Loi de comportement pour matériaux composites thermodures et thermoplastiques dans le cadre de sollicitations de type crash

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1 Loi de comportement pour matériaux composites thermodures et thermoplastiques dans le cadre de sollicitations de type crash Patrick ROZYCKI Laurent GORNET Institut de Recherche en Génie Civil et Mécanique GeM - UMR CNRS 6183 Ecole Centrale de Nantes Patrick.Rozycki@ec-nantes.fr Laurent.Gornet@ec-nantes.fr

2 Plan de la présentation Introduction Intérêt de composites dans le domaine des transports Rappels sur les composites Enjeux en dynamique rapide Caractérisations et observations expérimentales Quasi statique & Dynamique Loi de comportement unifiée pour matériaux composites Déformations élastiques et irréversibles, Endommagements, Sensibilité à la vitesse de déformation Méthodologie d identification des paramètres Comment obtenir tous ces paramètres? Validations numériques élémentaires Conclusions et perspectives 2

3 Introduction Utilisation des matériaux composites Tous domaines Aéronautique, Nautique, Automobile Avantages Bonnes propriétés mécaniques, Légèreté, Bon comportement en fatigue (sens fibres) 4/3/29 à 1:35 VéLV ( PSA Peugeot Citroën) Club Med Photos Yvan Zedda 3

4 Introduction Qu est ce qu un matériau composite? Association de deux matériaux (principalement) Des fibres de natures différentes (verre, kevlar, carbone ) Une matrice Les fibres peuvent avoir différentes architectures Courtes ou longues, Unidirectionnelles, tissées Tricotées, tressées, Matrice peut être de différentes natures Thermodurcissable (comme époxy) Thermoplastique (comme PA66) Autres Empilement de couches élémentaires ou alors un seul et même matériau 4

5 Introduction Dynamique rapide (crash et impact) Procédures de certification Automobile : chocs frontaux, latéraux Aéronautique : Ingestion et impact d oiseaux, de grêle Chute d objets sur structures, Chute libre hélicoptère Opel Mokka crash-test Euro-NCAP Image Opel Nécessité de connaitre le comportement des composites Du quasi statique aux moyennes ou grandes vitesses de déformation Evasement Flexion sans rupture Johnson et al., 21 MD -5 helicopter at NASA Langley Research Center 21 5

6 Introduction Petits rappels sur les échelles Echelle micro 3 = z Echelle méso 1 2 x z y Echelle macro Interfaces 1 3 = z 2 3 = z z 2 x y Echelle macro Echelle micro Thèse Cyril PRIEM session poster 6

7 Introduction Hétérogénéités des composites Phénomènes physiques divers et complexes À l échelle microscopique/mésoscopique/macroscopique Interfaces Décohésion fibres/matrice (E.K Gamstedt, 1999 [1]) Fissuration matricielle et délaminage (K.G. Stout, 1999 [2]) Micrographie in situ d un composite tissé (A.K. Roy, 1998 [3]) 7

8 Introduction Comportement quasi statique Composites unidirectionnels à matrice thermodurcissable (Allix et al., 199 ), (Ladevèze et al., 1992, 1998), (Gornet, 1996) Prise en compte d endommagements de type fissuration matricielle, décohésion fibres/matrice, de déformations irréversibles dans les directions transverses et de cisaillement. Composites tissés à matrice thermodurcissable (Hochard et al., 21), (Johnson et al., 21), (Hochard et al., 25) Prise en compte d endommagements dans les sens chaine, trame et de cisaillement, de déformations irréversibles dans la direction de cisaillement. Onera Damage Model (Maire et Chaboche, 1997 [4]), (Marcin, 21 [5]) Endommagements anisotropes, prise en compte du caractère unilatéral du dommage, déformations résiduelles générées par fissuration matricielle, différence entre le dommage matriciel et le dommage "fibre" Comportement dynamique Composites unidirectionnels et tissés à matrice thermodurcissable (Rozycki, 2), (Rozycki et Coutellier, 22), (Coutellier et Rozycki,24), (Marguet et al., 27) Dépendance à la vitesse de déformation des modules élastiques, des variables d évolution de l endommagement, de la contrainte d écoulement initiale 8

9 Introduction Dans les codes de calcul de type explicite (dédiés au crash) ABAQUS explicite, LS DYNA, Virtual Performance Solution (VPS), Radioss Déclinaison entre Modèles élastiques orthotropes «fragiles» Modèles élasto-plastiques «fragiles» Modèles élastiques endommageables Modèles visco-élasto-plastiques Modèles élasto-plastiques endommageables avec prise en compte des vitesses de déformations Lois utilisateurs principalement au niveau des laboratoires Conclusions Existence de différentes modélisations adaptées le plus souvent à un type de composite Peu de modélisations pour les composites thermoplastiques Pas ou peu de prise en compte de l ensemble des phénomènes spécifiques au crash Proposition d une loi unifiée pour matériaux composites 9

10 Caractérisations et observations expérimentales en quasi statique D après la littérature et les différents travaux Caractérisation quasi statique d un matériau composite nécessite a minima Un essai dans le sens longitudinal (1) Un essai dans le sens transversal (2) (ou un essai mettant en avant les déformations transversales) Un essai dans le sens de cisaillement Des essais peuvent être ajoutés pour Couplage entre les sens longitudinal et de cisaillement Couplage entre les sens transverse et de cisaillement Géométries des éprouvettes Suivent une norme (quand cela est possible!) Type d essais Tractions et compressions à rupture et cyclées Instrumentations Jauges, corrélation d images, capteurs Sens longitudinal Les mesures unidimensionnelles des déformations et contraintes ne suffisent pas pour un composite! x θ z = 3 1 y 2 Sens transversal 1

11 Comportements en quasi statique Contrainte locale Contrainte σ 12 (MPa) Contrainte σ 11 (MPa) Contrainte σ 11 (-) Déformation 2ε 12 (%) Résultats moyens en traction pour un stratifié tissé verre/époxy à Traction ε11 Traction ε22 Compression ε11 Compression ε Déformation ε 11 (%) Résultats moyens en traction pour un stratifié unidirectionnel verre/époxy à E i Boucle n i ε i irr ε i élast Déformation locale Identification des endommagements et déformations irréversibles Déformation ε 11 (-) Résultats moyens en traction sens chaine pour l interlock 11

12 Caractérisations et observations expérimentales en dynamique Gamme d essais Orientations préconisées pour la quasi statique Type d essais A rupture Instrumentations Jauges, corrélation d images, capteurs Gammes de vitesses «Faibles» vitesses de déformation de 1 4 s 1 à 1 1 s 1 Machine de traction/compression classique «Moyennes» vitesses de déformation de 1 1 s 1 à 1 s 1 Machine avec un vérin hydraulique, système «arbalète» ou puits de chute «Hautes» vitesses de déformation supérieure à 1 s 1 Barres d Hopkinson ou canon à gaz Puits de chute Barres Hopkinson Canon à gaz Arbalète 12

13 Comportements en dynamique Contrainte σ 11 (MPa) Contrainte (MPa) Contrainte σ 11 (MPa) Contrainte σ 12 (MPa) Contrainte σ 11 (MPa) /s 1.3 /s 36 /s /s.411 /s 1.44 /s 6.25 /s /s /s Déformation (%) Sensibilité à la vitesse de déformation d une résine époxy (A. Gilat et al., 22 [6]) Déformation (%) 25 Résultats moyens en traction dynamique pour un stratifié UD verre/époxy /s.321 /s 1.46 /s 31 /s /s.1 /s 1 /s 5 /s 1 /s 5 /s 1 /s 2 /s 5 /s 1 /s 2 /s Déformation (%) Résultats moyens en compression dynamique pour un stratifié UD verre/époxy Déformation 2ε 12 (%) Résultats moyens en traction dynamique pour un stratifié tissé verre/époxy 13

14 Loi de comportement unifiée pour matériaux composites Modélisation quasi-statique Consécutive aux différents travaux menés principalement par le LMT de Cachan Cadre thermodynamique des processus irréversibles Potentiel thermodynamique ρψ ε e, d i, p, β i Basé sur la densité volumique d énergie libre d Helmholtz ρψ Formulation adaptée aux algorithmes des codes de calcul (dynamique explicite) Forces thermodynamiques associées En fonction de la déformation Indépendantes de l endommagement Utilisation de la notion de contrainte effective σ ij = σ ij 1 d ij 14

15 Loi de comportement unifiée pour matériaux composites Introduction de 5 variables scalaires d endommagement Agissant sur les composantes diagonales de la matrice de rigidité (C) C ij = C ij 1 d ij pour i, j 1,3 sauf i = j = 3 avec C 11 = E 11 = 1 ν 12 ν ; C C ij = G ij pour i j E 22 1 ν 12 ν 21 Energie de déformation du matériau endommagé W d e = 1 2 (C 11 e 1 d 11 ε C e 22 1 d 22 ε ν 21 C 11 ε e e 11 ε 22 + C e 12 1 d 12 2ε C e 13 1 d 13 2ε C 23 1 d 23 2ε 23 Loi de comportement σ = W e d ε e d C 11 σ 11 σ = C 11 ν 21 ε C e et σ ij = C ij 2ε e ij pour i j 22 ν 12 C 22 e ε 22 e 2 ) 15

16 Loi de comportement unifiée pour matériaux composites Variables thermodynamiques associées Y ij = W e d Y d 11 = 1 ij ε 2 C 11 e ε 2 11 ; Y 22 = 1 2 C 22 e ε 22 e,d d ij 2 ; Y ij = 1 2 C ij 2ε ij e 2 pour i j Pour une grande majorité de matériau Comportements en cisaillement dans le plan (12) induisent des déformations beaucoup plus grandes que dans les cas longitudinaux et transversaux Norme choisie Y 2 = Y 12 + G 13 Y13 + G23 Y23 + E22 Y22 + E11 G 12 G 12 G 12 G Y Evolutions des endommagements pris sous leur forme intégrée Modèle non standard contrôle positivité du potentiel de dissipation d ii = E ii fd Y = b ii f D Y ; d ij = Gij f D Y = b ij f D Y G 12 avec Y t = sup τ t G 12 Y τ 16

17 Loi de comportement unifiée pour matériaux composites Evolution des variables d endommagement par rapport à la fonction du domaine de non-endommagement Loi adaptée qui satisfait les observations expérimentales Linéaire, logarithmique, puissance, polynomiale n d ij = α ij k Y ij Y ij k k=1 Pour mieux contrôler la «rupture» Introduction de fonction Y rupt Evolutions se font telles que d ij = b ij f D Y pour d ij 1 et Y ij Y ij rupt avec b 12 = 1 17

18 Loi de comportement unifiée pour matériaux composites Couplage plasticité/endommagements Par le biais des contraintes et déformations effectives Critère de plasticité f P σ, R = σ a 11 σ a 2 22 σ a 13 σ a 23 σ 2 23 R p R 2 Facteurs a ij traduisent un couplage entre les directions Fonction seuil R(p) choisie sous une forme puissance R p = βp m Mais peut être prise sous une autre forme pour satisfaire les observations expérimentales n R p = β k p k k= 18

19 Loi de comportement unifiée pour matériaux composites Modélisation dynamique Seules données identifiables expérimentalement Modules élastiques Contraintes d écoulement initiale Contraintes et déformations à rupture Mais les effets de la vitesse de déformation Se répercutent sur les déformations inélastiques et les endommagements Très difficile à démontrer expérimentalement Pas possibilité de cyclage Développements d essais dits «arrêtés» (conforte cette hypothèse) 19

20 Loi de comportement unifiée pour matériaux composites «Pseudo-viscoélasticité» du composite Prise en compte à l aide d une contrainte visqueuse qui vient s ajouter à la contrainte élastique Modèle de solide de Kelvin-Voigt σ = σ e + σ v Application au cas unidimensionnel Temps lors des sollicitations dynamiques (crash, impact, etc.) extrêmement faibles, on a au premier ordre Extrapolation σ 11 o 1 e C 11 ε F 11 Introduction de fonction de viscosité σ = C I + F ε, ε ε e = Λ ε, ε ε e Λ ij = C ij 1 + F ij ε, ε Prise en compte d un seuil de vitesse de déformation à partir duquel il y a une influence F ij ε, ε = si ε ε 2

21 Loi de comportement unifiée pour matériaux composites Contraintes d écoulement initial σ ij dyn = σ ij stat 1 + F σ ij ε, ε et R dyn = R stat σ 1 + F R ε, ε avec F R = F 12 Influence sur les évolutions des endommagements Endommagements étant nuls, évolution des seuils : Y ij dyn = 1 + F ij σ ε, ε 1 + F ij ε, ε Y 12 stat Modules élastiques, contraintes d écoulement initial et seuils de nonendommagement Evoluent que de façon croissante avec la vitesse de déformation Postulat (raisonnablement) : progression des endommagements plus rapide que dans le cas quasi statique Coefficients des lois d évolutions des endommagements n d ij = α ij k Y ij Y ij k k=1 α ij dyn = 1 + F ij σ ε, ε 1 + F ij ε, ε α ij stat rupt Taux de restitution critique Y ij peuvent aussi évoluer (ou non) en regard des observations expérimentales 21

22 Loi de comportement unifiée pour matériaux composites Implémentation numérique Algorithme de type prédiction-correction Phase d adaptation des paramètres du modèle à la vitesse de déformation Dépendance vis-à-vis du maillage Travaux de Gornet, 1996, Allix et al, 1997, Ladevèze et al, 2 Régularisation du problème Impose une borne supérieure à la vitesse d endommagement τ paramètre matériau, d = 1 τ 1 e α f Y d + α paramètre pilotant l aspect plus ou moins fragile de la rupture f Y fonction d évolution choisie pour l endommagement Exemple Evolution d endommagement linéaire d ordonnée à l origine Y et de pente Y C f Y = Y Y Y C Y 22

23 Synthèse des paramètres du modèle Nature Dénomination Variable(s) Module d Young longitudinal E 11 Module d Young transversal E 22 Elasticité Coefficient de Poisson ν 12 Modules de cisaillement G 12, G 13, G 23 Déformations à rupture longitudinal, transversal et de cisaillement ε rupt 11, ε rupt 22, 2ε rupt rupt rupt 12, 2ε 13, 2ε23 Taux de restitution d énergie initiaux Y 11, Y 22, Y 12, Y 13, Y 23 Endommagement Taux de restitution d énergie d évolution Tous les α ij k ou α ij Taux de restitution d énergie critiques Y rupt 11, Y rupt 22, Y rupt 12, Y rupt rupt 13, Y 23 Facteurs de couplage endommagements b 11, b 22, b 13, b 23 Contrainte d écoulement initiale R Plasticité Paramètres de la fonction seuil R(p) Tous les β ou β k et m Facteurs de couplage plasticité a 2 11, a , a 13 2, a 23 Fonctions de viscosité pour les modules d élasticité Vitesse de déformation Fonctions de viscosité pour les contraintes d écoulement initiales F 11, F 22, F 12, F 13, F 23 F σ 11, F σ 22, F σ 12 = F R, F σ σ 13, F 23 23

24 Méthodologie d identification des paramètres 1 : passage des courbes contraintes/déformations du repère global au repère local ε 11 ε 22 2ε 12 = σ 11 σ 22 σ 12 = σ 13 σ 23 = cos 2 θ sin 2 θ sin θ cos θ sin 2 θ cos 2 θ sin θ cos θ 2 sin θ cos θ 2 sin θ cos θ cos 2 θ sin 2 θ 2ε 13 2ε xz cos θ sin θ 2ε xz = 2ε 23 sin θ cos θ 2ε = P ε yz 2ε yz cos 2 θ sin 2 θ 2 sin θ cos θ sin 2 θ cos 2 θ 2 sin θ cos θ sin θ cos θ sin θ cos θ cos 2 θ sin 2 θ cos θ sin θ sin θ cos θ σ xx σ yy σ xy ε xx ε yy 2ε xy = P σ σ xz σ yz = P σ σ xz σ yz avec P σ = P ε = P ε σ xx σ yy σ xy ε xx ε yy 2ε xy Cas de stratifiés de même orientation «trivial» Cas de stratifiés symétriques Utilisation de la théorie des stratifiés Ces opérations peuvent être automatisées soit sous un tableur de calcul soit informatiquement! 24

25 Méthodologie d identification des paramètres Contrainte locale Contrainte locale 2 : Identification des caractéristiques élastiques et constantes à rupture par orientations Déformation locale 3 : Identification de l évolution des endommagements et déformations irréversibles par orientations Ces opérations peuvent être automatisées soit sous un tableur de calcul soit informatiquement! Boucle n i Déformation locale 25

26 Méthodologie d identification des paramètres Facteurs de couplages 2 = ε plastique ii 1 d 2 ii plastique 1 d 2 12 a ii ε 12 Identification de la fonction R p p = 2ε ε11 a ε22 a ε13 a ε23 a 23 2 f P σ, R = σ a 11 σ a 2 22 σ a 13 σ a 23 σ 2 23 R p R = Ces opérations peuvent être automatisées soit sous un tableur de calcul soit informatiquement! Possibilité de mettre en place un algorithme (génétique) d optimisation Améliorer le jeu de paramètres en quasi statique Optimisation sur l ensemble des essais Chaque orientation Chaque direction de sollicitation 26

27 Méthodologie d identification des paramètres 4 : Identification des fonctions de viscosité On reproduit la procédure d obtention des caractéristiques élastiques Pour chaque type d orientation et pour chaque vitesse de sollicitation. Calcul de la vitesse de déformation pour les essais A partir des modules d Young ou module de cisaillement et des contraintes d écoulement initial en fonction des différentes vitesses de déformation identifiées χ χ = (E 11, E 22, G 12, σ 11, σ 22, σ 12 = R ) 1 avec χ ε χ ε = (E ε ε 11, E ε 22, G ε 12, σ ε 11, σ ε 22, σ ε 12 = R ) Identification des approximations pour l évolution des différentes caractéristiques Ces opérations peuvent être automatisées soit sous un tableur de calcul soit informatiquement! Possibilité de mettre en place un algorithme (génétique) d optimisation Améliorer le jeu de paramètres en dynamique Optimisation sur l ensemble des essais Chaque orientation Chaque direction de sollicitation Chaque vitesse de sollicitation 27

28 Validations numériques élémentaires Contrainte σ 12 (MPa) Contrainte σ 11 (-) Contrainte σ 12 (MPa) Expérimental Numérique Expérimental Numérique Déformation 2ε 12 (%) Comparaison expérimental/numérique pour un thermoplastique tissé carbone/pa66 Déformation ε 11 (-) Comparaison expérimental/numérique pour un composite interlock sans le sens chaine /s.11 /s 4.3 /s /s /s Evolutions d endommagement à différentes vitesses pour un composite UD verre/époxy Déformation 2ε 12 (%) Simulations numériques à différentes vitesses pour un composite UD verre/époxy 28

29 Validations numériques élémentaires Simulations numériques à différentes vitesses pour un Tissé verre/époxy en traction Simulations numériques à différentes vitesses pour un Tissé verre/époxy en compression Comparaison expérimental/numérique pour une compression cyclique pour un nid d abeille Simulations numériques à différentes vitesses pour un Tissé verre/époxy en cisaillement 29

30 Validations numériques élémentaires Intégration de l effet retard 3

31 Validations numériques élémentaires Essai Temps max. ms Effort max. kn Déplacement max. mm Expérimental Sans prise en compte de vitesse Avec prise en compte de vitesse

32 Validations numériques élémentaires CL (avance flotteur) CI (bras) Bras Vague CL (encastrement vague) CL (symétrie) Impact basse vitesse (2 m/s) Endommagement en cisaillement des peaux Endommagement en cisaillement des âmes Impact haute vitesse (2 m/s) Endommagement en compression des âmes Endommagement en cisaillement des âmes 32

33 Conclusions Plutôt que d écrire une loi de comportement adaptée à un type de matériaux composites (unidirectionnel, tissé, ) Proposition d une loi de comportement «unifiée» Richesse de la loi Multitude des phénomènes pris en compte Evolution des déformations élastiques et irréversibles Evolution des endommagements (du fragile via les fonctions Heaviside à des évolutions plus complexes) Couplages Prise en compte de la sensibilité à la vitesse de déformation Procédure expérimentale de caractérisation Ne dépend que peu de l utilisateur Modèle «accessible» et «utilisable» (milieu industriel) Possibilité de réduire les dispersions sur le canevas expérimental Algorithmes d optimisation (génétique) 33

34 Perspectives Contrainte σ 12 (MPa) Taux de restitution d'énergie Y 12 (MPa 1/2 ) Composite à matrice thermoplastique Prise en compte des effets de température Prise en compte des effets de l hygrométrie Applications au domaine automobile Modélisation plus fine en ce qui concerne la réorientation des fibres pour ces composites Réorientation perturbe l identification de la perte de rigidité Expérimental Numérique Expérimental Numérique Déformation 2ε 12 (%) Endommagement d 12 (-) D autres travaux sont en cours pour poursuivre les développements à propos de la loi unifiée dans le cas tridimensionnel 34

35 Perspectives Modèle élasto-visco-plastique endommageable couplé avec des dérivées fractionnaires Thèse d Alina Krasnobrizha (Session Poster) Loi en cisaillement σ 12 = G 12 1 d 12 A + G 1 12 D α élast ε 12 Dérivée fractionnaire (Riemann-Liouville) D α f t = dα t f t 1 d dt α = t y α f y dy Γ 1 α dt = z 1! pour z R + avec Γ z 35

36 Perspectives Tressé 3D Carbone 45 Tressé 3D Carbonepolypropylène 2 Problème : comment représenter cela par EF? Coût en temps CPU (industriels imposent pas plus de 2% par rapport à un calcul «classiques») Super éléments? XFEM/Level Set. 36

37 Section MERCI POUR VOTRE ATTENTION 37

38 Références [1] Gamstedt EK, Sjögren BA. Micromechanisms in tension-compression fatigue of composite laminates containing transverse plies, Composites Science and Technology, 59 (2), (1999), pp [2] Stout MG, Koss DA, Liu C, Idasetima J. Damage development in carbon/epoxy laminates under quasi-static and dynamic loading, Composites Science and Technology, 59 (16), (1999), pp [3] Roy AK. Comparison of in situ damage assessment in unbalanced fabric composite and model laminate of planar (one-directional) crimping, Composites Science and Technology, 58 (11), (1998), pp [4] J. F. Maire, J. L. Chaboche, A new formulation of continuum damage mechanics (CDM) for composite materials, Aerospace Science and Technology, 4, (1997), pp [5] L. Marcin, Modélisation du comportement, de l'endommagement, et de la rupture de matériaux composites à renforts tissés pour le dimensionnement robuste de structures, Thèse de doctorat Université de Bordeaux 1, (21). [6] A. Gilat, R.K. Goldberg, G.D. Roberts, Experimental study of strain-ratedependent behavior of carbon/epoxy composite, Composites Science and Technology, 62(1-11), (22), pp