La division euclidienne

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Maxime Renaud
il y a 7 ans
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1 1 A. Activité de découverte La division euclidienne 1. Le rangement Félicien veut ranger sa collection de 82 CD dans des compartiments qui peuvent chacun contenir 15 CD. Complète le tableau suivant : Nombre de compartiments Nombre de CD rangés Nombre de CD non rangés Combien reste-t-il de CD non rangés?... Quelle est la caractéristique des nombres écrits dans la deuxième colonne?. Gradue la droite en prenant comme repère la différence positive entre deux de ces nombres consécutifs Sur cette droite graduée, repère le point dont l abscisse est 82 Encadre 82 entre deux multiples consécutifs de < 82 < 15.. C est le quotient approché par défaut, à l unité près, de 82 par 15 C est le quotient approché par excès, à l unité près, de 82 par 15.

2 2 Effectue la division de 82 par 15, en calcul écrit. Complète : Le dividende (D) :. Le diviseur (d) : Le quotient (q) :.. Le reste (r) : Établis une égalité qui met en relation le dividende (D), le diviseur (d), le quotient (q) et le reste (r). Égalité numérique Pour la division «82 : 15» Égalité algébrique Représentation géométrique de cette division r q b On dit que la division euclidienne. exactement.

3 3 2. Les cartes Classe les cartes d un jeu de 52 cartes suivant leur couleur (noire ou rouge), leur symbole (carreau, cœur, pique ou trèfle) ou leur valeur (1, 2, 3, ) Nombre de cartes classement Nombre de cartes par tas 52 Par couleur (c est-à-dire ) 52 Par valeur (c est-à-dire ) 52 Par symbole (c est-à-dire ) Tu remarques que chaque classement peut s effectuer sans qu il ne reste de cartes (c est-à-dire que r = 0) Établis une égalité qui met en relation le dividende (D), le diviseur (d) et le quotient (q) Égalité numérique Pour la division «52 : 13» Égalité algébrique Représentation géométrique de cette division q b On dit que la division euclidienne. exactement.

4 4 3. Lien entre diviseur et reste Complète le tableau suivant : Dividende D Diviseur d Quotient q Reste r Quelles sont les différentes valeurs attribuées au reste?.. Compare ces valeurs avec le diviseur.. Encadre le reste r entre ces deux valeurs extrêmes.. r < B. Définition Lorsqu on fait la division ci-contre, le nombre D est appelé «.» d est appelé «.» r est appelé «..» q est appelé «.» Lorsque l on fait une division de nombre naturels avec reste, on l appelle La formule de la «division euclidienne» est :.. Lorsque r = 0, la formule devient :.. On dit que : D est.. de d et que d est de D

5 5 La division euclidienne est une opération qui, aux nombres naturels D et d (d 0), fait correspondre un unique nombre q et un unique nombre r tel que :.. Lorsque D n est pas un multiple de d, alors D est compris entre deux multiples consécutifs de d (encadrement du dividende).. C. Exercices 1. Dans chacun des cas suivants, calcule x et précise s il représente le dividende, le diviseur, le quotient ou le reste d une division euclidienne. 21. x + 20 = 83 x =.. x est x = 137 x =.. x est. x = 17 x =.. x est. x = x =.. x est. 2. Dans le tableau suivant, détermine les éléments manquants (le diviseur et le quotient sont toujours différents de 1) Dividende Diviseur Quotient Reste

6 6 3. Soit l égalité : 241 = a) Donne la valeur : du dividende :. du diviseur : du quotient : du reste : b) Encadre 241 entre deux multiples consécutifs du diviseur.. c) Donne la valeur : du quotient approché par défaut, à l unité près : du quotient approché par excès, à l unité près :. 4. En appliquant les relations de la division euclidienne, réponds aux questions suivantes : a) Quels sont les nombres qui, divisés, par 4, donnent un quotient égal à 15? b) Quels sont les nombres pour lesquels la division par 3, donne un reste égal au quotient? c) Quels sont les naturels inférieurs à 50 qui, divisés par 12, donnent un reste égal à 5? d) Quels sont les naturels qui, divisés par 7, donnent un quotient égal au triple du reste?

7 7 5. Pour chaque division proposée : a) Traduis la division euclidienne par une égalité b) Déterminer le plus grand naturel que l on peut ajouter au dividende sans changer le quotient. Justifie ta réponse en te basant sur la relation de la division euclidienne c) Détermine le plus petit naturel que l ont peut enlever au dividende sans changer le quotient. Justifie ta réponse en te basant sur la relation de la division euclidienne. Division euclidienne a) b) c) 365 : : : Écris chaque problème sous forme d une équation et résous-la a) La somme de deux naturels égale 707. Si on divise le plus grand nombre pas le plus petit, on obtient 21 pour quotient et 3 pour reste. Quels sont ces nombres? b) La différence entre deux naturels égale 267. Si on divise le plus grand nombre par le plus petit, on obtient 16 pour quotient et 12 pour reste. Quels sont ces nombres?

8 8 7. Le quotient et le reste de la division de a par b sont respectivement 25 et 4. Si la somme du dividende, du diviseur, du reste et du quotient est 501, détermine le dividende et le diviseur 8. Quelles modifications subissent le quotient et le reste de la division du naturel non nul a par le naturel non nul b a) Si l on multiplie par 10 le dividende et le diviseur? b) Si l on divise par 2 le dividende et le diviseur? 9. Vrai ou faux? Coche la bonne réponse et corrige les propositions incorrectes 1 Si l égalité 138 = traduit une division euclidienne, alors le diviseur est 7 2 Si un nombre x est tel que < x < , alors le quotient approché par défaut, à l unité près, est 21 3 Si le dividende est multiple du diviseur, alors le quotient est exact 4 Si on divise un naturel quelconque par 7, alors il y a 6 restes possibles 5 Le nombre 4 est le reste de la division de 32 par 7 6 Le reste d une division ne peut jamais être égal au dividende vrai faux

9 9 D. Petits problèmes a) Monsieur Dubois a reçu un lot de 60 CD qu il décide de partager entre ses enfants. Il en donne d abord 6 à chacun d eux. il lui en reste alors 18. Combien a-t-il d enfants?.. Lorsque le partage sera terminé, combien de CD chaque enfant aura-t-il reçus?... Combien restera-t-il de CD?... b) Ludivine dit à ses 5 frères : «Si je vous donne à chacun 6 billes, il m en restera 7». Et si Ludivine donnait 7 billes à chacun de ses frères, combien lui en resterait-il? c) Combien de sachets contenant chacun 12 œufs en chocolat peut-on préparer avec un sac de 4kg, si on sait qu un kg contient 100 œufs. Combien restera-t-il d œufs après la confection des petits sachets?

10 10 E. Petite énigme On se propose de découvrir le nom d un mathématicien grec du IIIe siècle avant J.-C.: Pour cela, on dispose des renseignements ci-dessous : Arrondi à l unité du quotient de 196 divisé par 9 Reste de la division euclidienne de 2004 par 222 Nombre divisible par 2 et par 5 compris entre 31 et 49 Quotient entier de la division de 32 par 2 Plus grand reste possible dans une division euclidienne par 9 Quotient entier de la division de 1079 par 216 Il suffira ensuite de remplacer chaque nombre trouvé par la lettre correspondante dans l alphabet, en respectant la règle : 0 A, 2 B, 4 C, 6 D, etc.

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