Rupture et Plasticité

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1 1 Rupture et Plasticité Plan du cours Comportements non linéaires des matériaux solides : Amphi 1 Rupture fragile : Singularités de contrainte et ténacité des matériaux : Amphi Analyse énergétique de la propagation d une fissure : Amphi 3 Plasticité : Comportement élasto-plastique : Amphi 4 Dissipation plastique : Amphi 5 Structures élasto-plastiques standard : Amphi 6 Charges limites : Amphi 7

2 Principales conclusions de l amphi 1 Nécessité de traduire des transitions entre régimes de comportement. Présence nécessaire de défauts microscopiques (microfissures, dislocations) Matériaux fragiles sensibles au clivage. Critère de la contrainte normale maximale : Sup n = 1 σ(n) σ 0. Matériaux ductiles sensibles au cisaillement.

3 3 Mécanique linéaire de la Rupture Amphis et 3 Objectifs : en restant dans le cadre de l élasticité linéaire expliquer comment la présence de micro-défauts fragilise un élément de volume de matériau.... dimensionner une structure en présence de fissures. Comprendre la nature des forces qui permettent l avancée des fissures.

4 4 Singularités de contrainte en élasticité et ténacité des matériaux I. Concentration de contrainte au voisinage d un défaut de forme elliptique. II. Singularités de contrainte en fond d entaille. III. Singularités de contrainte à la pointe d une fissure plane. IV. Ténacité des matériaux. V. Exemple

5 Cadre de travail : élasticité linéaire en H.P.P Hypothèse des petites perturbations : - Configuration actuelle = configuration initiale. - Tenseur des déformations linéarisées. Evolution quasi-statique : les termes d accélération sont négligés. Matériau élastique linéaire : homogène et isotrope. Equations de compatibilité : ε = 1 ( ) ξ + T ξ, Equations d équilibre : ( ) div σ + F = 0, Equations de comportement : σ = C : ε, T_ d Conditions aux limites : Ω F_ T = σ.n = T d sur S T, ξ = ξ d sur S ξ. d ξ_ 5

6 6 I. Concentrations de contrainte. Essai de traction uniaxiale sur éprouvette pleine et sur éprouvette trouée. Eprouvette pleine z y x S zone utile F z y x Eprouvette trouée F σ max σ b σ yy a x σ = σ e y e y, σ = F/S σ est uniforme, uniaxial, dans la zone utile. σ = σ xx e x e x + σ xy e x s e y + σ yy e y e y, σ i j (x,y,z). σ non uniforme, multiaxial, dans la zone utile. Le champ de contrainte est perturbé par la présence du trou (condition de bord libre).

7 Exemples de concentration de contrainte σ σ σ 3σ 3σ σ Trou circulaire Aux pôles : σ σ Inclusion rigide circulaire Aux pôles : σ rr = 0, σ θθ = Rσ. A l équateur : σ rr = 0, σ θθ = σ. R = 3. σ rr = R σ, σ θθ = νσ rr. A l équateur : σ rr = R σ, σ θθ = νσ rr. R = (5 + ν)/(3 ν)(1 + ν). 7

8 8 Rupture et décohésion de particules dans les composites à matrice métallique Décohésion Rupture de particule

9 Concentration de contrainte dans le cas des trous Contrainte normale maximale : σ yy σ max Sup x partie utile Sup n = 1 σ(x,n) = σ yy (a,0) = R σ. σ Facteur de concentration de contrainte (dans une plaque infinie, matériau homogène, isotrope) : b a x R = ( 1 + a ). b Lorsque le trou devient une fissure (rayon de courbure tend vers 0) : b 0, R +. En règle générale, R est inversement proportionnel au rayon de courbure du défaut. 9

10 10 Nonlinéarité de l amorçage et de la propagation d une fissure σ σ σ σ 3σ 3σ σ σ A configuration donnée, le problème d élasticité est linéaire, σ σ, σ σ, σ σ L amorçage de la fissuration (puis la propagation), basé sur le critère (non symétrique) de la contrainte normale maximale, rend le problème non linéaire.

11 Un V est il plus dangerereux qu un U? 11

12 1 II. Singularité de contrainte en fond d entaille Matériau élastique linéaire, homogène, isotrope. r θ ω Géométrie plane. Déformations planes ou anti-planes. Localement, entaille d ouverture (π ω). O Rappel : pour une entaille émoussée Sup σ(n) = R σ, R 1/ρ, ρ rayon de courbure du défaut. Quand ρ 0 contraintes singulières en fond d entaille. Quel que soit le corps considéré et le chargement appliqué, le champ de contrainte solution du problème d élasticité plane, linéaire, isotrope, posé sur un corps contenant une entaille d angle ω π/ est singulier en fond d entaille : σ i j = r α f i j (θ) + σ reg i j (r,θ) avec α < 0, lim r 0 σ reg i j (r,θ) <. L exposant α < 0 ne dépend que de la géométrie de l entaille (ω). Il est indépendant de la géométrie du corps, du chargement et des constantes élastiques (isotropes). En revanche les fonctions f i j dépendent de la géométrie du corps et du chargement appliqué.

13 13 Visualisation d une singularité de contrainte Photoélasticimétrie : visualisation des différences entre contraintes principales. c J. Salençon.

14 14 Lorsqu il y a concentration de contrainte, la contrainte s élève mais reste finie. Lorsqu il y a singularité de contrainte, la contrainte devient (asymptotiquement) infinie. Impossible d utiliser le critère de la contrainte normale maximale (rupture dès application d une charge infinitésimale). La signification physique d une contrainte infinie peut être mise en doute (OK en dehors d un tout petit volume). Traduit une très grande concentration de contrainte locale. Pour arrêter la propagation de certaines fissures : percer un trou!

15 Démonstration : On se limite au cas antiplan (plus simple). Le cas des déformations planes, un peu plus technique, est traité dans le poly. Déformations anti-planes : O O ξ(x,y) = ξ z e z. ε(x,y) = 1 ξ z x (e x e z + e z e x ) + 1 ξ z y (e y e z + e z e y ), σ(x,y) = µε = µ ξ z x (e x e z + e z e x ) + µ ξ z y (e y e z + e z e y ). Equations d équilibre (forces de volume nulles) : 0 = 0 selon e x, 0 = 0 selon e y, σ xz x + σ yz y = 0 selon e z. 15

16 16 Matériau homogène (µ = constante) : µ ξ z x + µ ξ z y = 0, ξ z(x,y) = 0. La fonction ξ z est harmonique. Application au problème de l entaille. Chercher une expression asymptotique de ξ z quand r 0 : r θ ω ξ z (r,θ) = r α+1 g(θ) au voisinage de O. Comportement asymptotique des contraintes : O σ rz = µ ξ z r = µ(α + 1)rα g(θ), Conditions aux limites (n = e θ ). σ θz = µ 1 r ξ z θ = µrα g (θ). Laplacien en coordonnées polaires : σ rθ = σ θθ = σ θz = 0 pour θ = ±ω. ξ = ξ r + 1 ξ z r r + 1 ξ z r θ = [(α + 1) g(θ) + g (θ)]r α 1.

17 17 g est donc solution de l équation différentielle : g (θ) + (α + 1) g(θ) = 0. Solution : g(θ) = Acos[(α + 1)θ] + Bsin[(α + 1)θ.] Conditions aux limites T = 0, θ = ±ω, (σ θz seule composante non nulle de T ) : σ θz = µ 1 ξ z r θ = µrα g (θ), σ θz = 0 pour θ = ±ω g (±ω) = 0. Système à résoudre pour déterminer A,B : cos[(α + 1)ω] sin[(α + 1)ω] A = 0. cos[(α + 1)ω] sin[(α + 1)ω] B 0 Il existe une solution non nulle si et seulement si le déterminant du système est nul. cos[(α + 1)ω]sin[(α + 1)ω] = 0, α = π ω + kπ ω 1 ou bien α = kπ ω 1.

18 18 solutions α conduisant à des contraintes singulières? σ ξ r α F(θ) singulier si α < 0. Solutions α conduisant à une énergie élastique finie : Z Z 1 σ : S : σ dω < r α rdr < α > 1. Ω Solutions singulières d énergie finie si 1 < α < 0. La plus petite solution dans cet intervalle (donc la plus singulière) est : k = 0, α = π 1, (rappel ω > π/ donc α < 0). ω Nous avons montré que certaines solutions singulières peuvent exister. On montre (plus difficile) que toutes les solutions sont de la forme : σ = r α F(θ) + σ reg, σ reg < +.

19 Singularités de contraintes dans les composites Même pour des bords très réguliers! (voir exposé de B. Chemoul.) F σ yy Bord libre Traction dans la direction z Couches de raideurs différentes. Bord libre. Etat de contrainte triaxial. Singularité de contrainte selon Oy au z y x voisinage du point triple. Dépend de la séquence d empilement. 19

20 0 III. Singularités de contrainte en pointe de fissure Entaille : ω = 3π/4. Fissure : ω = π. En déformations anti-planes : α = π ω 1 = 1/. Même singularité en déformations planes et en 3d. Le champ de contrainte présente une singularité en r 1/ en fond de fissure : σ i j f i j(θ) r au voisinage de r = 0, (ξ i g i r). où les fonctions f i j dépendent de la géométrie du corps considéré et du chargement appliqué.

21 1 Mode antiplan : mode III Le mode de rupture étudié plus haut est appelé mode III (anti-plan : déchirement d une feuille de papier) : y x σ rz σ θz K III πr sin K III πr cos ( ) θ, ( ) θ, z ξ z K III r µ π sin ( ) θ. Mode III Autres σ i j et ξ i nuls. Discontinuité de déplacement : Mode III : mode de cisaillement anti-plan. [[ξ]] = ξ(r,+π) ξ(r, π) = 4K III µ r π e z.

22 Modes plans de rupture : modes I et II ξ r K I r 4µ π [ (5 8ν)cos ξ θ K [ I r ( 7 + 8ν)sin 4µ π ( θ ) cos ( ) θ + sin ( 3θ )] ( )] 3θ + K [ II r ( 5 + 8ν)sin 4µ π + K [ II r ( 7 + 8ν)cos 4µ π où K I et K II dépendent de la géométrie du corps et du chargement appliqué. ( ) θ + 3sin ( ) θ + 3cos ( )] 3θ, ( )] 3θ. Discontinuité de déplacement : [[ξ]] = ξ(r,+π) ξ(r, π) 4(1 ν)k I r µ π e y + 4(1 ν)k II r µ π e x. Superposition de modes : y x Mode I pur (K II = 0) : mode d ouverture. Mode I Mode II z Mode II pur : (K I = 0) : mode de cisaillement plan.

23 3 Nature de la singularité de contrainte σ ij y r θ x r σ rr K I 4 πr [ 5cos ( ) θ cos ( )] 3θ + K II 4 πr [ 5sin ( ) θ + 3sin ( 3θ )], σ θθ K I 4 πr [ 3cos ( ) θ + cos ( )] 3θ + K II 4 πr [ 3sin ( ) θ 3sin ( 3θ )], σ rθ K I 4 πr [ sin ( ) θ + sin ( )] 3θ + K II 4 πr [ cos ( ) θ + 3cos ( 3θ )].

24 4 Facteurs d intensité des contraintes K I, K II, K III. Comment mesurer l intensité d une contrainte infinie? L exposant r 1/ est universel : identique pour toutes les fissures, quelle que soit leur forme. L intensité de la singularité peut être mesurée par les facteurs d intensité des contraintes K I, K II, K III qui dépendent du chargement et de la géométrie de l éprouvette. Analyse dimensionnelle σ K r K se mesure en MPa m. En général K est relié à une contrainte σ liées aux efforts appliqués et à une longueur l liée à la taille de la fissure : K = σ πl f (l,géométrie structure). Il faut savoir mesurer (pas facile de mesurer une singularité) ou calculer ces facteurs pour chaque géométrie et type de chargement : analytiquement (rarement), numériquement (souvent). Il existe des catalogues Handbooks of stress intensity factors regroupant les cas connus.

25 Exemples courants σ Fissure de longueur l dans un milieu infini. σ = σe y e y. 0 n_ m_ α Vecteur contrainte qui agirait sur le plan de la fissure en l absence de fissure : T = σcos α n + σcosα sinα m. Facteurs d intensité de contrainte (résultat exact) : K I = σcos α π l, K II = σcosα sinα π l. σ Fissure semi circulaire débouchante peu profonde dans une plaque infinie : K I = σ 1.πl (approché). σ 5

26 6 L (b épaisseur du barreau) h Barreau en flexion pure : Pour L ( ) l h > 4 : K I = f σ πl, h M σ = 3M bh, f (m) = m m...(approché). Eprouvette normalisée CT (Compact Tensile) : P e Données géométriques : φ = d = b 4, e = b, c d φ b h h = 1. b, c = 0.75 b, Pour 0.3 < l b < 0.7 : K I = P l be f f (m) m+ ( ) l, b 655.7m 1017m ,9m 4, m = l/h.

27 7 IV. Ténacité des matériaux Comment prédire la propagation des fissures?application du critère de la contrainte normale maximale impossible en présence de fissures. Théorie d Irwin (1957). Hypothèses : H1 : Le mode I (ouverture) est le plus dangereux dans les matériaux fragiles. H : Il existe une valeur critique de K I, appelée ténacité et notée K Ic, telle que : K I < K Ic l = 0 : fissure fixe, K I = K Ic l > 0 : avancée de la fissure. H3. Cette ténacité K Ic est une caractéristique du matériau indépendante de la géométrie de l éprouvette. Il s agit (une fois encore) d une loi à seuil. Elle porte sur le facteur d intensité des contraintes en mode I et non plus sur les contraintes. Alliage d aluminium Alliage de titane Acier trempé K Ic 30MPa m K Ic 100MPa m K Ic 10MPa m Polymère Bois Béton K Ic 3MPa m K Ic MPa m K Ic 1MPa m

28 8 Application du critère au dimensionnement (1) : charge maximale Soit une structure dont on sait qu elle contient une fissure de géométrie donnée, ou dont on craint qu elle contienne une certaine forme de fissure. 1ère étape : Déterminer le K I de la fissure : K I = σ πl f (l,géométrie structure), où σ s exprime en fonction du chargement appliqué. ème étape : Appliquer le critère du K Ic. Deux types de problèmes se posent : 1er type de problème : A longueur l de fissure donnée, déterminer le chargement maximal admissible, pour respecter la tenue aux défauts : K I < K Ic σ < σ c = K Ic πl f (l). Tout chargement au-dessus de σ c met la structure en danger de rupture par propagation de la fissure.

29 9 Application du critère () : taille critique des défauts nd type de problème : A chargement σ donné (charge de service), déterminer la longueur maximale des fissures acceptables : σ πl f (l) < K Ic l l c, avec l c f (l c ) = 1 π ( KIc l c est la taille critique des défauts (de géométrie donnée) admissibles dans la structure. Autre interprétation de la ténacité : mesure la tolérance aux défauts. Une structure contenant des défauts de taille supérieure à la taille critique est potentiellement dangereuse. Très grande importance des moyens de contrôle non destructif : Si on ne sait pas détecter (à temps) les défauts de taille critique, la structure est dangereuse. Ex : Taille critique des défauts sous charge de service : 5mm, fissures détectables 1cm : structure dangereuse, une fissure de 7mm pourra conduire à une rupture brutale et n aura pas été détectée avant la mise sous charge. σ ).

30 30 V. Exemple : réservoir sous pression Objectif : dimensionner un réservoir. Longue série d accidents sur réservoir à poudre de la NASA après la guerre. Remarquer la fissure parallèle à l axe du réservoir.

31 31 Le problème à résoudre H R pression p Pression interne p max = 50 MPa. Choix entre plusieurs nuances d acier caractérisées par leur contrainte ultime σ u et leur ténacité. Contrainte ultime : contrainte maximale supportable par le matériau sans défaut : σ eq σ u. Ténacité : caractérise la tolérance aux défauts de l acier. Données : nuance A : σ u = 150 MPa, K Ic = 90 MPa m, nuance B : σ u = 900 MPa, K Ic = 10 MPa m, nuance C : σ u = 650 MPa, K Ic = 190 MPa m.

32 3 Sensibilité aux défauts σ θθ σ zz Défauts dangereux (car difficilement visibles) : fissures débouchant sur la face interne. Le système de contrôle non destructif ne détecte que les fissures d un diamètre supérieur à 1cm. R l e : on peut assimiler le cylindre à une plaque infinie : K I = 1.1σ πl où σ est la contrainte normale d ouverture de la fissure. Question posée : Quelle est la nuance d acier qui supporte la contrainte appliquée, qui tolère les défauts d une taille inférieure à la limite de détection et qui conduit à l épaisseur minimale du réservoir.

33 33 Estimation des contraintes dans le réservoir Directions principales de contrainte : e r,e θ,e z. Equilibre de la moitié supérieure du réservoir : coupe horizontale : Résultante efforts pression sur 1/ réservoir πreσ zz e z = 0. Résultante des efforts de pression sur surface fermée = 0. Résultante efforts pression sur 1/ réservoir + Résultante efforts pression sur section droite = 0 Résultante efforts pression sur 1/ réservoir = πr pe z, σ zz = pr e.

34 34 De même équilibre d un 1/ réservoir (coupe verticale) : σ θθ = pr e. Par ailleurs σ rr p.donc, si e R : σ θθ > σ zz σ rr. Les fissures parallèles à l axe du réservoir sont les plus dangereuses (cf photo intro). Dimensionnement vis-à-vis des défauts Cas le plus défavorable : fissure verticale de rayon l : K I = 1.1σ πl = 1.1 pr e πl, où σ = σ θθ. L épaisseur e doit être telle qu en appliquant le critère du K Ic les fissures de longueur l < 0.5cm ne se propagent pas : e e R = pr 1.1 πl K Ic. nuance A : e = 15.3 cm, nuance B : e = 11.5 cm, nuance C : e = 7.3 cm.

35 35 Dimensionnement vis-à-vis de la contrainte ultime σ = pr e e θ e θ + pr e e z e z, s = pr e e r e r + pr e e θ e θ, σ eq = ( 3 (s rr + s θθ + s zz)) 1/ = L épaisseur minimale e u trouvée en imposant σ eq σ u : 3 pr e. 3 e e u = pr. σ u Pour la pression de service imposée, les épaisseurs nécessaires sont alors : nuance A : e = 6.9 cm, nuance B : e = 9.6 cm, nuance C : e = 13.3 cm. Récapitulation K Ic (MPa m) σ u (MPa) e R (cm) e u (cm) A B C Le meilleur choix est la nuance B avec épaisseur 11.5cm.

36 36 Conclusion Concentration de contrainte sur des défauts de faible rayon de courbure. Singularité de contrainte en pointe d entaille ou de fissure. Nouvelle propriété matériau : ténacité. Critère de propagation des défauts de type "loi à seuil". Taille critique de défauts. Théorie efficace qui permet effectivement le dimensionnement des structures. Cependant cette théorie est basée sur le caractère infini des contraintes en pointe de fissure. HPP?