Variables Aléatoires Continues

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1 Novembre 2010

2 Plan du Chapitre 1. Généralités 2. Variables Continues Usuelles 3. Espérance et Variance 4. Couple de Variables Aléatoires 5. Covariance et Corrélation 6. Autres Variables Continues Usuelles

3 1. Variable aléatoire continue On considère une expérience aléatoire d univers Ω et mesure de probabilité P. Définition 1: Une variable aléatoire X : Ω S R n est dite continue si x S, P(X = x) = 0. Exemple: (La pièce de monnaie de Buffon) L expérience consiste à jeter une pièce de monnaie de rayon r < 1/2 sur un carré de centre l origine O et de côté 1 (cm) et enregistrer les coordonnées (X, Y ) du centre de la place du pièce. (X, Y ) est une variable aléatoire continue car (a, b) [ 1/2, 1/2] 2, P((X, Y ) = (a, b)) = 0.

4 Définition 2. Soit X : Ω R n une v.a. continue. Une fonction f : R n R est dite densité de probabilité de X si A R n,: P(X A) = f (x)dx. A Ainsi, on a x R n, f (x) 0, et R n f (x)dx = 1.

5 Définition 3. Soit X : Ω R une v.a. continue de densité de probabilité f (.). On appelle fonction de repartition de X la fonction définie par : x R, F (x) = P(X x) = x f (t)dt. Propriétés. Si F (.) une fonction de répartition d une v.a. continue X : Ω R de densité de probabilité f (.), alors : (P1) F (.) est derivable sur R et x R, F (x) = f (x). (P2) F est croissante: si x y, alors F (x) F (y). (P3) Pour tout a < b on a : (P4) P(a < X < b) = F (b) F (a) = lim F (x) = 1 et lim F (x) = 0. x + x b a f (x)dx.

6 Exercice 1. Soit λ > 0 et f (.) la fonction définie par f (t) = { λe λt si t 0 0 si t < 0 1 Montrer que f (.) est une densité de probabilité d une v.a. X. 2 Représenter la courbe de f (.) et donner le mode de la distribution X. On dit que X est une variable aléatoire exponentielle de paramètre λ > 0. 3 Montrer que la fonction de répartition de X est donnée par F (x) = { 0 si x 0 1 e λx si x 0 Exercice 2. La vie T d un certain dispositif (l unité est 1000 heures) suit la loi exponentielle de paramètre λ = 12. Quelle est la probabilité pour que la vie du dispositif soit 2000 heures?

7 2. Variable Aléatoire Usuelles 2.1 Variable uniforme : Soit a < b deux réels. On dit qu une v.a. X : Ω R suit la loi uniforme U([a, b]) si sa densité est donnée par: { 1 f (x) = b a si x [a, b] 0 sinon La fonction de répartition de X est donnée par 0 si x a x a F (x) = b a si x [a, b] 1 si x b Exercice 3. Soit X une v.a. uniforme sur [a, b]. 1 Représenter les courbes de la densité f (.) et de la fonction de répartition F (.) de X. 2 Déterminer le troisième quartile Q (c est à dire F (Q 0.75 ) = 0.75).

8 2.2 La Variable Normale : C est une distribution très importante en Probabilités et Statistique. On dit que X : Ω R est une v.a. normale centrée reduite si sa densité est: f (x) = 1 2π e x2 2, x R. Sa fonction de répartition est définie par : φ(x) = 1 2π x e t2 2 dt, x R. Propriétés : La fonction de répartition de la loi normale centrée réduite vérifie: φ( x) = 1 φ(x), x R. φ 1 (q) = φ 1 (1 q), q ]0, 1[. Q q = φ 1 (q) est la quantille d ordre q de la loi normale centrée réduite.

9 Définition 5: On dit qu une v.a. X : Ω R suit la loi normale N (µ, σ) où µ R et σ R + si sa densité est: f (x) = 1 σ (x µ) 2 2π e 2σ 2, x R. Théorème 1: Si la v.a. X suit la loi normale N (µ, σ), alors la v.a. Z = X µ σ suit la loi normale centrée réduite N (0, 1). Exercice 4: Considérons une v.a. X distribuée selon la loi normale centrée réduite. Déterminer les quantilles Q 0.99, Q 0.01, Q 0.95 et Q Exercice 5: Supposons que X est une v.a. suit la loi normale N (10, 3). Déterminer P(4 < X < 16) et P( X 4 12). Exercice 6: Considérons une v.a. X distribuée selon la loi N (µ, σ). Si on sait que P(X 30) = et P(X 15) = , déterminer les valeurs de µ et σ.

10 3. Espérance et Variance Un des concepts les plus importants dans la théorie de probabilité est l espérance d une variable aléatoire. Définition 6: L espérance d une v.a. continue X de densité f (.) est le réel (s il existe) E(X ) = + xf (x)dx. L espérance est appelé valeur moyenne (ou valeur prévue) de X.

11 Espérance des loi usuelles : 1 Si X suit la loi normale N (µ, σ), alors E(X ) = µ. 2 Si X suit la loi uniforme U[a, b], alors E(X ) = a+b 2. 3 Si X suit la loi exponentielle E(λ), alors E(X ) = 1 λ. Exercice 7: Soit X une v.a. continue de densité { 6x(1 x) si 0 x 1 f (x) = 0 sinon Déterminer l espérance de X. Définition 7: La variance d une v.a. continue de densité f (.) est le réel positif (s il existe) V(X ) = E ( [X E(X )] 2) = L écart-type de X est défini par + σ(x ) = V(X ). (x E(X )) 2 f (x)dx.

12 Proposition : On a V(X ) = E(X 2 ) (E(X )) 2. Exercice 8: (suite) Calculer la variance de X. Variance des loi usuelles : 1 Si X suit la loi normale N (µ, σ), alors V(X ) = σ 2. 2 Si X suit la loi uniforme U[a, b], alors E(X ) = (b a) Si X suit la loi exponentielle E(λ), alors E(X ) = 1 λ 2. Exercice 9: Une machine produit des pièces dont le diamètre X (en cm) est une variable aléatoire normale d espérance µ et d écart-type σ = Quelle devrait être la valeur de µ de sorte que pas plus de 1% des pièces aient un diamètre supérieur à 3 cm? Définition 8: On appelle moment centré d ordre n N d une v.a. continue X : Ω R de densité f (.) le réel (s il existe) µ n (X ) = E ([X E(X )] n ) = + (x E(X )) n f (x)dx.

13 Propriétés : Soit (a, b) R 2 et X, Y deux v.a. On a : 1 E(aX + by ) = ae(x ) + be(y ). 2 V(aX + b) = a 2 V(X ). 3 Soit la variable aléatoire Z = X E(X ) σ(x ) On a E(Z) = 0 et V(Z) = 1. Z est appelée la variable centrée réduite de X. Exercice 10: Soit (X 1, X 2..., X n ) une suite des v.a. continues de même densité f (.) et d espérance µ. On définie la v.a. M = 1 n n X i. i=1 Montrer que E(M) = µ.

14 4. Couple de Variables Aléatoires Soit (X, Y ) : Ω R 2 une variable aléatoire de densité f (x, y). On appelle densité marginale de X la fonction x R, f X (x) = + f (x, y)dy. On appelle densité marginale de Y la fonction y R, f Y (y) = + On dit que X et Y sont indépendantes si f (x, y)dx. (x, y) R 2, f (x, y) = f X (x)f Y (y). Définition. Soit X : Ω R et Y : Ω R deux variables aléatoires continues. La fonction de repartition de (X, Y ) est définie par : (x, y) R 2, F (x, y) = P(X x, Y y).

15 Exercice 11: Soit (X, Y ) un couple de variables de densité conjointe la fonction f définie par { 6x f (x, y) = 2 y si 0 x 1 et 0 y 1 0 sinon 1 Déterminer les densités marginales f X (.) et f Y (.). 2 X et Y sont-elles indépendantes?. Exercice 12: Soit (X, Y ) un couple de variables de densité conjointe la fonction f définie par { 15x f (x, y) = 2 y si 0 x y 1 0 sinon 1 Déterminer les densités marginales f X (.) et f Y (.). 2 X et Y sont-elles indépendantes?.

16 Généralisation : Soit (X 1,..., X n ) une variable aléatoire de densité une fonction f : R n R. On dit que X 1,..., X n sont indépendantes si (x 1,..., x n ) R n, f (x 1,..., x n ) = où f Xk (x k ) est la densité marginale de X k. n f Xk (x k ) k=1 La somme de deux variables normales indépendante est une variable normale. Théorème 2: Si X 1 et X 2 sont deux v.a. indépendantes qui suivent respectivement les lois normales N (µ 1, σ 1 ) et N (µ 2, σ 2 ), alors la v.a. Z = X 1 + X 2 suit la loi normale N (µ 1 + µ 2, σ1 2 + σ2 2 ).

17 Définition 9: La covariance d un couple (X, Y ) est le réel définie par Cov(X, Y ) = E ((X E(X ))(Y E(Y ))). Le coefficient de corrélation du couple (X, Y ) est défini par r(x, Y ) = Cov(X, Y ) σ(x )σ(y ). La covariance du couple (X, Y ) est encore donnée par Cov(X, Y ) = E(XY ) E(X )E(Y ).

18 Propriétés de Covariance : (P1) Cov(X, Y ) = Cov(Y, X ) et Cov(X, X ) = V(X ). (P2) Cov(aX + bz, Y ) = a Cov(X, Y ) + b Cov(Z, Y ). (P3) V(X + Y ) = V(X ) + V(Y ) + 2 Cov(X, Y ). (P4) V(X + Y ) + V(X Y ) = 2V(X ) + 2V(Y ). (P5) Si X et Y sont indépendantes alors Cov(X, Y ) = 0. (P6) Le coefficient de corrélation r(x, Y ) [ 1, 1]. (P7) Si Y = ax + b alors r(x, Y ) = { 1 si a > 0 1 si a < 0

19 Exercice 13: Soit X une v.a. continue dont la densité est { ax si 0 x 2 f (x) = 0 sinon 1 Déterminer le réel a. 2 Calculer l espérance E(X ) et la variance V(X ). 3 On considère la v.a. Y = X 2. Déterminer la fonction de répartition et puis la densité de Y. 4 Calculer l espérance E(Y ) et la variance V(Y ). Exercice 14: N (8.5, 4). Lors d un examen, la note X a suivi une loi normale 1 Quelle est la proportion d étudiants ayant la moyenne? 2 On veut améliorer les notes à l aide d une transformation affine Y = ax + b (la variable Y désignant la nouvelle note). Déterminer a et b pour que 50% des étudiants aient la moyenne et que 75% des étudiants aient une note supérieure où égale à 8.

20 6. Autres Variables Aléatoires Usuelles 6.1. La Distribution Khi2 : C est une distribution très importante en Statistique. Si X 1, X 2,..., X n sont des variables aléatoires. indépendantes de même loi normale centrée réduite, alors on dit que la variable K = X X X 2 n suit la loi Khi2 de degré de liberté n. La variable Khi2 est additive: si K 1 et K 2 sont indépendants de lois Khi2 de degrés respectifs n 1 et n 2, alors K 1 + K 2 suit la loi Khi2 de degré n 1 + n 2. L espérance et la variance de K sont données par E(K) = n, V(K) = 2n

21 Exercice 15: Supposons qu un missile est lancé par un avion vers une cible supposée à l origine d une repère (oxy)(l unité est le mètre). Le missile atteint un point de coordonnées (X, Y ) où X et Y sont deux variables indépendants de même loi normale N (0, 100). Si le missile atteindra un point qui n est pas loin du cible de 20 mètres, alors il le détruira. Déterminer la probabilité pour que le missile détruira la cible.

22 6.2. Distribution de Student : Soit Z une v.a. de loi normale centrée réduite et V de loi Khi2 de degré de liberté n. Si Z et V sont indépendants, alors la v.a. T = Z V /n suit la de Student de degré de liberté n. Pour n > 2, on a E(T ) = 0, V(X ) = n n Distribution de Fisher : Soit U et V deux v.a. de loi Khi2 de degrés de liberté respectifs m et n. Si U et V sont indépendants, alors la v.a. F = U/m V /n suit la de Fisher de degré de liberté (m, n). Pour n > 4, on a E(F ) = n ( ) ( ) n m + n 2 n 2, V(F ) = 2. n 2 m(n 4)

23 Soit T n une variable aléatoire de Student de degré n. Pour α, 0 < α < 1, soit t α,n le réel vérifiant Par symétrie, on a P(T t α,n ) = α. t α,n = t 1 α,n. Soit K n une variable aléatoire de loi Khi2 de degré n. Pour α, 0 < α < 1, soit P(K χ 2 α,n) = α. Exercice 16. Déterminer χ ,15.