Introduction à l optimisation multicritères

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1 Chapitre 11 Introduction à l optimisation multicritères 11.1 Introduction générale Jusqu à présent, nous avons considéré des situation où il s agissait de minimiser une unique fonction (un critère) sous certaines contraintes. Cependant, dans bien des situations pratiques, il s agit de trouver la meilleure situation possible pour un ensemble de critères. Il est rare que le minimum pour tous ces critères soit atteint au même point. Il s agit donc de faire compromis entre ces critères, et c est le but de ce chapitre d indiquer le sens que prend alors le mot solution d un tel problème de minimisation, et de mentionner quelques algorithmes permettant d obtenir de telles solutions. Exemple 11.1 Conception d aile d avion multicritère. Nous considérons une conception d aile telle que l on veuille minimiser simultannément la trainée en plusieurs conditions de croisière (plusieurs conditions de vol) simultanément. Nous considérons alors le problème min (f 1 (x),..., f p (x)) sous {g i (x) p i, i = 1,..., p} chaque f i (x) représente la valeur de la traînée pour la condition de vol i. La i-ème contrainte g i (x) p i correspond à une condition de portance. Un pratique quelques centaines de paramètre au plus sont considérés, et le calcul de des fonctions et des gradients met en jeu des calculs CFD coûteux. Definition 11.2 On appelle espace des critères l espace dans lequel les différentes surfaces du problème sont paramétrés en prenant les critères comme paramètres. L exercice 11.1 explicite cette notion. Exercice 11.1 Considérons le problème min (f 1 (x), f 2 (x)) subject to x 0, 1

2 2 Chapitre 11 : Introduction à l optimisation multicritères où f 1 (x) = 1 + x et f 2 (x) = x 2 4x + 5. L espace de décision est R et l espace des critères est R 2. Figure 11.1 représente le problème dans l espace de décision. Nous voyons que f 1 and f 2 n atteignent pas de minimum pour les mêmes valeurs de x dans [0, + [. Représenter la situation dans l espace des critères. Preuve 11.1 Démonstration : Considérons à présent l espace des critères. Dans cet espace, le problème est paramétrisé en utilisant les valeurs des f i (x) comme paramètre. Pour obtenir l image de l ensemble des points admissibles dans l espace des critères, nous posons y 1 = 1 + x et y 2 = x 2 4x + 5. la condition x 0 devient x = (y 1 ) 2 1 et y 1 1. En substituant x = (y 1 ) 2 1 dans y 2 = x 2 4x + 5 on obtient y 2 = y 4 1 6y Ainsi, l ensemble des contraintes {x : x 0} est représenté dans l espace des critères par l arc {(y 1, y 2 ) : y 2 = y 4 1 6y , y 1 1}, illustré en gras sur la Figure Le point important est de décider quel point sur cet arc est la meilleure solution du problème multicritère f 1 (x) =5 4x+x 2 f 2 (x) =(x+1) x Figure 11.1 Problème dans l espace de décision. Il s agit maintenant de donner un sens à minimiser la fonction vectorielle f(x) = (f 1 (x),..., f m (x)), ce qui n a pas de sens précis a priori. Definition 11.3 Le vecteur x C domine x C ssi on a f i (x) f i (x) pour chacun des critères f i, il existe i 0 tel que f i0 ( x) < f i0 (x) pour un certain i 0 {1,..., k}. Un vecteur x C est dit Pareto optimal ssi il n est dominé par aucun autre vecteur x C.

3 3 Chapitre 11 : Introduction à l optimisation multicritères y y 1 = 3 y 2 =y 4 1 6y y 1 Figure 11.2 Problème dans l espace des critères. Figure 11.3 Front de Pareto en gras. f(x ) est l image des contraintes. L ensemble Y := {(f 1 (x),..., f k (x)) x Pareto optimal} est appelé front (ou surface) de Pareto pour le problème d optimisation multicritère donné. On voit sur la figure 11.4 qu en général, que cet ensemble Y n est pas un ensemble très simple. Dans un problème multicritère la personne chargée de la minimisation cherche en général plusieurs (et idéalement, toutes les) solutions Pareto optimales. C est ensuite un décideur qui fait sa préférence en fonction de critères plus ou moins formalisés mathématiquement. Un technique très répendue d exploration du front de Pareto est la technique de la

4 4 Chapitre 11 : Introduction à l optimisation multicritères somme pondérée. On introduit le problème auxilliaire (P p ) { min k i=1 p if i (x) x C. Cette procédure est dite de scalarisation (on remplace la minimisation d un vecteur par celle d un scalaire). Exercice 11.2 Toute solution de P p est un point Pareto optimal pour le problème de minimisation multicritère de (f 1,..., f k ) sur C. Interprêter géométriquement ce résultat. Cette technique permet-elle de décrire complètement le front de Pareto sur la figure 11.4? Preuve 11.2 Démonstration : Supposons que x est solution de P p et qu il existe x C qui domine x. D après la définition, et f i (x) f i ( x) pour tout i = 1,..., k f i0 (x) < f i0 ( x) pour un certain i 0 {1,..., k}. On a alors k i=1 p if i (x) < k i=1 p if i (x), ce qui contredit le fait que x est solution de (P p ). Interprétons géométriquement cette procédure de scalarisation (avec deux critères f 1 et f 2 ). Pour résoudre (P p ), on minimise p 1 y 1 + p 2 y 2 sur F = f(c) ce qui correspond à chercher une droite p 1 y 1 + p 2 y 2 = c d ordonnée à l origine minimale et s appuyant sur F. Non, si le front de Pareto n est pas lui même convexe, cette technique ne permet pas de décrire la totalité du front. Une autre technique de scalarisation fort employée est la technique C ɛ -contrainte, où l on se ramème à un probllème mono-critère en traitant les p 1 autres critères sous forme de contrainte. Pour ce faire, on introduit le problème P(ɛ, j) : min f j (x) subject to { x X f i (x) ɛ i, i = 1,..., p, i j, (11.1) La Figure 11.4 montre le comportement de la méthode pour p = 2 et j = 2, pour un ensemble f(x ) qui n est pas convexe, avec 4 valeurs différentes pour ɛ 1. On voit sur cet exemple que la technique C ɛ -contrainte permet de mieux décrire le front de Pareto. Exercice 11.3 Supposons que P(ɛ, j) admette une solution unique x, alors elle est Pareto optimale. Réciproquement toute solution Pareto optimale est solution d un certain P(ɛ, j). Appliquer ce résultat au problème de la figure 11.4.

5 5 Chapitre 11 : Introduction à l optimisation multicritères Figure 11.4 Méthode C ɛ pour divers ɛ 1. Preuve 11.3 Démonstration : Supposons que x est solution de P(ɛ, j) et qu il existe x C qui domine x. D après la définition, f i (x) f i ( x) pour tout i = 1,..., k et f i0 (x) < f i0 ( x) pour un certain i 0 {1,..., k}. Alors x est une autre solution de P(ɛ, j), ce qui est impossible. La réciproque s établit aisément en considérant P(ɛ, j) pour ɛ = (f 1 ( x),..., f k ( x)) T et j = 1. Exercice 11.4 Toute solution de commune à P(ɛ, j), pour j = 1,... k, est un point Pareto optimal pour le problème de minimisation multicritère de (f 1,..., f k ) sur C. Réciproquement, si x est Pareto optimal, il existe ɛ tel que x est solution de tous les problèmes P(ɛ, j), pour j = 1,... k. Interprêter géométriquement ce résultat. Preuve 11.4 Démonstration : Supposons que x est solution de P(ɛ, j) pour tout j et qu il existe x C qui domine x. D après la définition, f i (x) f i ( x) ɛ i pour tout i = 1,..., k

6 6 Chapitre 11 : Introduction à l optimisation multicritères et f i0 (x) < f i0 ( x) pour un certain i 0 {1,..., k}. Cela qui contredit le fait que x est solution de P(ɛ, i 0 ). Pour la réciproque, il suffit de prendre ɛ = (f 1 ( x),..., f k ( x)) T. Alors x est solution de P(ɛ, j) pour tout j. Les techniques les plus sûres pour décrire le front même lorsqu il n est pas convexe sont basées sur des algorithmes génétiques. Ces techniques ont besoin d évaluer de très nombreuses fois les fonctions et sont donc peu praticables pour les fonctions très coûteuses que l on ne sait pas approximer avec peu de calculs. De nombreuses techniques d approximation sont disponibles pour résoudre ces problèmes : utilisation de réseaux de neurones, de techniques krigeage, ou de support vector machines.