1 ère S Exercices sur les angles orientés

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1 1 ère S Exercices sur les angles orientés 1 Sur un cercle de centre O et de rayon 10 cm, un arc a pour longueur cm éterminer la mesure en degrés de l angle géométrique O Soit un cercle de centre O et de rayon cm Soit et deux points de tels que O alculer la longueur du grand arc ans tous les exercices à partir du, le plan P est orienté 1 ) Les nombres 17 7 et sont-ils des mesures en radians d un même angle orienté? 1 ) Les nombres et sont-ils des mesures en radians d un même angle orienté? ans tous les exercices suivants, le plan est orienté Soit un carré direct de centre dans le plan éterminer une mesure en radians de chacun des angles orientés ;, ;, ;, ;, ; Remarque : ans un angle orienté, on peut remplacer un vecteur par un vecteur égal de manière à se ramener à deux vecteurs qui ont la même origine Ne pas créer de nouveau point Soit un triangle équilatéral direct 1 ) Faire une figure en prenant () «horizontale», au-dessus de (), à gauche de ) éterminer une mesure en radians de chacun des angles orientés : ;, ;, ;, ; On pourra introduire des points Pour cela, on définira clairement chaque point introduit par une égalité vectorielle puis on le placera sur la figure Soit u et v deux vecteurs non nuls tels que u ; v 1 ) Recopier et compléter la phrase : «Les mesures en radians de l angle orienté u ; v sont tous les nombres de la forme» llustrer ces mesures sur la droite réelle en indiquant les multiples entiers de ; 0 Laquelle? ) Parmi toutes ces mesures, une seule appartient à l intervalle 7 Soit u et v deux vecteurs non nuls tels que u ; v éterminer la mesure en radians de l angle orienté u ; v qui appartient à l intervalle ; ans les exercices 8 à 10, le plan orienté P est muni d un repère orthonormé direct d origine O et l on note le cercle trigonométrique On désigne par le point de coordonnées (1 ; 0) 7 8 Soit M l image de sur le cercle trigonométrique 1 ) éterminer la mesure principale en radians de l angle orienté O ; OM ) onstruire M au compas 0 9 Même exercice que le 8 avec 10 Même exercice que le 8 avec Soit u et v deux vecteurs non nuls tels que u ; v éterminer la mesure principale en radians des angles orientés u ; v toutes les étapes et en appliquant chaque fois une règle par étape 1 Soit u, v et w trois vecteurs non nuls tels que u ; v émontrer que les vecteurs u et w sont orthogonaux, v ; u, u ; v 7 et v ; w en détaillant bien 1 Soit un triangle tel que = cm, ; et ; onstruire à l aide du rapporteur ndiquer les mesures des angles orientés ; et ; sur la figure En utilisant les propriétés des angles orientés, déterminer la mesure principale en radians des angles orientés ;, ;, ; 1 Soit un triangle quelconque alculer en utilisant les propriétés des angles orientés la somme ; ; ; On n utilisera pas la somme des angles géométriques d un triangle 1 Soit un parallélogramme tel que ; Faire une figure en utilisant le rapporteur Faire figurer sur cette figure la mesure de l angle orienté ; éterminer une mesure en radians de chacun des angles orientés ;, ;, ; On détaillera bien chaque étape et l on n utilisera qu une seule règle à chaque étape 1 Soit,,,, E tels que l on ait ; (on suppose que est distinct des points,,, E) ucune figure n est demandée dans cet exercice émontrer que les points,, E sont alignés 1 ; ; ; ; E 17 ans le plan orienté muni d un repère orthonormé direct d origine O, on note M et N les images respectives des réels et sur le cercle trigonométrique Placer M et N sur le cercle à l aide du compas éterminer la nature du triangle OMN

2 Réponses 1 ttention (rappel de notation) : la longueur de l arc se note l ou long On peut faire la figure une fois que l on a répondu à la question (ce peut d ailleurs être une question motivant la formule donnant l expression de la longueur d un arc) O 1 rad On fait un tableau de proportionnalité pour convertir en degrés la mesure en radians («tableau de conversion») 0, 180 8,7 La valeur arrondie au centième de la mesure de l angle O est égale à 8, On pourra écrire O 8, (valeur arrondie au centième) La longueur du grand arc est égale à cm étail de la démarche : La mesure de l angle O rentrant est égale à 0 O 0 La mesure principale de l angle orienté ; est ; ou ; (détail : est le centre du carré donc est le milieu du segment [], par suite, on a : ; ; ) La mesure principale de l angle orienté ; est ; ou ; La mesure principale de l angle orienté ; (détail : est un carré donc est ; par suite, ; ; ) Méthode : on calcule la différence entre les deux mesures proposées et l on regarde si le résultat est un multiple entier de 1 ) Les nombres 17 7 et sont des mesures en radians d un même angle orienté 1 ) Les nombres et ne sont pas des mesures en radians d un même angle orienté Faire une figure pour chaque angle L idée de l exercice : trouver des égalités de vecteurs pour qu ils aient la même origine On peut donner une mesure positive et une mesure négative de chaque angle orienté ; ou ; On peut faire apparaître ces deux mesures sur la figure La mesure principale de l angle orienté ; est ; ( et sont colinéaires et de sens contraire car []) ou ; On peut faire apparaître ces deux mesures sur la figure La mesure principale de l angle orienté ; est ; ou ;

3 ) On sait que d où compte tenu de l orientation, ; et ; et n ont pas la même origine Soit le point tel que ; ; insi : Or Par conséquent, ; d où, vue l orientation ; 1 ) On utilise le compas e même, soit E le point tel que E lors : ; ; E 1 ) Les mesures de l angle orienté u ; v 7 La mesure en radians de l angle orienté Explication : 7 donc soit 8 1 ) La mesure principale en radians de l angle orienté O ; OM ) onstruction du point M sont tous les nombres de la forme k, avec k ) 7 u ; v qui appartient à l intervalle ; est est On peut construire le point M d un seul coup de compas On place la pointe sèche du compas au point On prend un écart de compas égal au rayon du cercle Le point M est alors obtenu sur l arc '' (l est inutile de refaire toutes les marques de compas à partir du point ) N : l y a d autres méthodes pour obtenir le point M : - en plusieurs coups de compas ; - en traçant la médiatrice du segment [O ] (en prenant la «moitié» de [O ]) Sur la figure, on marque l angle orienté O ; OM flèche) et l on écrit 7 On écrit M 9 1 ) La mesure principale en radians de l angle orienté O ; OM (même notation qu un angle normal sauf que l on met une est ) On peut construire le point M d un seul coup de compas On place la pointe sèche du compas au point

4 On prend un écart de compas égal au rayon du cercle Le point M est alors obtenu sur l arc ' 10 1 ) La mesure principale en radians de l angle orienté O ; OM est ) On peut construire le point M d un seul coup de compas On place la pointe sèche du compas au point On prend un écart de compas égal au rayon du cercle Le point M est alors obtenu sur l arc '' N : l y a d autres méthodes pour obtenir le point M : - en plusieurs coups de compas ; - en traçant la médiatrice du segment [O ] ; - en angle de puis en effectuant une construction de bissectrice 11 l est inutile de faire une figure ; en tout cas, si on fait une figure, on trace les deux vecteurs sans faire figurer de cercle trigonométrique ttention, l énoncé demande chaque fois une mesure principale de l angle orienté u ; v En appliquant les règles sur les mesures d angles orientés, on trouve u ; v est une mesure de l angle orienté u ; v mais ce n est pas la mesure principale car n appartient pas à l intervalle ; Pour trouver la mesure principale, on peut retrancher La mesure principale de l angle orienté u ; v est N : Quand on a une mesure d un angle orienté de vecteurs, on peut toujours ajouter ou retrancher un multiple entier de On applique la technique générale pour les mesures principales uniquement lorsque l on a des «gros nombres» ci, les nombres sont petits ce qui explique que l on procède autrement ; ; ; ; ; N : on pourrait aussi utiliser les propriétés des angles géométriques dans un parallélogramme vues en e : ans un parallélogramme, les angles consécutifs sont supplémentaires et les angles opposés ont la même mesure l s agit dans les deux cas d angles géométriques ela dit, ce n est pas trop l esprit de ce type d exercice : on aime mieux rester uniquement avec les angles orientés et utiliser les règles sur les angles orientés En effet, si l on utilisait les angles géométriques, pour repasser en angles orientés on serait obligé de regarder la figure pour l orientation 1 On suppose qu aucun des points,,, E ne soit confondu avec On démontrer en utilisant la relation de hasles que : ; E 0 onc les vecteurs et E sont colinéaires de même sens Par conséquent, les points,, E sont alignés N : La méthode qui consiste à démontrer que ; ; E «marche») 17 Le triangle OMN est rectangle isocèle en O Séquence bac Tous les exercices des pages et Travail personnel ompétences sur les angles orientés : - onvertir une mesure d angles en degrés en radians et vice versa ; - alculer la longueur d un arc de cercle ; - Marquer une mesure d angle orienté sur une figure ; - Lire une mesure d angle orienté sur une figure ; - émontrer que des droites sont parallèles ou orthogonales à l aide des angles orientés ; - émontrer que des points sont alignés à l aide des angles orientés ; - Utiliser les propriétés des angles orientés pour calculer des mesures d angles orientés ; - Savoir repérer les points sur le cercle trigonométrique ; - Savoir placer les points associés aux valeurs remarquables sur le cercle trigonométrique ; - Savoir calculer la mesure principale d un angle orienté n est pas très satisfaisante (mais elle v ; u, u ; v 1 On convertit rad ; ; ; = pour faire la figure ; ; ; ; ; 1 On a : L angle mesure 108

5 Une méthode importante éterminer une mesure en radians de l angle, 1 ère méthode : on trace un représentant du vecteur à partir du point On note le symétrique de par rapport au point Retenir cette méthode de déplacement d un vecteur ans ce cas, voir comment on indique sur la figure une mesure de l angle orienté, e méthode : utilisation des règles du cours