Test de Student. Stéphane Canu June 14, M8 - Principes du traitement de l information

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1 Test de Student Stéphane Canu M8 - Principes du traitement de l information June 14, 2012

2 Stéphane Canu (INSA Rouen - ASI) Test de Student June 14, / 33 Plan 1 Comparaisons d une variable quantitative et d une variables qualitative : le test de Student L exemple de l effet d un médicament Si la variance est connue Si la variance est inconnue La loi de Student Définition Propriétés et approximation Le cas de la moyenne d un échantillon gaussien Le cas de deux échantillons gaussien Le test de Student (t-test) 2 Comparaisons de deux variables quantitatives : le test de Student 3 Conclusion

3 L exemple de l effet d un médicament patient Groupe Pression sanguine t1 traitement 88 t2 traitement 83 t3 traitement 82 t4 traitement 101 t5 traitement 99 t6 traitement 85 t7 traitement 87 t8 traitement 89 t9 traitement 88 p10 placebo 88 p11 placebo 82 p12 placebo 101 p13 placebo 106 p14 placebo 96 p15 placebo 92 p16 placebo 112 p17 placebo 97 qualitative quantitative Question : le traitement fait-il diminuer significativement la pression sanguine? les hypothèses : { H0 : le traitement est inefficace H 1 : le traitement la fait baisser Réponse : comparer les deux échantillons à travers la différence entre leurs moyennes x t x p = 90, 2 96, 7 = 6, 5 La question posée se résume ainsi cette valeur de -6,5 peut elle s expliquer par un hasard raisonnable?

4 Un hasard raisonnable x t x p = 6, 5 peut elle s expliquer par un hasard raisonnable? x t = 1 n t=9 n t x ti x p = 1 n p n p x pi Figure: Illustration des eux cas de figure. Dans le premier cas (à gauche) la variance est grande et donc la distance de 6.5 est petite et due au hasard. Dans le second cas (à droite) la variance est petite et la distance de 6,5 est grande. pour répondre......il faut prendre en compte la variance

5 Prendre en compte la variance : le modèle Les trois hypothèses 1 l hypothèse gaussiènne : mesure des patients avec traitement : X t N ( µ t, σ 2) mesure des patients sous placébo : Xp N ( µ p, σ 2) 2 même variance : σ 2 t = σ 2 p = σ 2 3 avec la variance connue donc par exemple : σ 2 = 60. les hypothèses : { H0 : inefficace µ t = µ p H 1 : la pression baisse µ t < µ p Nous savons que les moyennes des échantillons suivent une loi normale moyenne avec traitement : X t N ( ) µ t, σ2 n t moyenne sous placébo : X p N ( ) µ p, σ2 n p car IE(X ) = IE( 1 n n X 1 n i) V (X ) = V ( = 1 n n IE(X n X i) i) = = 1 1 n n n µ = µ n 2 V (X i) = 1 n n 2 σ2 = σ2 n

6 Prendre en compte la variance : le modèle Les trois hypothèses 1 l hypothèse gaussiènne : mesure des patients avec traitement : Xt N ( µ t, σ 2) mesure des patients sous placébo : Xp N ( µ p, σ 2) 2 même variance : σ 2 t = σ 2 p = σ 2 3 avec la variance connue donc par exemple : σ 2 = 60. les hypothèses : { H0 : inefficace µ t = µ p H 1 : la pression baisse µ t < µ p Nous savons que les moyennes des échantillons suivent une loi normale moyenne avec traitement : X t N ( ) µ t, σ2 n t moyenne sous placébo : X p N ( ) µ p, σ2 n p La différence des moyennes suit aussi une loi normale : ( X t X p N µ t µ p, σ 2( ) ) n t n p

7 Le test 1(variance connue) Le modèle : X t X p N ( µ t µ p, σ 2( 1 n t + 1 n p ) ) Le test se rapporte aux deux hypothèses suivantes : { H0 : le traitement n a pas d effet µ t µ p = 0 H 1 : le traitement est efficace µ t µ p < 0 Maintenant nous faisons l hypothèse que le traitement n a pas d effet. X t X p ( ) sous H 0 : U = σ 2( 1 n t + 1 ) N 0, 1 n p Avec les données dont nous disposons nous pouvons calculer 90, 2 96, 7 u = 60 ( ) = ,73 est-ce grand ou petit?

8 Le test 2 (variance connue) X t X p ( ) sous H 0 : U = σ 2( 1 n t + 1 ) N 0, 1 n p Avec les données dont nous disposons nous pouvons calculer 90, 2 96, 7 u = 60 ( ) = En prenant les tables de la loi normale nous constatons que IP(U ) = 0, 041 Il y a donc moins de 5% de chances d observer un tel résultat. Il ne nous apparait donc pas raisonnable d expliquer cette différence entre le moyennes par le hasard seul. Nous concluons dans ce cas en rejetant cette hypothèse. Il nous semble plus raisonnable d admettre que le traitement à un effet.

9 Récapitulons : le test de comparaison des moyennes 1 la question : les deux groupes sont ils des réalisation de la même loi 2 le modèle : gaussien 3 les hypothèses : même variance σ 2 connue 4 caclul de u = x t x p σ 2( 1 n t + 1 ) n p x t moyenne avec traitement x p moyenne sans traitement n t nombre de cas avec traitement n p nombre de cas sans traitement 5 calcul de la p-valeur U N ( 0, 1 ) (ou lecture sur les tables) pval = IP(U u) 6 on décide qu on ne peut pas conclure à l efficacité du traitement si la p-valeur est supérieure à 0,05, si pval 0, 05

10 Les trois variantes : la pression : diminue augmente varie. { H0 : µ t µ p = 0 H 1 : µ t µ p < 0 { H0 : µ t µ p = 0 H 1 : µ t µ p > 0 { H0 : µ t µ p = 0 H 1 : µ t µ p 0 pval = IP(U u) IP(U u) IP(U u ) + IP(U u ) quand la question change... Exemple : pour u = 1, 73, pval = dim : IP(U 1, 73) = 0, 041 le calcul de la pval change aug : IP(U 1, 73) = 1 0, 041 = 0, 959 var : IP(U 1, 73) + IP(U 1, 73) = 0, , 041 = 0, 082

11 une interprétation de la statistique u = signal bruit = = écart entre les moyennes des deux groupes variabilité des observations x t x p ( σ 2 1 nt + 1 np )

13 Si la variance est inconnue Dans ce cas on remplace la variance inconnue σ 2 par sont estimateur σ 2. En conséquence la nouvelle variable aléatoire ainsi construire n est plus distribué selon une loi normale mais suit une loi et Student à n t + n p 2 degrés de liberté. X t X p T nt+np 2 = σ 2( 1 n t + 1 ) T nt+np 2 n p avec σ 2 = ( 1 nt n t +n p 2 (X ti X t) 2 + n p (X pi X p) ). 2 t = 90, 2 96, 7 63, 4 ( ) = En prenant les tables de la loi de Student nous constatons que pval = IP(T nt+n p ) = 0, 056 Il y a dans ce cas plus de 5% de chances d observer un tel résultat. Il nous apparait donc plausible d expliquer cette différence entre le moyennes par le seul effet du hasard. Nous concluons dans ce cas en gardant cette hypothèse. Il n y a pas assez d évidence expérimentale pour nous convaincre que le traitement a vraiment un effet. Si le médecin souhaite poursuivre, il lui faut refaire une expérience sur plus de sujets.

14 Récapitulons : le test de comparaison des moyennes 1 la question : les deux groupes sont ils des réalisation de la même loi 2 le modèle : gaussien 3 les hypothèses : même variance σ 2 inconnue 4 caclul de x t x p t = σ 2( 1 n t + 1 ) n p x t moyenne avec traitement x p moyenne sans traitement ( n t n p σ 2 1 = n t+n p 2 (x ti x t ) 2 + (x pi x p ) 2) n t nombre de cas avec traitement n p nombre de cas sans traitement 5 calcul de la p-valeur T T nt+n p 2 (ou lecture sur les tables) pval = IP(T t) 6 on décide qu on ne peut pas conclure à l efficacité du traitement si la p-valeur est supérieure à 0,05, si pval 0, 05

16 La loi de Student : définition Soit N N (0, 1) une variable aléatoire normale centrée réduite. Soit X n la variable aléatoire distribuée suivant une loi du χ 2 à n ddl C est le cas par exemple, si N1, N 2,..., N n un échantillon de n réalisation n i.i.d. une variable aléatoire normale centrée réduite quand X n = supposons que N et X n sont indépendantes (i.e. cov(y, X n) = 0) N 2 i Definition (La loi de student) On appelle loi de student à n degrés de libertés la loi de la variable aléatoire T n T n = N N N (0, 1) X n n X n χ 2 n

17 La loi de Student : T n = N Xn n Figure: Exemples de loi de student pour 1 (bleu), 2 (rouge), 5 (vert), 10 (violet) et 20 (bleu ciel) degrés de liberté. La courbe en pointillés noir est la courbe de Gauss donnée comme référence. La figure de droite montre un zoom sur la «queue» de la distribution. Loi de Student et loi normale T n n + N (0, 1)

18 Propriétés et approximation Publiée pour la première fois en 1908 par William Sealy Gosset qui travaillait chez Guinness (la brasserie de Dublin). Pour des raisons commerciales, il a du utiliser le pseudonyme de Student, qui restera attaché à cette loi. tend vers une loi normale n > 30 attention la différence est plus importante dans les «queue» de la distribution : N N (0, 1) : IP(N > 2) = 0, 023 p1 = 1-cdf( norm,2,0,1) T T1 : IP(T > 2) = 0, 148 p2 = 1-cdf( t,2,1) T T 2 : IP(T > 2) = 0, 092 p2 = 1-cdf( t,2,2) T T 10 : IP(T > 2) = 0, 038 p2 = 1-cdf( t,2,10) U N (0, σ 2 ) N = U σ N (0, 1) T = Ṋ σ = N N1 2+N2 2 2 T 2

19 Le cas de la moyenne d un échantillon gaussien Soit X N (µ, σ 2 ) une variable aléatoire normale d espérance µ et de variance σ 2. Soit X 1, X 2,..., X n un échantillon de n réalisation i.i.d. de cette variable aléatoire. La moyenne X = 1 n n X i de cet échantillon suit aussi une loi normale ) X N (µ, σ2 n car IE(X ) = µ et V (X ) = σ2 n : IE(X ) = IE( 1 n n X 1 i) V (X ) = V ( n = 1 n n IE(X n X i) i) = = 1 1 n n n µ = µ n 2 V (X i) = 1 n n 2 σ2 = σ2 n

20 Le cas de la moyenne d un échantillon gaussien Soit X N (µ, σ 2 ) une variable aléatoire normale d espérance µ et de variance σ 2. Soit X 1, X 2,..., X n un échantillon de n réalisation i.i.d. de cette variable aléatoire. La moyenne X = 1 n n X i de cet échantillon suit aussi une loi normale ) X N (µ, σ2 n On peut donc construire la variable normale centrée réduite Y = X µ N (0, 1). Or Z σ n 1 = n (X i X ) 2 2 χ 2 σ 2 n 1 n On peut construire une variable aléatoire suivant une loi de Student T n 1 = Y Zn 1 n 1 = X µ σ 2 n n n 1 avec Sn 1 2 = 1 n n 1 (X i X ) 2. (X i X ) 2 σ 2 = 1 n 1 X µ n (X i X ) 2 n = X µ S n 1 n

21 Le test de Student (t-test) : deux échantillons gaussien Soit X N (µ x, σ 2 ) et Y N (µ y, σ 2 ) deux loi de même variance. On tire deux échantillons suivant ces deux loi. Soient X 1,..., X nx et Y 1,..., Y ny ces deux échantillons. Les variables suivantes X = 1 nx n X i et Sx 2 = n x (X i X ) 2 sont caractérisées par les lois : X N (µ x, σ2 ) ; Y N ( µ y, σ2 ) ; n x n y S 2 x σ 2 χ2 n x 1 ; S 2 y σ 2 χ2 n y 1 et donc X Y N ( µ x µ y, ( ) ) σ 2 n x n y ; S 2 x σ 2 + S 2 y σ 2 χ2 n x +n y 2

22 Le test de Student (t-test) X Y N ( µ x µ y, ( ) ) σ 2 n x n y ; S 2 x σ 2 + S 2 y σ 2 χ2 n x +n y 2 On définit alors la variable de Student suivante : T nx +n y 2 = n x + n y 2 X Y (µ x µ y ) ( ) 1 n x + 1 n y Sxy 2 n x avec Sxy 2 = Sx 2 + Sy 2 = (X i X ) 2 + (Y i Y ) 2 Si l on fait l hypothèse que µ x = µ y n y T = n x + n y 2 X Y ( ) 1 n x + 1 n y Sxy 2 suit une loi de Student à n x + n y 2 degrés de liberté.

24 Le test de Student (t-test) les deux échantilons : X t1,..., X ti,..., X tnt, X p1,..., X pi,..., X pnp i.i.d Les deux hypothèses 1 l hypothèse gaussiènne : soit Xti N ( µ t, σ 2) et X pi N ( µ p, σ 2) 2 même variance : σ 2 t = σ 2 p = σ 2 la question : les deux échantillons que nous observons sont-ils des réalisations d une même variable aléatoire? les hypothèses : { H0 : échantillons de même loi µ t = µ p H 1 : de lois différentes µ t > µ p X t X p la statistique : T = σ 2( 1 n t + 1 ) T nt+np 2 n p avec σ 2 = 1 n t+n p 2 ( n t (X ti X t ) 2 + (X pi X p ) 2) n p

25 Mise en œuvre du test de student 1 caclul de x t = 1 n t x p = 1 n p n t x ti n p x pi ( n t 2 caclul de σ 2 1 = n t+n p 2 (x ti x t ) caclul de x t x p t = σ 2( 1 n t + 1 ) n p moyenne avec traitement moyenne sans traitement n p (x pi x p ) 2) n t nombre de cas avec traitement n p nombre de cas sans traitement 4 calcul du nombre de degrés de liberté d = n t + n p 2 5 calcul de la p-valeur T T d (ou lecture sur les tables) pval = IP(T t) 6 on décide qu on ne peut pas conclure à l efficacité du traitement si la p-valeur est supérieure à 0,05, si pval 0, 05

26 Exemple de mise en œuvre du test de student groupe avec traitement (t) groupe sans traitement (p) Question : le traitement augmente-t-il la mesure?

27 Exemple de mise en œuvre du test de student groupe avec traitement (t) groupe sans traitement (p) Question : le traitement augmente-t-il la mesure? Réponse : on effectue le test de student : 1 x t = , x p = x t x p = ( σ 2 = 1 10 (x ti ) 2 + (x pi 29.92) 2) x t x p t = σ 2( ) 1 n t + 1 n p ( ) = calcul du nombre de degrés de liberté d = n t + n p 2 = 10 5 calcul de la p-valeur T T d (ou lecture sur les tables) pval = IP(T 1.959) = 1-cdf( t,1.959,10) = on décide qu on peut conclure à l efficacité du traitement car la p-valeur est inférieure à 0,05.

29 L exemple de la relation entre oxygène dissout et pression patient O 2 Pression sanguine p1 0,31 88 p2 0,30 83 p3 0,29 82 p4 0, p5 0,33 99 p6 0,31 85 p7 0,30 87 p8 0,34 89 p9 0,32 88 p10 0,28 88 p11 0,30 82 p12 0, p13 0, p14 0,32 96 p15 0,30 92 p16 0, p17 0,31 97 quantitative quantitative Question : Il y a t il une relation entre ces deux variables? { H0 : indépendance les hypothèses H 1 : dépendance Réponse : tester la pente de la droite pression = ao 2 + b + ε les hypothèses { H0 : a = 0 H 1 : a 0 la regression donne â = 0, 12 Cette valeur peut elle s expliquer par un hasard raisonnable?

30 un hasard raisonnable... 1 supposons qu il y a indépendance a = 0 2 générons plein (m = 1000, , + ) d échantillons (x i, y ij = ax i + b + ε ij ), i = 1, n j = 1, m 3 pour chacun de ces échantillon calculons â j 4 regardons la probabilité IP( â > 0, 12) 5 si cette probabilité est trop petite, il n est pas «raisonnable» de considérer que l hypothèse d indépendance est exacte.

31 Comparaisons de deux variables quantitatives et régression y i = ax i + b + ε i ε i N (0, σ 2 ) indépendance des ε i â = n (x i x)(y i y) n (x i x) 2 ( ) â N a, σ 2 1 n (x i x) 2 â a σ 2 n (x i x) 2 N (0, 1) ε i = y i (âx i + b) ε i σ N (0, 1) 1 σ 2 n ε 2 i χ 2 n 1 σ 2 n ε 2 i χ 2 n 2

32 Pente de la droite de régression et loi de student â a σ 2 n (x i x) 2 N (0, 1) 1 σ 2 n ε 2 i χ 2 n 2 or N χ 2 n n T 2 n avec σ 2 = 1 n 2 suit une loi de student à n degrés de libertés â a σ 2 n (x i x) 2 1 σ 2 (n 2) n ε2 i T n 2 = n ( yi (âx i + b) ) 2 et S 2 x = â a σ 2 S 2 x n (x i x) 2 T n 2

33 Mise en œuvre du test sur la pente de la régression { H0 : indépendance a = 0 1 les hypothèses : H 1 : dépendance a 0 n 2 caclul de â = (x i x)(y i y) n (x i x) 2 3 calcul de σ 2 = 1 n 2 4 caclul de n ( yi (âx i + b) ) 2 et de S 2 x = t = â σ 2 n (x i x) 2 5 calcul du nombre de degrés de liberté d = n 2 6 calcul de la p-valeur T T d (ou lecture sur les tables) S 2 x pval = IP( T t) 7 on décide qu on ne peut pas conclure à l efficacité du traitement si la p-valeur est supérieure à 0,05, si pval 0, 05

35 Conclusion La question cette variable quantitative est elle indépendantes de cette variable qualitative? comparaison de deux échantillons quantitatifs il vérifier les hypothèses avant d effectuer un test de student distribution normale (par exemple un test du χ 2 adapté) égalité de variances (test de Fisher) sinon il faut faire un autre test comme celui de Wilcoxon ou de Mann et Whitney il existes plusieurs variations du test de student... un échantillon (test d une valeur de l espérance) puisque X µ S n 1 n deux échantillons appariés test de la pente de la régression simple Il existe une théorie et des théorèmes pour définir les test théorème de Neyman Pearson T n 1

36 Repéres bibliographiques s_t-test http: //nte-serveur.univ-lyon1.fr/immediato/math/enseignement/ 07%20Statistiques/19.%20Comparaison%20de%20deux% 20moyennes%20-%20test%20de%20Student/chapitre_19.htm