur h x Origine à une extrémité et Ox parallèle à la grande dimension Milieu extérieur à avec h en x 0, o On recherche la répartition de température Approche du problème C est un problème à trois dimensions : (x,y,z) Calculs complexes avec l équation indéfinie de la chaleur (dérivées partielles) Simplification du problème avec des approximations Phénomènes permanents : Problème de la barre D. SAURY 64

65 Hypothèse simplificatrice Hyp : Les isothermes sont des surfaces planes et non courbes (x) Contradiction! - h (p ) n paroi Pas de chaleur s échappant par les côtés 0 0 L approximation (x) conduit à abandonner l équation indéfinie de la chaleur Il faut «fabriquer» une autre équation, tenant compte des hypothèses : C est l équation de la barre Phénomènes permanents : Problème de la barre D. SAURY 65

66 Equation différentielle régissant le phénomène Hypothèses de calcul Chauffée ou refroidie à l une des extrémités Section A cte h φ φ φ Périmètre de la section A : p cte 0 isothermes φ Coefficient d échange latéral h cte 3 x Faibles dimensions transversales 0 L Hypothèse monodimensionnelle On applique le principe de conservation de l énergie (ou du flux car on est en régime permanent) à un petit élément de volume Φ Φ + Φ 3 Phénomènes permanents : Problème de la barre D. SAURY 66

67 Equation différentielle régissant le phénomène (suite) Φ Φ + Φ 3 Φ Φ Φ 3 d A dx d A dx ( - ) d x x+ dx ( ( x) ) h p dx ( ) 0 m dx Φ flux conductif entrant en x Φ flux conductif sortant en x+dx Φ 3 flux convectif sortant par h.dx hp avec m A Solutions ( formulations possibles) ou ( x) A exp( m x) A exp( m x) + ( x ) B ch ( m x ) B sh ( m x ) + ax e + e ch ( ax) ax e e sh ( ax ) sh (ax) th (ax) ch (ax) ax ax Phénomènes permanents : Problème de la barre D. SAURY 67

68 Etude de la barre semi infinie infinie 0 A CL : (x0) 0 x, garde une valeur finie (x ) A.0 + A. A 0 (x) 0 exp( hp A x) Représentation de l évolution de la température le long de la barre (x) () (x) 0 0 Représentation adimensionnelle x 0 x Phénomènes permanents : Problème de la barre D. SAURY 68

69 Etude du flux de chaleur (x) 0 exp( hp A x) Φ - A d dx hp hp - A ( ) exp x A A Φ 0 hp Φ hp A ( 0 ) exp x A Le flux entrant dans la barre est égal à : Φ(x 0) hpa (0 ) Φ(x 0) Une partie du flux se propage par conduction et l autre partie est échangée avec l extérieur par convection et rayonnement (h) Rq : àl extrémité extrémité, il n y ny a pas de flux échangé avec l extérieur ((x ) ) Phénomènes permanents : Problème de la barre D. SAURY 69

70 Etude de la barre courte Hyp : X 0 L x On suppose que les déperditions par l extrémité sont négligeables (ou face isolée) : Φ (x L) # 0 L 0 CL : (x0) 0 x L, d d Φ A 0 0 dx dx x L Les CL deviennent : On fait le changement de variables X L - x (ce qui revient à prendre l origine à l extrémité libre de la barre) X L, 0 d X 0, 0 dx X 0 On choisit la solution sous la forme B.ch + qui conduit à une expression simple Phénomènes permanents : Problème de la barre D. SAURY ( m.x ) B.sh ( m.x ) 70

71 Etude de la barre courte (suite) d dx B m sh(mx) + B m ch(mx) d dx X 0 0 B m 0 + B m B 0 X L, 0 0 B ch(ml) ch(ml) 0 B 0 ch(mx) ch(ml) X L x Flux de chaleur d A dx Φ A ( ) Φ 0 avec m hp A m sh(mx) ch(ml) ( ) Φ 0 hpa sh(mx) ch(ml) Phénomènes permanents : Problème de la barre D. SAURY 7

72 Etude de la barre courte (suite) ( ) Φ 0 hpa sh(mx) ch(ml) Pour X L, on trouve le flux entrant dans la barre Φ(X L) ( 0 ) hpa th(ml) Rq : Φ est une fonction de X. Il n y a pas conservation du flux transmis par conduction, du fait des échanges latéraux Si on considère les échanges de chaleur par l extrémité, on obtient l équation générale : ch(mx) + 0 ch(ml) + h m h m sh(mx) sh(ml) dont l équation précédente est un cas particulier Phénomènes permanents : Problème de la barre D. SAURY 7

73 Ailettes de Refroidissement Ce sont des dispositifs qui permettent d augmenter la surface extérieure d un solide et par conséquent qui favorisent le passage de la chaleur entre ce solide et le fluide environnant h A ( ) Φ 0 Pour que Φ augmente, on peut agir sur : h, A ou : peu facile h:emploi d un dun ventilateur (convection forcée) A : ajout d ailettes (en réalité, obtenues par fonderie) Question quelle est la forme optimum à leur donner pour avoir un «rendement» maximum, c-a-d pour qu elles évacuent un flux de chaleur maximum pour un poids donné? Ailettes de refroidissement D. SAURY 73

74 Etude des ailettes

75 Exemples d utilisation d ailettes Ailettes de refroidissement D. SAURY 75

76 Formes fréquemment rencontrées Ailette de section quelconque constante t cf. barre Ailette de section A(x) et de périmètre p(x) (x) est solution d une fonction de Bessel Efficacité d une ailette ε Φ a Φ a max Φ a Φ a max Flux réel échangé par l ailette Flux maximum qui serait échangé par une ailette idéale ( ) à température uniforme 0 Ailettes de refroidissement D. SAURY 76

77 Efficacité d une surface ailetée Φ η Φ S S max Φ S Généralités sur les ailettes Flux réel échangé par la surface ailetée Φ S max Flux maximum qui serait échangé par la même surface ailetée à température uniforme 0 Ailette optimum On démontre que le profil idéal qui donnera le meilleur rendement est constitué par deux cercles de rayon R /h L Dans ce cas, la répartition de température est linéaire Quand faut-il mettre des ailettes? Il faut au moins que la chaleur évacuée par l ailette soit supérieure à celle qui quitterait sa base en l absence d ailette! Pour une ailette aiguille : Φa hpa (0 Φsa h A (0 ) ) En pratique : p p > 4 Φ a > Φ sa > ha ha R Modification de l écoulement Ailettes de refroidissement D. SAURY 77

78 Convection

79 y (y) CONVECION Plaque chaude dans l'air immobile et froid s les molécules acquièrent de l'énergie cinétique au voisinage de la plaque et par chocs successifs, contribuent à la diffusion de la chaleur FOURIER: ϕ y 79

80 CONVECION air y Plaque chaude x s phénomènes combinés : la diffusion moléculaire gradient l'entraînement Les phénomènes de diffusion ont une origine essentiellement moléculaire (chocs, échange d'énergie en transfert de chaleur) et microscopique de convection superpose un effet moléculaire (la diffusion précédente) à un effet td' d'entraînement t î tmacroscopique, appelé advection : convection diffusion+advection 80

81 Conjonction de deux mécanismes : CONVECION a) transfert d énergie dû au mouvement aléatoire des particules b) transfert t d énergie par mouvement macroscopique du fluide 8

82 CONVECION Nécessité d un support matériel (fluide : liquide ou gaz) Souvent le Δ est dû à une paroi (chaude ou froide) Fluide en mouvement à s > ϕ s Paramètres d influence: Propriétés du fluide Vitesse du fluide Géométrie et état de surface du solide ype d écoulement 8

83 CONVECION Loi de Newton: densité de flux (W.m - ) ϕ h c ( s ) coefficient d échange de chaleur par convection (W.m -.K - ) Complexité: h, dépend d de plusieurs s paramètres: a ρ, ν,, Cp, forme, rugosité, écoulement e Cette multiple dépendance résulte du fait que le transfert convectif est déterminé par les couches limites dynamique et thermique qui se développent sur la surface du solide. 83

84 OBJECIFS DU HERMICIEN Pour une situation donnée: Déterminer: qui peut être: h CONVECION Fluide en mouvement à s > ϕ s ( ) φ ha la température du fluide à l'extérieur de la couche limite sur un obstacle la température locale «moyenne» dans une tranche de fluide en cas d'écoulement dans une conduite. qui sera fourni par des relations entre nombres adimensionnels, i conduisant à la détermination ti de h. s 84

85 CONVECION Analyse dimensionnelle Nombre de Nusselt Nu h. D Nu 85

86 CONVECION Signification du Nombre de Nusselt Nu Nu Flux thermique par convection Flux thermique par conduction à travers le fluide Nu hs ( ) hd ( ) S( ) p p D 86

87 CONVECION Conclusion de l'analyse dimensionnelle Le transfert de chaleur convectif implique une relation entre 3 nombres sans dimension En convection forcée : Nu f(re, Pr) En convection naturelle : Nu f(gr,pr) 87

88 CONVECION FORCEE Nombre de Reynolds Re R e ρ U D μ U D ν 88

89 CONVECION FORCEE Signification ifi du Nombre de Reynolds Re Forces d'inertie Re Forces de viscosité U..ρρ D U. μ D ρ. U μ. D U Re caractérise la forme du profil de vitesse de l'écoulement fluide υ. D 89

90 CONVECION FORCEE Nombre de Prandtl Pr μc Pr 90

91 CONVECION FORCEE Signification du Nombre de Prandtl Pr μ μ Viscosité cinématique ρ ρ μc Pr Viscosité thermique a Cρ Pr compare les influences respectives : du profil de vitesse du fluide (viscosité) du profil de température (diffusivité) 9

92 CONVECION FORCEE Loi semi-empirique de la convection forcée F (Nu, Re, Pr) 0 ou Nu f (Re, Pr) hd ρ U μ f D, μ C 9

93 CONVECION NAURELLE Nombre de Grashof Gr.( ) 3 g.β L s ν Pour les gaz : Pour l eau: β C β.0 3 0,08 0,0 0,30 0,38 0,45 0,53 0,58 0,64 0,67 93

94 CONVECION NAURELLE Signification du Nombre de Grashof Gr Gr est le rapport entre la poussée d'archimède et la force visqueuse: Gr β. g.( μ ρ s. L 3 ) /kg Subie /kg Gr est à la convection naturelle ce que Re est à la convection forcée. 94

95 CONVECION NAURELLE Si le transfert convectif forcé et le transfert convectif naturel sont dans les mêmes ordres de grandeurs: Nu f(re, Gr, Pr) Gr Re Gr Re << Gr Re >> ransferts convectifs forcé et naturel comparables ransfert convectif naturel négligeable ransfert convectif forcé négligeable 95

96 Nombre de Rayleigh: CONVECION NAURELLE Le nombre de Rayleigh détermine la transition laminaire - turbulent. Ra Gr.Pr x x Ra x g. β. ( ) s ν.aν. a x 3 96

97 CONVECION NAURELLE Loi semi-empirique ii de la convection naturelle F (Nu, Gr, Pr) 0 F (Nu, Ra) 0 ou OU ou Nu f (Gr, Pr) Nu f (Ra) hl f 3 3 g. β. Δ. L μ. C g. β. Δ. L μ. C, f. υ υ Note: Les propriétés du fluide sont à évaluer à la température du film: f ( s + ) / 97

98 Méthodologie:.Calcul du Nombre de CONVECION Reynolds En Convection Forcée Grashof ou Rayleigh En Convection Naturelle. Choix de la corrélation 3. Calcul du Nombre de Nusselt 4. Calcul du coefficient h 98

99 Etude du rayonnement en milieu transparent 99

100 CHAPIRE I Les échanges d énergie par rayonnement 00

101 Introduction Le Rayonnement : Ondes et Corpuscules Notion d angle solide Solide de petites dimensions env Vide Solide Vide s > env ni conduction ni convection s > env On constate que le système évolue de telle sorte qu au bout d un certain temps, s env Environnement Échange d énergie sans support matériel RAYONNEMEN Chapitre I Les échanges d énergie par rayonnement 0

102 Introduction Le Rayonnement : Ondes et Corpuscules Notion d angle solide Causes : Énergie cédée par les électrons lors de leurs oscillations, vibrations ou transitions d un état d énergie vers un autre plus bas Phénomène en volume particulièrement t vrai pour les gaz et les solides semi-transparents t (verres, ) pour les solides et les liquides, ce rayonnement est fortement absorbé par les particules voisines phénomène p de surface Chapitre I Les échanges d énergie par rayonnement 0

103 Introduction Le Rayonnement : Ondes et Corpuscules Notion d angle solide Nature du transport d énergie : Deux approches : dualité corpuscules / ondes Propagation d une collection de particules appelées photons ou quanta Propagation d ondes électromagnétiques de fréquence ν ( de longueur d onde ) c ν c : vitesse de propagation p de la lumière dans le milieu considéré Vide : c c 0,998x0 8 m/s [] L, habituellement en μm E h ν ( μm 0-6 m 0 4 Å ) h c E( ev ),4 ( μm) h : Constante de Planck 6, J.s Chapitre I Les échanges d énergie par rayonnement 03

104 Introduction Le Rayonnement : Ondes et Corpuscules Notion d angle solide Physique des hautes énergies Physique nucléaire Visible Électricité Rayons cosmiques Rayons γ Rayons X Ultraviolet Infrarouge Rayonnement thermique Microondes, Ondes radio, éléphonie en fonction de la longueur d'onde ( en μm) en fonction de la fréquence ( ν en Ηz) c/ν Spectre du Rayonnement électromagnétique Rayonnement thermique : 0. et ~00 μm Exemples de causes d émission : Ondes radio : circulation périodique d électrons dans des fils (antennes) à ν < 0 Hz Rayons X : bombardement de la matière par des électrons Rayonnement thermique : conversion d énergie interne (chaleur) Chapitre I Les échanges d énergie par rayonnement 04

105 Introduction Le Rayonnement : Ondes et Corpuscules Notion d angle solide Une surface émet un rayonnement thermique dans une gamme de longueurs d onde,, avec une intensité variable selon la longueur d onde rayonnement On parle de répartition spectrale (μm) Le rayonnement émis par une surface est également directionnel θ Surface plane (ou à courbure faible) émission hémisphérique Surface sphérique (ou de petites dimensions) émission sphérique Pour quantifier le transfert de chaleur par rayonnement, il faut donc tenir compte des effets spectraux et directionnels Chapitre I Les échanges d énergie par rayonnement 05

106 Introduction Le Rayonnement : Ondes et Corpuscules Notion d angle solide Angle solide : généralisation à 3D de la notion d angle plan Il caractérise l ensemble des directions issues d un point et contenues dans une portion d espace r S (sphérique) α l α l r ou r Cercle d α dl r S r Ω Sphère ds r Ω ou d Ω S est la surface découpée sur une sphère de rayon r par l angle solide Ω ayant son sommet au centre de la sphère radians (rad) stéradians (sr) Si on considère tout l espace : S 4πr Ω 4π Si on considère le demi-espace (hémisphère) : S πr Ω π Chapitre I Les échanges d énergie par rayonnement 06

107 Introduction Le Rayonnement : Ondes et Corpuscules Notion d angle solide Angle solide élémentaire (cas ou la surface est orienté dans la direction de l angle du vue) r ds (sphérique) O dω O dω ds ds dω ds r ds r Pour une surface non perpendiculaire à l angle de vue : O dω r θ ds cosθ (projection de ds) ds (surface «vraie» ) θ ds.cos θ n ds On ne voit pas la surface vraie ds, mais sa projection ds cosθ d Ω ds r cos θ Chapitre I Les échanges d énergie par rayonnement 07

108 CHAPIRE II L émission 08

109 Introduction Émission monochromatique Émission totale Récapitulatif Objet émetteur L émission ne dépend que de l émetteur! Importance de : la surface émettrice (nature, aspect, température) la direction d émission (en général, les directions ne sont pas toutes t équivalentes) le volume d espace où le rayonnement est émis la longueur d onde Difficulté d étudier le phénomène! On distingue : l émission totale (analyse globale) l émission monochromatique (analyse plus fine) Chapitre II L émission 09

110 Introduction Émission monochromatique Émission totale Récapitulatif - Relation de départ Puissance émise par un élément de surface ds, dans l angle solide dω, dans la direction Ox et pour une longueur d onde et donnée par la relation de Bouguer x Relation de Bouguer 3 d Φ d Φ d L x ds cos θ dω, d dω θ W m sr W/μm ouw/m μm ou m W/(m.sr.μm) ou W/(m 3.sr) ds L,x : Luminance monochromatique directionnelle Chapitre II L émission 0

111 Introduction Émission monochromatique Émission totale Récapitulatif - en intégrant sur toutes les longueurs d onde : Puissance émise par un élément de surface ds, dans l angle solide dω et dans la direction Ox est obtenue en intégrant la relation de Bouguer sur toutes les longueurs d onde onde. d Φ 0 L, x d Φ 0 d 3 Φ 0 ds cos θ dω d d Φ d ds cos θ dω 0 L x : Luminance directionnelle W/(m.sr) L, x L x d Et ainsi : d Φ Lx ds cos θ dω En général : L x est fonction de la nature (aspect) de l émetteur émetteur, de sa température et de la direction Cas particuliers : si L x est indépendant du point choisi, on dit que le rayonnement est homogène si L x est indépendant de la direction Ox, on dit que le rayonnement est isotrope ou diffus ou encore lambertien (la source obéit à la loi de Lambert) Chapitre II L émission

112 Introduction Émission monochromatique Émission totale Récapitulatif Intensité énergétique élémentaire C est le flux par unité d angle solide dω, émis par un élément de surface ds dans la direction Ox. di d Φ dωω W sr - Soit encore : di L x ds cos θ Remarque : dans la direction normale à la surface, θ 0, di 0 L x ds L 0.dS di L L x 0 di 0 cos θ Cas particulier : dans le cas d un rayonnement isotrope, L x L 0 cte di di 0 cos θ Chapitre II L émission

113 Introduction Émission monochromatique Émission totale Récapitulatif Indicatrice de l intensité On porte, sur chaque direction Ox issue de la surface, une longueur proportionnelle à l intensité dans cette direction. n n di 0 x Chapitre II L émission di θ O ds Émission non diffuse di 0 di θ O ds Émission diffuse (ou isotrope ou lambertienne) 3

114 Introduction Émission monochromatique Émission totale Récapitulatif 3 - en intégrant sur tout l espace d émission : Puissance émise par une surface ds dans toutes les directions tout l hémisphère au-dessus de ds d d Φ ds L cos θ d Ω dφ d Φ Lx ds cos θ d Ω Ω π Ω π M : Emittance énergétique (totale) (W/m ) Ω π x M M dφ ds Remarque : à partir de dφ, on peut également définir l émittance monochromatique M d Φ 3 d Φ Ω d ds Lx, cos (θ) dω Ω MM M d Φ d ds dφ ds M.d est la puissance émise par unité de surface (ou densité de flux émise), dans toutes les directions et dans la bande de longueur d onde [, +d] W/m 3 ou W/(m μm) On peut également remarquer que : M M d En effet, dφ M ds d Φ ds M Chapitre II L émission 0 d 4

115 Introduction Émission monochromatique Émission totale Récapitulatif Le calcul de M est en général compliqué! Cas particulier : Émission lambertienne (L x L 0 cte) M L 0 cos θ dω Ω π ( Intégration sur un demi-espace ) M L cos θ sin θ dθ dφ L0 dφ cos θ sin θ dθ 443 Ω π 0 0 d [ cos θ ] [ cos ( π / ) cos (0 ] π π / 0 L0 ) π M π L 0 φ θ [ 0,π ] [ 0, π / ] Emission lambertienne Chapitre II L émission 5

116 Introduction Émission monochromatique Émission totale Récapitulatif 4 - en intégrant sur toute la surface d émission : Puissance émise par la surface S, ou flux énergétique total de la source S Φ dφ S S M ds Watts, W L émission i totale, t c est l émission i qui se produit pour toutest les longueurs d onded dans toutes les directions possibles, par une surface S donnée. Chapitre II L émission 6

117 Introduction Émission monochromatique Émission totale Récapitulatif Emission par toute la surface dans tout l espace lespace S Φ Φ Emission par une surface élémentaire dans tout dφ l espace M dφ ds ds W/m dφ M dφ ds W/(m.μm) ou W/(m 3 ) Emission par une surface élémentaire dans une portion d espace d Φ L x d Φ ds cosθ d Ω d Φ L d x, ds cos θ dω Φ ds dω W/(m.sr) W/(m.μm.sr) ou W/(m 3.sr) Puissance totale Grandeurs dérivées (W) Pour toutes les longueurs d onde Puissance monochromatique Grandeurs dérivées (W/μm) Pour une longueur d onde Chapitre II L émission 7

118 CHAPIRE III L émission du corps noir 8

119 Définition Émission totale Émission spectrale L étude du rayonnement d une surface est complexe car elle fait intervenir différents paramètres dépendants les uns des autres On définit donc une surface idéale (de référence). Le rayonnement des autres surfaces sera comparé au rayonnement de cette surface idéale, appelée corps noir Remarque : cf. hermodynamique avec le gaz parfait et les gaz réels Surface idéale, ayant les propriétés suivantes : Absorbe tout rayonnement incident, sa longueur d onde et son orientation Aucune surface n émet plus d énergie, à et données Son rayonnement est indépendant de la direction d émission (émetteur diffus suit la loi de Lambert) Chapitre III L émission du corps noir 9

120 Définition Émission totale Émission spectrale Représentation du corps noir Cavité à température de surface interne uniforme, possédant un petit orifice petit orifice isotherme Rem : le concept de corps noir est fondamental, car on peut évaluer théoriquement ses propriétés radiatives à partir de la thermodynamique statistique ti ti Chapitre III L émission du corps noir 0

121 Définition Émission totale Émission spectrale Émission dans une direction Le corps noir satisfait à la loi de LAMBER : la luminance est indépendante de la direction d émission. Elle est notée L 0 Loi de Stefan-Boltzmann L émittance totale, notée M 0, est proportionnelle à la quatrième puissance de sa température absolue M σ 5,67x0 Wm 4 σ -8 W.m -.K -4 W/m Constante de Stefan-Boltzmann 0 De plus, la luminance totale s écrit : Rem : dans les pays anglo-saxons (et donc dans certains livres), on trouve : l indice b (black body) à la place de l indice 0 la lettre E à la place de la lettre M la lettre I à la place de la lettre L L 0 M π 0 Chapitre III L émission du corps noir

122 Définition Émission totale Émission spectrale Loi de Planck proposée par Planck vers 900, à partir de sa théorie des quanta C C exp 5 Emittance monochromatique du corps noir M W.m -.μmμ - 0 avec C π h C h c k c et h c k 6,655, m s J s 3, J K C 3, W.m ou 3, W.μm 4.m - C 0,04388 m.k ou 4388 μm.k Chapitre III L émission du corps noir

123 Définition Émission totale Émission spectrale Courbe M 0 f() Chaque courbe passe par un maximum (et un seul) La position du maximum dépend de Dissymétrie prononcée des courbes La courbe pour > se situe au-dessus de celle pour Relation entre émittance monochromatique et luminance monochromatique : M π L 0 0 M 0 0 M 0 d σ π k 8 4 5,67 0 J m K 3 σ K 5 c h Chapitre III L émission du corps noir 3

124 Définition Émission totale Émission spectrale Lois de Wien Elles donnent l abscisse et l ordonnée du maximum de M m μm K M m 0 B 5 B, W.m -.μm -.K -5 Rq : B peut être aisément obtenu à partir de la loi de Planck approximée (DL à l ordre ) Remarques : déplacement de m vers les courtes quand augmente chauffé au rouge chauffé à blanc pratiquement pas de recouvrement entre le spectre solaire et celui de la erre (9 K) applications serres, vérandas, et capteurs solaire Chapitre III L émission du corps noir 4

125 Définition Émission totale Émission spectrale Fraction de l émittance totale contenue dans un intervalle spectral donné On a parfois besoin d évaluer dévaluer, à une donnée, la quantité : F 0 M M 0 d 0 d F M 0 σ d 4 Chapitre III L émission du corps noir 5

126 Définition Émission totale Émission spectrale On peut écrire : σ F F d M d M F ( ) d M F 0 0 σ C σ ) d ( M F σ d e C F C L intégrale ne dépend que de. On multiplie haut et bas par, et en remarquant que d d() C ( ) ( ) d e C F C σ On passe ainsi de variables ( et ) à une seule () et : F F F Chapitre III L émission du corps noir F F F 0 0 6

127 Définition Émission totale Émission spectrale F 0- est donné par une courbe ou par un tableau de valeurs F0 0,48 Exemple : 000K μm 4 μm 000 μm.k 4000 μm.k F 0 0,07 F Chapitre III L émission du corps noir F0 F 0,48 0,07 0 0,4 7

128 8

129 CHAPIRE IV L émission des corps réels 9

130 Définitions Les diélectriques Les matériaux conducteurs En pratique Les lois physiques vues au chapitre précédent donnent M 0 et M 0 du corps noir. Ce sont des grandeurs hémisphériques car le corps noir émet un rayonnement diffus L évaluation des propriétés p émissives des substances réelles se fait par rapport à celles du corps noir (dans les mêmes conditions de et de ), à l aide de coefficients appelés émissivités, totales ou monochromatiques, hémisphériques ou directionnelles. Les valeurs de ces coefficients varient donc entre 0 et M ε ε émissivité totale hémisphérique M 0 M M ε 0 ε émissivité monochromatique hémisphérique M 0 M d ε M 0 d M 0 ε 4 M 0 σ Chapitre IV L émission des corps réels 30