Continuité sur un intervalle

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1 Continuité sur un intervalle Bcpst 1 27 février 2017 Notations du chapitre Dans tout ce chapitre, et sauf mention contraire : I est un intervalle de non vide et non réduite à un point ; est un domaine de. I Fonction continue sur un ensemble Définition 1.1 Fonction continue sur un ensemble Soit f :. On dit que f est continue si et seulement si f est continue en tout point de. À l eception de, les fonctions usuelles sont toutes continues sur leurs domaines de définition. Théorème 1.2 Opérations algébriques Soient f et g sont deu fonctions continues sur un domaine et (λ, µ) 2. Les fonctions λ f + µg et f g sont continues sur. Si, de plus, g ne s annule en aucun point de alors f g est continue sur. Théorème 1.3 Composition Soient et deu domaines de, f : et g :. Si f est continue sur, si f et si g est continue sur, alors g f est continue sur. Eemple Les fonctions polynomiales sont continues sur ; Pour tout α, α est continue sur son ensemble de définition +.

2 II Théorème des valeurs intermédiaires 2 Démontrer qu une fonction donnée est continue grâce à ces théorèmes : rédaction complète. Eemple avec f () = ln(1 2 ), avec f : e 1 > 0 Continuité de f : e e Théorème 1.4 Composition avec une suite Soit f : continue, et (u n ) n une suite de réels à valeur dans. Si (u n ) n est convergente de limite a alors (f (u n )) n est convergente de limite f (a). Dém. En effet, par composée de limites la suite (f (u n )) n converge vers la limite de f en a. Mais comme a est supposé être dans, et que f est continue sur I, la limite de f en a n est autre que f (a). Ce théorème est utilisé dans l étude de suite de la forme «u n+1 = f (u n )». Eemple Soit la suite (u n ) n définie par Cette suite est-elle bien définie? u 0 = 0 u n+1 = u n Quelles sont les valeurs possibles de sa limite? Eemple La suite (u n ) n définie par u 0 = 0 u n+1 = u 2 n + u n + 1 est-elle convergente? Que pouvez-vous dire de sa limite? II Théorème des valeurs intermédiaires Le résultat essentiel de cette partie est le théorème des valeurs intermédiaires. On en donne 3 énoncés, qui sont en fait des façons différentes de dire la même chose. Théorème 2.1 Théorème des valeurs intermédiaires (I)

3 II Théorème des valeurs intermédiaires 3 Soit I un intervalle de contenant au moins deu points, f continue sur I, a et b deu points distincts de I. Si f (a)f (b) < 0 alors il eiste un point c entre a et b tel que f (c) = 0. Dém. On peut supposer, quitte à les renommer, que a b. : I une fonction On va montrer que c eiste en utilisant la méthode de la dichotomie. Définissons pour cela trois suites (a n ) n, (b n ) n et (c n ) n par a 0 = a, b 0 = b, c 0 = a + b 2 f(c n )f (a n ) 0 a n+1 = c n et b n+1 = b n sinon a n n+1 = a n et b n+1 = c n c n+1 = a n + b n 2 L idée est que tous les points (a n ) n sont du «même côté» de c, de même pour les (b n ) n, et que la distance b n a n décroit (vite!). Puisque I est un intervalle, ces suites sont à valeurs dans I. Elles sont donc correctement définies car la condition f (a n )f (c n ) 0 peut toujours être testée. On va maintenant démontrer que les deu suites (a n ) n et (b n ) n sont adjacentes. Soit n, si f (c n )f (a n ) 0 alors, d une part comme a n+1 est au milieu du segment, et d autre part a n a n+1 b n+1 b n b n+1 a n+1 = b n 1 2 (a n + b n ) = 1 2 (b n a n ) sinon on a f (c n )f (a n ) < 0. D une part comme b n+1 est au milieu du segment, on a toujours a n a n+1 b n+1 b n et de plus b n+1 a n+1 = 1 2 (a n + b n ) a n = 1 2 (b n a n ) Ainsi n, a n a n+1 b n+1 b n et b n+1 a n+1 = 1 2 (b n a n )

4 II Théorème des valeurs intermédiaires 4 Donc (a n ) n est croissante, (b n ) n est décroissante. Comme (b n a n ) n est géométrique de raison 1/2, elle est de limite nulle. Les deu suites sont donc adjacentes. Elles ont donc la même limite c. Comme f est continue sur I, Or par construction lim f (a n) = lim f (b n) = f (c ). n + n + n, f (a n ) 0 f (b n ) donc f (c ) = 0. Le réel c est donc le réel c cherché. Eemple si P est une fonction polynôme de degré impair, alors P admet une racine réelle. (pour traverser une rivière sans pont, il faut se mouiller!) si f et g sont deu fonctions définies sur [ 0 ; 1 ] telles que f (0) = g(1) = 0 et f (1) = g(0) = 1 alors il eiste un point tel que f () = g() ; si f va de [0 ; 1] dans [0 ; 1], alors f admet un point fie. Corollaire 2.2 Théorème des valeurs intermédiaires (II) Soit f : I une fonction continue sur I, où I est un intervalle de contenant au moins deu points. Soit a et b dans I et γ un réel entre f (a) et f (b). Il eiste un point c entre a et b tel que f (c) = γ. Dém. L hypothèse s écrit (f (a) γ)(f (b) γ) < 0. On applique alors le TVI à la fonction f γ qui est continue sur I : il eiste c entre a et b tel que f (c) γ = 0, d où le résultat. Corollaire 2.3 Théorème des valeurs intermédiaires (III) Soit f : I une fonction continue sur I, où I est un intervalle de contenant au moins deu points. Alors f I est un intervalle de. Dém. Prenons α et β dans f I. Il s agit de démontrer que si γ est entre α et β alors γ est dans f I. Soit a et b deu points de I, avec α = f (a) et β = f (b). D après le corollaire précédent, il eiste c entre a et b tel que f (c) = γ. Bien sûr c I, puisque I est un intervalle. Ainsi γ = f (c) f I. Corollaire 2.4 Soit f : I continue et soit a et b deu élements de I, éventuellement des bornes finies ou infinies. Alors 1) Si f est croissante :

5 f ] a ; b [ = lim f ; lim f a+ b f [ a ; b [ = f (a) ; lim f b f ] a ; b ] = lim f ; f (b) a+ f [ a ; b ] = [ f (a) ; f (b) ] 2) Si f est décroissante : f ] a ; b [ = lim f ; lim f b a+ f [ a ; b [ = f (b) ; lim f a+ f ] a ; b ] = lim f ; f (a) b f [ a ; b ] = [ f (b) ; f (a) ] II Théorème des valeurs intermédiaires 5 En pratique on lit l image d un intervalle directement sur le tableau de variations. Remarque I.0 Si f n est pas monotone, f [a ; b] est en général différent de [f (a) ; f (b)] : par eemple avec (1 ). Seul un tableau de variation bien construit permet de conclure. Remarque I.0 nature : Les intervalles I et f I ne sont pas nécessairement de même avec tan sur [ 0 ; π/2 [, l un est borné, pas l autre. avec sin sur ] 0 ; π ], l un est semi-ouvert, pas l autre. avec sin sur ] 0 ; 2π [, l un est ouvert, pas l autre. Cette remarque justifie l intérêt du théorème Théorème 2.5 Théorème des bornes atteintes Soit I est un segment de et f : I. Alors f I est aussi un segment de. Dém. Admis. Cette démonstration est inaccessible avec les moyens du programme. Corollaire 2.6 Une fonction continue sur un segment est bornée est atteint ses bornes. Dém. En effet affirmer que f [ a ; b ] = [ m ; M ] c est dire que f est bornée entre m et M et surtout qu il eiste (c, d) [ a ; b ] 2 tels que f (c) = m et f (d) = M.

6 III Théorème de la bijection continue 6 III Théorème de la bijection continue C est un théorème important, à la fois en théorie et en pratique. Hélas il est trop souvent confondu avec le TVI. Théorème 3.1 Théorème de la bijection continue Soit I un intervalle non vide de et f : I une application strictement monotone. La fonction f réalise une bijection de I sur f I. La bijection réciproque f 1, définie sur f I, est strictement monotone, et de même monotonie que f Si, de plus, f est continue, alors f 1 est continue sur l intervalle f I. Ce théorème, très important théoriquement, permet de définir une foultitude de fonctions et de s assurer facilement de leur continuité (notez que la dérivabilité est un autre problème...). Proposition 3.2 Soit f : I J une fonction bijective définie sur un intervalle I, à valeurs dans un intervalle J. Le graphe de la bijection réciproque f 1 est symétrique de celui de f par rapport à la première bissectrice. On retrouve ainsi le graphe de nombreuses fonctions connues.

7 III Théorème de la bijection continue 7 y ep() ln() Figure I.1 Graphes de ln et de ep. y 2 Figure I.2 Graphes de 2 et de.

8 III Théorème de la bijection continue 8 Application I.0 Définition de la racine n-ième. Voir le chapitre sur les fonctions usuelles. Application I.0 Définition de Arcsin, Arccos, Arctan. Idem. y tan() 1 π/4 Arctan() π 1 4 π/4 1 π 4 1 y Arctan() Figure I.3 Graphe de Arctan Corollaire 3.3 «Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires» Soit I un intervalle non vide de, f : I une fonction continue et strictement monotone sur I, a et b deu points de I. Si f (a) f (b) < 0 alors il eiste un unique point c entre a et b tel que f (c) = 0.

9 III Théorème de la bijection continue 9 Dém. La nouveauté est dans l affirmation de l unicité.