Chap. 4 : Les calculs financiers (Les intérêts)

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1 Chap. 4 : Les calculs financiers (Les intérêts) L intérêt est la rémunération d un prêt d une somme d argent (prêts d une banque et placements financiers assimilables à des prêts : dépôts rémunérés dans les banques et achats de titres de créance). Pour le prêteur, les intérêts correspondent à la rémunération du prêt i.e. du service rendu (rémunération destinée à compenser la privation d une somme d argent pendant la durée du prêt). Pour l emprunteur, les intérêts représentent le coût de l emprunt i.e. de l utilisation des capitaux qu il ne possède pas (le loyer de l argent). I- Le calcul des intérêts (intérêts simples, intérêts composés) Les intérêts sont proportionnels au capital prêté et à la durée du prêt qui est exprimée en nombre de périodes (nombre de jours, mois, ou années) : ils sont calculés à la fin de chaque période en appliquant au capital prêté un taux d intérêt périodique défini dans le contrat de prêt. C I 1 I 2 I n-1 I n Avec : C : Capital (prêté ou placé en 0 et remboursé en n) I p : Intérêts de chaque période i : Taux d intérêt par période (exprimé en pourcentage) n : durée de l emprunt ou du placement (nombre de périodes) Le taux i (appliqué au capital à chaque période) et la durée n doivent être exprimés dans la même unité de temps (si n est un nombre de jours, i doit être un taux journalier ; si n est un nombre de mois, i doit être un taux mensuel ). Il existe toutefois deux modes de calcul des intérêts : Les intérêts simples sont calculés pour chaque période sur le capital placé (prêté) : Pour chaque période : I 1 = I 2 = = I n =... Le total des intérêts est donc égal à :... Les intérêts composés sont calculés pour chaque période sur le capital auquel on ajoute les intérêts des périodes précédentes : les intérêts sont capitalisés (ajouté au capital) et produisent eux-mêmes des intérêts. I 1 =... I 2 =... I 3 =... etc. Les intérêts ne peuvent être capitalisés que dans le cas où le prêteur perçoit la totalité des intérêts lors du remboursement (et pas à la fin de chaque période!). 1 / 5

2 Exemple : Calcul des intérêts pour un capital C = prêté (ou placé) pendant 4 périodes (4 jours, ou 4 mois ou 4 ans!) au taux d intérêt de 5 % par période. C = I 1 I 2 I 3 I 4 Calcul des intérêts simples : Pour chaque période :... Calcul des intérêts composés : Périodes 1 Capital en début de période (1) Intérêts de la période (2) Capital en fin de période (1) + (2) Les intérêts composés (rémunération pour le prêteur, coût pour l emprunteur) sont plus élevés que les intérêts simples (les intérêts produisant de nouveaux intérêts), ce qui n apparaît pas avec le taux de 5 % identique dans les deux cas. En revanche, on peut calculer un taux moyen par période égale à... Formule de calcul «direct» des intérêts composés : Capital fin 1 : C + I 1 = C + C i = C (1 + i) Capital fin 2 : C (1 + i) + I 2 = [C (1 + i)] + [C (1 + i) i] = C (1 + i) (1 + i) = C (1 + i) 2 Capital fin 4 :... En principe, les intérêts ne sont capitalisés qu au bout d une année (les intérêts journaliers ou mensuels ne produisent pas d intérêts). Par conséquent, en règle générale, les intérêts des prêts et placements de moins d un an sont calculés à intérêts simples (c est notamment le cas pour les crédits bancaires à court terme, comme les découverts bancaires et l escompte des effets de commerce) alors que les intérêts des placements à plus d un an sont à intérêts composés (c est le cas notamment des comptes sur livret, des assurances vie, évidemment, sous réserve que les intérêts annuels ne soient pas perçus!). 2 / 5

3 II- La capitalisation et l actualisation Du fait de l existence des intérêts, un capital (une somme d argent) n a pas la même valeur au cours du temps (indépendamment de l inflation). Exemple (reprise de l exemple précédent) : C 0 = C 4 = 1 215,51 (= ,05 4 ) Un capital de aujourd hui (en 0) a une valeur de 1 215,51 dans 4 années, en d autres termes, un capital de aujourd hui a plus de valeur qu un même capital de obtenu dans 4 années. Par conséquent, pour comparer des sommes obtenues à des dates différentes il faut tenir compte des intérêts (par exemple, un capital de en 0 a plus de valeur qu un capital de dans 4 ans mais moins de valeur qu un capital de ans 4 ans, tout au moins au taux de 5 % par an ). La capitalisation et l actualisation sont des techniques financières qui permettent de comparer des sommes obtenues à des dates différentes. A) La capitalisation La capitalisation est l opération (financière) qui consiste à déterminer la valeur acquise ou valeur future C n d un capital C 0 placé à pendant n périodes à un taux d intérêt i, le placement étant à intérêts composés (les intérêts sont capitalisés). La valeur acquise (ou future) étant égale au capital augmenté des intérêts disponibles en fin de période. C 0 C n C n = C 0 (1 + i) n Le taux i et la durée n doivent être exprimés dans la même unité de temps (généralement l année). Les sommes C 0 et C n sont dites équivalentes au taux de i % par période (disposer de C 0 aujourd hui est équivalent à disposer de C n dans n périodes du fait de la possibilité de placer C 0 pour obtenir C n dans n périodes). 3 / 5

4 Exemple 1 : Versement unique Valeur acquise (C n ) par un capital de (C 0 ) placé à intérêts composés au taux de 6 % (i) par an pendant 4 ans (n) : C 4.. Exemple 2 : Versements successifs (constants de début de période) Valeur acquise par un versement de au début de chaque année placé à intérêts composés au taux de 6 % par an pendant 4 ans Il faut capitaliser les quatre versements et additionner les résultats obtenus : C 4 NB : Formule directe pour obtenir la somme des flux capitalisés (somme des termes d une suite géométrique de raison 1,06) : C 4 B) L actualisation L actualisation est l opération qui consiste à déterminer la valeur actuelle (C 0 ) d une somme future (C n ) obtenue par un placement pendant n périodes à un taux d intérêt i (les intérêts étant composés). On recherche ainsi la valeur C 0 du capital qu il faut placer aujourd hui pendant n périodes à un taux d intérêt i pour obtenir la somme donnée C n : c est l opération inverse de la capitalisation! C 0 C n C 0 = C (1 + n i) n = C n (1 + i) -n Le taux d intérêt i qui permet de calculer la valeur actuelle est appelé taux d actualisation. 4 / 5

5 NB : Seule la capitalisation peut correspondre à une opération financière réelle (un placement sur un marché financier), l actualisation est uniquement une technique de calculs financiers qui permet de comparer des sommes disponibles à des périodes différentes (en les ramenant à leur valeur d aujourd hui). Exemple 1 : Versement unique Valeur actuelle (C 0 ) du capital qu il faut placer aujourd hui pendant 4 ans à intérêts composés au taux de 5 % pour obtenir (dans 4 ans) une valeur acquise (C 4 ) de : C 0 Si le taux de placement du marché financier est de 5 %, il est donc équivalent de disposer de ,05 aujourd hui ou de dans 4 ans. En revanche, il vaut mieux disposer de (par exemple) aujourd hui plutôt que de dans 4 ans (en plaçant les la valeur acquise dans 4 ans sera de ,05 4 = ,61 > !). Exemple 2 : Versements successifs (constants de fin de période) Un commerçant propose de payer un bien en 4 mensualités de payables en fin de mois. Avec un taux d actualisation mensuel de 1 %, quel est le prix au comptant équivalent aux 4 mensualités? Il faut actualiser les 4 versements et additionner les résultats obtenus : C 0 NB : Formule directe pour obtenir la somme des flux actualisés (somme des termes d une suite géométrique de raison 1,01-1 = 1 / 1,01) : C 0 Pour le commerçant, il est équivalent d encaisser immédiatement... ou d encaisser 4 mensualités de 1 000, la valeur acquise en fin de période étant la même dans les deux cas : Au comptant : C 4 =... A crédit : C 4 =... 5 / 5