CHAPITRE 1 Calcul algébrique

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1 CHAPITRE 1 Calcul algébrique 1.1 Développement et factorisation Les notions suivantes, à savoir : monômes, polynômes, addition et multiplication de monômes, de polynômes, identités remarquables, factorisation, ont déjà été vues lʼannée précédente au Cycle dʼorientation. Nous nous contenterons donc de brefs rappels théoriques Monômes et polynômes Un monôme est une expression composée soit dʼun nombre, soit dʼune variable, soit du produit dʼun nombre avec certaines variables. Exemples de monômes : 2003 x xy x 2 3 x 2 y Dans un monôme, le nombre sʼappelle le coefficient et le produit des variables sʼappelle la partie littérale. Deux monômes sont dits semblables, lorsquʼîls ont la même partie littérale. a 2 bc et 3a 2 bc sont semblables. Il est possible dʼadditionner ou soustraire uniquement des monômes semblables. 5y 2 z + 3y 2 z = 8y 2 z 5a 2 bd 2-12a 2 bd 2 = -7a 2 bd 2 Pour obtenir le produit de deux monômes, on multiplie leurs coefficients ainsi que leurs parties littérales. 5y 2 z. 3y 2 z = 15y 4 z 2 (-5a 2 b).(-12abd 2 ) = 60a 3 b 2 d 2 La puissance dʼun monôme sʼobtient en le multipliant plusieurs fois par lui-même. (-5a 2 b) 3 = (-5a 2 b). (-5a 2 b). (-5a 2 b) = -125 a 6 b 3 Il est possible de faire le quotient dʼun monôme par un autre monôme.dans ce cas, on sʼefforcera dʼécrire le résultat sous la forme la plus simple possible. Cependant, il faut noter que le quotient de monômes ne donne pas forcément comme résultat un monôme. 4x 4 2x 2 = 2x2 Le résultat est un monôme. 4x 4 2x 5 = 2 x Le résultat nʼest pas un monôme Collège Sismondi (S.Z.) ch. 1, p.1

2 Un polynôme est une somme de monômes. Ces monômes sʼappellent termes du polynôme. 5t 2 + 3t a 2 b - 12a 2 b 2 est un polynôme composé de 3 termes est un polynôme composé de 2 termes. On sʼefforcera dʼécrire un polynôme sous forme réduite, à savoir sans termes semblables. 5y 2 + 3y y 2-7y sʼécrira plus volontiers sous forme réduite : 14y 2-4y Distributivité et mise en évidence En faisant a.(b + c) = ab + ac, cʼest-à-dire en passant de a.(b + c) à ab + ac, on distribue ou on applique la règle de la distributivité. Par contre, en faisant ab + ac = a.(b + c), cʼest-à-dire en passant de ab + ac à a.(b + c), on met en évidence ou on procède à une mise en évidence. Mise en évidence et distributivité sont des actions contraires. Ainsi, pour vérifier quʼune mise en évidence est correcte, il suffit dʼappliquer la règle de la distributivité et de comparer le résultat obtenu avec lʼexpression de départ Opérations avec les polynômes. Développement et factorisation Il est possible dʼadditionner deux polynômes, soustraire lʼun de lʼautre ou multiplier lʼun par lʼautre. Le résultat est toujours un polynôme. Pour additionner deux polynômes, il est nécessaire dʼabord de simplifier lʼécriture en supprimant les parenthèses, puis de réduire lʼexpression ainsi obtenue. (5t 2-3t + 25) + (4t t - 25) = 5t 2-3t t t - 25 = 9t 2 + 8t Pour soustraire deux polynômes, il est nécessaire dʼabord de simplifier lʼécriture en supprimant les parenthèses tout en changeant les signes dans la parenthèse précédée du signe -, puis de réduire lʼexpression ainsi obtenue. (5t 2-3t + 25) - (4t t - 25) = 5t 2-3t t 2-11t + 25 = t 2-14t + 50 Pour multiplier deux polynômes entre eux, on utilise essentiellement la règle de la distributivité. Si lʼon multiplie un polynôme par un monôme, on appliquera la règle de la distributivité en multipliant chaque terme du polynôme par le monôme. Si lʼon multiplie un polynôme par un polynôme, on appliquera la règle de la distributivité comme ci-dessus, mais autant de fois que le premier polynôme a de termes. Collège Sismondi (S.Z.) ch. 1, p.2

3 2xyz.(5yz 2-3yz+ 25) = 10xy 2 z 3-6xy 2 z xyz (2xy + 3z). (5yz 2-3yz+ 25) = 2xy. (5yz 2-3yz+ 25) + 3z.(5yz 2-3yz+ 25) = 10xy 2 z 2-6xy 2 z + 50xy + 15yz 3-9yz z (5t 2-3t + 10). (2t 2-3t -5) = 5t 2. (2t 2-3t -5) - 3t. (2t 2-3t -5) (2t 2-3t -5) =... Lorsqu'on écrit (x + 2).(x - 2) = x 2-4, on calcule ou on développe l'expression (x + 2).(x - 2) en une somme de termes. Développer, cʼest donc transformer lʼexpression en calculant les produits de polynômes en une somme de termes simples (monômes) Lorsqu'on écrit x 2-4 = (x + 2).(x - 2), on décompose x 2-4 en un produit de facteurs, on dit également que l'on factorise. Factoriser, c'est donc transformer une somme en un produit. Cette transformation est importante, car elle est utilisée très souvent dans la résolution d'équations, dans le calcul de fractions rationnelles, dans l'étude du signe d'une fonction, etc. dans le but de simplifier les expressions polynômiales. Factorisation et développement sont des actions contraires. Ainsi, pour vérifier quʼune factorisation est correcte, il suffit de développer lʼexpression obtenue et de comparer le résultat avec lʼexpression de départ Identités remarquables Les identités remarquables sont des formules que lʼon peut démontrer facilement à lʼaide des propriétés des nombres réels. Ces égalités vont notamment nous permettre de gagner du temps dans le calcul algébrique, tant pour le développement que pour la factorisation. (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2 (x - y) 2 = x 2 2-2xy + y (x + y) (x - y) = x 2 - y 2 (x + a) (x + b) = x 2 + (a + b)x + ab (*) Il peut être utile de connaître les identités suivantes : (x + y)(x 2 - xy + y 2 ) = x 3 + y 3 (x - y)(x 2 + xy + y 2 ) = x 3 - y 3 (**) Remarque : Dans les deux premières égalités, le terme 2xy sʼappelle le double produit et se lit «2xy» Démonstration de la première identité en justifiant toutes les étapes (x + y) 2 = (x + y)(x + y) définition du carré = x 2 + xy + yx + y 2 distributivité = x 2 + xy + xy + y 2 commutativité = x 2 + 2xy + y 2 réduction du polynôme (addition des termes semblables) Collège Sismondi (S.Z.) ch. 1, p.3

4 1.1.5 "Marche à suivre" pour la factorisation Pour réussir une décomposition en facteurs (factorisation), il faut : a) Mettre en évidence (autant que possible) b) Utiliser les identités remarquables c) Eventuellement, grouper des termes afin de mettre en évidence d) Si nécessaire, mettre à nouveau en évidence, afin d'avoir une expression complètement factorisée. x 5 y - xy x - y = xy(x 4 - y 4 ) + x 4 - y = ( x - y )(xy + 1) = ( x + y )(x + y) (x - y) (xy + 1) e) Plus tard, nous verrons d'autres moyens nous permettant de factoriser certains types de polynômes. Remarque : -(x - y) = -x + y = y - x Il est bien sûr nécessaire de pratiquer la factorisation pour avoir une certaine aisance de calcul et «être capable de lire» les identités un peu complexes. 1. Factoriser lʼexpression suivante : ax 2 " ay 4 " bx 2 + by 4 ax 2 " ay 4 " bx 2 + by 4 = ( ax 2 " ay 4 ) " bx 2 " by 4 ( ) = Formation de deux groupes a( x 2 " y 4 ) " b( x 2 " y 4 ) = Double mise en évidence du facteur a et du facteur b ( x 2 " y 4 )( a " b) Mise en évidence de ( x 2 " y 4 ) ( x " y 2 )( x + y 2 )( a " b) Factorisation finale 2. Factoriser lʼexpression suivante : 5ax 2 " 20a + 20b " 5bx 2 5ax 2 " 20a + 20b " 5bx 2 = 5ax 2 " 5bx 2 " 20a + 20b ( 5ax 2 " 5bx 2 ) " 20a " 20b Modification de lʼordre des monômes ( ) = Formation de deux groupes 5x 2 ( a " b) " 20( a " b) = Double mise en évidence du facteur 5x 2 et du facteur ( ) Mise en évidence de (a b) ( ) Mise en évidence du facteur 5 ( a " b) 5x 2 " 20 ( a " b) #5 # x 2 " 4 5 "( a # b)(x + 2)(x # 2) Factorisation finale 20 Collège Sismondi (S.Z.) ch. 1, p.4

5 3. Factoriser lʼexpression suivante : ( 3x " 2) 2 " ( 2x " 3) 2 Il suffit de voir lʼexpression ci-dessus comme la différence de deux carrés : a 2 b 2. ( 3x " 2) 2 " ( 2x " 3) 2 = (3x 2 + 2x 3)(3x 2 2x + 3) = Différence de deux carrés (5x 5)(x + 1) = Réduction 5(x 1)(x + 1) Mise en évidence du facteur 5 4. Factoriser lʼexpression suivante : ( x 2 " 6) 2 " 8( x 2 " 6) " 20 En voyant lʼexpression ci-dessus comme celle de a 2 8a 20, la factorisation se fera aisément ( x 2 " 6) 2 " 8( x 2 " 6) " 20 = (( x 2 " 6) "10)(( x 2 " 6) + 2) = Factorisation de lʼexpression du type : ( x 2 "16)( x 2 " 4)= Réduction a 2 8a 20 = (a 10)(a + 2) (x 4)(x + 4) (x 2) (x + 2) Double factorisation en utilisant la différence de deux carrés 5. Factoriser lʼexpression suivante : ( 3x " 2) 2 + 3x "14 A priori, sans réduire et utiliser des outils que nous verrons plus tard, cette expression semble difficilement factorisable. Toutefois, en réécrivant un peu différemment lʼexpression, la factorisation devient possible. ( 3x! 2) 2 + 3x!14 = ( 3x! 2) 2 + ( 3x! 2)!12 Réécriture de lʼexpression ((3x 2) + 4)((3x 2) 3) = (3x + 2)(3x 5)= Réduction Factorisation de lʼexpression du type a 2 + a 12 = (a + 4)(a 3) 6. Soit lʼexpression 8x + (2x + 3y)(x - 2y) - 6x y - 9xy + (2x + 3y) 2 à factoriser. En regroupant différemment les termes, il est possible de faire apparaître à chaque fois le facteur 2x + y. En effet, en réécrivant lʼexpression de la manière suivante : 8x + 12y + (2x + 3y)(x - 2y) - 6x 2-9xy + (2x + 3y) 2 = 4(2x + 3y) + (2x + 3y)(x - 2y) 3x(2x + 3y) + (2x + 3y) 2 = Mise en évidence de 4 et de -3x (2x + 3y)(4 + x 2y 3x + 2x + 3y) Mise en évidence de 2x + 3y (2x + 3y)(4 + y)= Réduction 7. Pour factoriser lʼexpression P(x) = (x + 1).(x - 2) 2 - (3x + 3).(4 x 2 ) + (7x + 7).(x + 5).(x - 2), on procédera ainsi : P(x) = (x + 1).(x - 2) 2-3(x + 1).(2 - x)(2 + x) + (7x + 7).(x + 5).(x - 2), ce qui nous permettra de mettre en évidence (x + 1)(x 2) et de trouver finalement P(x) = (x + 1).(x - 2).(11x + 39) Collège Sismondi (S.Z.) ch. 1, p.5

6 Triangle de Pascal (*) Il est possible de calculer les expressions du type (x + y) n où n est un nombre naturel, en utilisant le triangle de Pascal ( ). Le triangle de Pascal peut être représenté comme ci-dessous : Il est construit de la manière suivante : les deux côtés du triangle, autre que la base, ne contiennent que des 1. Ensuite, dès la 3 e ligne, les autres nombres sont obtenus par la somme des deux éléments adjacents supérieurs. Application aux expressions du type (x + y) n En développant complètement une expression de ce type, on remarque que les coefficients sont ceux correspondants à la ligne ad hoc du triangle de Pascal. (x + y) 3 = (x + y) 2 (x + y) = (x2 + 2xy + y2)(x + y) = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 = 1x3 + 3x2y + 3xy2 + 1y3 (a - b) 5 = a 5 + 5a 4 (-b) + 10a 3 (-b) a 2 (-b) 3 + 5a(-b) 4 + (-b) 5 = a 5-5a 4 b + 10a 3 b 2-10a 2 b 3 + 5ab 4 - b 5 (x - 2y) 5 = x 5 + 5x 4 (-2y) + 10x 3 (-2y) x 2 (-2y) 3 + 5x (-2y) 4 + (-2y) 5 = x 5-10x 4 y + 40x 3 y 2-80x 2 y xy 4-32y 5 (2a - 3b) 6 = (2a) 6 + 6(2a) 5 (-3b) + 15(2a) 4 (-3b) (2a) 3 (-3b) (2a) 2 (-3b) 4 + 6(2a)(-3b) 5 + (-3b) 6 =... (**) Remarque : Pour la petite histoire, il semblerait quʼun ouvrage chinois datant de 1303 contenait déjà un tel triangle. Collège Sismondi (S.Z.) ch. 1, p.6