Feuille 3 : Espaces vectoriels et sous espaces vectoriels

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1 Feuille : Espaces vectoriels et sous espaces vectoriels Eercice. (Sous-espace vectoriels de R. Les sous-ensembles suivants de R sont ils des sous-espaces vectoriels? Faire des dessins!. {(, R + = }.. {(, R + = 4}.. {(, R = }. 4. {(, R }. Solution.. L ensemble E = {(, R + = } est un sous-espace vectoriel de R. En effet : (a (, appartient à E. (b Si (, et (, appartiennent à E il en est de même de la somme ( +, + car ( + + ( + = = + =. (c Si appartient à R et (, appartient à E alors.(, égal à (, appartient à E par la relation.( + ( = (. +. =.. L ensemble {(, R + = 4} n est pas un sous-espace vectoriel de R car (, n appartient pas à cet ensemble.. L ensemble E = {(, R = } n est pas un sous-espace vectoriel de R car il n est stable ni par addition ni par dilatation : Le vecteur (, appartient à E car = mais.(, n appartient pas à E car. 4. L ensemble E = {(, R } est stable par dilatation et contient mais n est pas stable par addition. Par eemple les vecteurs (, et (, appartiennent à E et pourtant la somme (, n appartient pas à E. Eercice. (Sous espace vectoriel engendré par deu vecteurs. On note u le vecteur et v le vecteur. On note R u = {a. u a R} et R v = {b. v b R}. Montrer que R u et R v sont deu sous espaces vectoriels de R.. Montrer que R u et R v sont en somme directe dans R. Sont ils supplémentaires?. On considère l ensemble des combinaisons linéaires de u et v Montrer que F est un sous espace vectoriel de R. F = {a u + b v a,b R}. 4. Montrer que R u et R v sont supplémentaires dans F. 5. On note w le vecteur Montrer de deu manières différentes que le vecteur w se décompose de manière unique comme somme d un vecteur de R u et un vecteur R v.

2 Solution. On note u le vecteur. On note et v le vecteur Montrons que R u est un sous espace vectoriel de R. R u = {a. u a R} et R v = {b. v b R}. (a Le vecteur nul appartient à R u car nous avons =. u. (b Soit v et w deu vecteurs de R u. Il eiste donc deu réels et β tels que v = u et w = β u. Par conséquent Ceci montre que l ensemble R u est stable par addition. v + w = u + β u = ( + β u R u. (c Soit un réel et v un élément de R u. Il eiste un réel tel que v = u. Nous avons alors v = ( u = ( u R u. Ceci montre que l ensemble R u est stable par multiplication eterne. Ainsi, l ensemble R u est un sous espace vectoriel de R. On montre de même que R v est un sous espace vectoriel de R.. Par définition les sous espaces vectoriels R u et R v sont en somme directe si et seulement si R u R v = {}. Soit w un vecteur appartenant à cette intersection. Par définition, w appartient à R u et à R v donc, il eiste deu réels et β tels que w = u = β v, c est à dire w = = β On en déduit que = β =. Ceci montre que w est le vecteur nul. Ainsi, les sous espaces vectoriels R u et R v sont en somme directe dans R. Ces deu sous espaces sont supplémentaires, si et seulement si R est égal à la somme R u + R v. Cela signifie que tout vecteur de R sécrit comme la somme d un vecteur de R u et d un vecteur de R v. Notons w le vecteur Si w appartient à R u + R v alors il eiste et β deu réels tels que w = u + β v, c est à dire = + β = + β + β Si et β eiste alors = β, = et + β = ce qui est impossible. Le vecteur w n appartient donc pas à la somme R u + R v, donc R R u + R v, ce qui montre que les sous espaces vectoriels R u et R v ne sont pas supplémentaires.. On considère l ensemble des combinaisons linéaires de u et v F = {a u + b v a,b R}. Montrons que F est un sous espace vectoriel de R. En effet soit w et w deu vecteurs de F. Il eiste des réels a, a, b et b tels que w = a u + b v, w = a u + b v. Remarquons alors que w + w = (a u + b v + (a u + b v = (a + a u + (b + b v est bien un vecteur qui appartient à F. Remarquons aussi que pour tout réel, w = a qui est un vecteur appartenant à F. Ainsi, F est un sous espace vectoriel de R.

3 4. Montrons que R u et R v sont supplémentaires dans F. Par définition, la somme F = R u + R v. Il reste à montrer que que l intersection des sous espaces vectoriels R u et R v est réduite au vecteur nul. Soit w un vecteur appartenant à la fois à R u et R v. Il eiste deu réels a et b tels que w = a u = b v : Ceci conduit au égalités w = a = b a = b, a =, a = b d où l on déduit a = b =, c est à dire w =. 5. On note w le vecteur On remarque que le vecteur w est égal à v u. Les sous espaces R u et R v étant en somme directe, cette décomposition est unique. En effet si il eiste a et b tels que w = a u + b v alors v u = a u + b v c est à dire v b v = a u + u R u R v = {} on en déduit donc que b = et a + = soit a = et b =. On peut aussi raisonner comme suit : soit a et b tels que w = a u + b v. Ceci conduit à résoudre le sstème qui a pour unique solution a = et b =. Eercice. (Sous espaces vectoriels de R. On se place dans R. On considère les sous-espaces vectoriels. Ces sous-espaces sont ils en somme directe? a + b = a = a + b = F = {(,, R + + = } et G = {(,, R = }.. Quelle est la somme F + G? Les espaces F et G sont ils supplémentaires?. Donner toutes les décompositions du vecteur (,, sur F et G. Mêmes questions avec G = {(,, R = = }. Faire des dessins pour illustrer les différents phénomènes observés dans cet eercice. Solution. On se place dans R. On considère les sous-espaces vectoriels F = {(,, R + + = } et G = {(,, R = }.. Déterminons l intersection des sous-espaces vectoriels F et G. Un vecteur de G est de la forme (,,, ce vecteur appartient à F si de plus + =. Par conséquent ce vecteur est colinéaire au vecteur (,,. Par conséquent F G = R(,,. Les sous espaces F et G ne sont donc pas en somme directe car leur intersection F G n est pas réduite à.. Afin de calculer la somme F + G, on peut par eemple écrire F et G sous forme paramétrée : F = {(,, R (, R } = R(,, + R(,,, de même G = {(,, R (, R } = R(,, + R(,,.

4 La somme F + G est l espace engendré par les vecteurs (,,, (,,, (,, et (,, c est à dire R. Remarquons en effet, que l on peut écrire (,, = (,, + (,, par conséquent l espace F + G contient les trois vecteurs (,,, (,, et (,,, il contient donc l espace engendré par ces trois vecteurs c est à dire R. Les espaces F et G ne sont pas supplémentaires car ils ne sont pas en somme directe.. Donnons toutes les décompositions du vecteur (,, sur F et G. Il s agit décrire avec,,, β réels. Nécessairement on a (,, = (,, + (,,β =, = +, = + β c est à dire =, =, β = + + =, par conséquent on a c est à dire (,, = (,, + + (,,. (,, = [(, + (,,] + [(,, + (,, ] On remarquera que la variable d ajustement est le vecteur (,, qui appartient à l intersection de F et G. Reprenons les questions précédentes avec G = {(,, R = = }.. L intersection de F et G est nulle, les sous-espaces F et G sont en somme directe.. Remarquons que le vecteur (,, appartient à G. Remarquons aussi que les vecteurs (,, et (,, appartiennent à la somme F + G : (,, = (,, + (,, et (,, = (,, + (,,. Par conséquent, la somme F + G contient l espace engendré par (,,, (,, et (,,, c est à dire R, par conséquent la somme obtenue est R. Les sous-espaces F et G sont en somme directe.. La somme étant directe nous savons grâce au cours que le vecteur (,, se décompose de manière unique sur F et G. Trouvons cette décomposition. Par ce qui précède une décomposition est de la forme (,, = (,, + (,, = (,, +, ainsi =, = et =. Cette fois-ci l intersection de F et G est réduite à, il n a pas de variable d ajustement. Eercice 4. (Eercice tpe.. On considère les parties suivantes de R {( C = R ; Ces parties sont elles des sous-espaces vectoriels de R? Quel est leur sous espace vectoriel engendré? Faire un dessin.. Montrer que les ensembles F = et sont trois sous-espaces vectoriels de R. } {(, D = R ; + =,G = H = 4 R ; R } R ; = R ; + =

5 . Montrer que F et G ne sont pas en somme directe. Montrer que les vecteurs i =, j = et k = appartiennent à la somme F + G. Que vaut la somme F + G? Donner toutes les décompositions du vecteur i = comme somme i F + i G avec i F F et i G G. Faîtes un dessin. 4. Montrer que les sous-espaces vectoriels F et H sont en somme directe. Montrer que tout vecteur u de R se décompose comme somme u F + u H avec u F F et u H H. En déduire que F et H sont supplémentaires. Faîtes un dessin. Solution 4.. A partir d un dessin on constate que la( partie C n est ( pas un sous-espace vectoriel de R, car elle ( n est pas stable par l addition. Par eemple les vecteurs et appartiennent à C mais leur somme n appartient pas à C. ( ( L espace engendré par C noté Vect(C est R. En effet, les vecteurs i = et j = sont des combinaisons ( ( linéaires de vecteurs de C : i C et j = +. Par conséquent les combinaisons linéaires de i et j appartiennent à l espace engendré par C. En particulier pour tout R, pour tout R nous avons ( = i + j Vect(C. Ce qui montre que Vect(C = R. {( L ensemble D = (a ( (b Soit u = D car. =. =. ( } R ; = est un sous espace vectoriel de R : ( et u = deu vecteurs de D. Soit un élément de R. Le vecteur u + u appartient à D : ( + u + u = et ( + + ( + = ( + ( =. Le sous espace vectoriel engendré par D est donc D.. Montrons que F = R ; + = est un sous-espace vectoriel de R. (a F car + =. (b Soit R et u = F, u = F. 5

6 Le vecteur u + u appartient à F car u + u = et ( + ( + + ( + = ( + + ( + = + =. Montrons que G = R ; + = est un sous-espace vectoriel de R. (a G car + =. (b Soit R et Le vecteur u + u appartient à G car u = G, u = u + u = G. et ( + + ( + = ( + + ( + = + =. µ Montrons que H = µ R ; µ R est un sous-espace vectoriel de R. µ (a H en prenant µ =. (b Soit R et Par définition même, nous avons u = µ µ µ u + u = H, u = µ + µ µ + µ µ + µ µ µ µ H. H.. Les sous-espaces vectoriels F et G ne sont pas en somme directe F G = ; = et = = R {}. Montrons que le vecteur i = appartient à la somme F + G. Cela signifie qu il eiste deu vecteurs i F = F et i G = β G γ 6

7 avec i = i F + i G. Utilisant les équations de F et G, nous pouvons réécrire les vecteurs sous la forme i F = + F et i G = β G. L égalité cherchée induit le sstème : + = + + β = = d où l on obtient =, = et β = et donc la décomposition i = = i F + i G = + où appartient à R. La décomposition du vecteur i sur les sous-espaces F et G n est pas unique car les sous-espaces ne sont pas en somme directe. Le paramètre d ajustement est un vecteur de l intersection que l on ajoute d un côté et retranche de l autre : avec i = = F, + + F G et G. Par le même raisonnement on décompose les vecteurs j et k comme somme de deu vecteurs de F et G : j = = j F + j G = + et k = = k F + k G = + + Par conséquent la somme F + G contient les vecteurs i, j et k donc elle contient leurs combinaisons linéaires. La somme F + G contient donc tous les vecteurs de R. Elle est donc égale à R. 4. Les sous-espaces vectoriels F et H sont en somme directe car leur intersection est réduite au vecteur nul. En effet soit u un vecteur appartenant à la fois à F et H. Par conséquent u s écrit sous la forme u = comme élément de H avec + = car u est un élément de F. Ceci montre que = donc u est le vecteur nul. Montrons que tout vecteur u = de R se décompose comme la somme u F + u H avec u F F et u H H. 7

8 On cherche pour cela u F sous la forme + β β et u H sous la forme = + β β + Ceci entraîne donc le sstème avec pour inconnues, et β : = + = + + β = + β. qui a pour solution =, β = + et = +. On obtient alors la décomposition : = u = u F + u H. c est à dire Ceci montre que la somme des sous-espaces F et H est R. On conclut donc que les sous-espaces sont supplémentaires. La solution du sstème étant unique, on remarquera que dans ce cas la décomposition du vecteur u est unique! Les sous-espaces F et H sont en somme directe, il n a donc plus de paramètre d ajustement appartenant à l intersection de F et H. 8