BIENVENUE - Présentation du cours

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1 BIENVENUE - Présentation du cours Intervenants : Eric DAVALLE, Dr Ingénieur civil EPFL Chef du Service de l électricité de la Ville de Lausanne avec les assistants du LSMS 1

2 Présentation du cours T A B L E D E S M A T I E R E S Document à découvrir sur l intranet Semaines Exercices Chapitres Titres N Jour En classe En dehors(*) Mardi 7.10 et suivants Propriétés mécaniques des matériaux Traction plastique cadres poutres 1 Jeudi 15,4 Flexion plastique plane , 6.5.8, Flexion plastique plane , et , , et Mardi Torsion uniforme Jeudi Torsion uniforme Contraintes dues à l'effort tranchant Mardi Contraintes dues à l'effort tranchant Jeudi Contraintes dues à l'effort tranchant MS (V3) Formes intégrales d'équilibre et cinématique - Travaux virtuels Mardi Énergie (forces et déformations associées) Déformation des poutres soumises à la flexion simple Jeudi 10.3 Déformation des poutres soumises à la flexion simple Mardi 11,1 Sollicitations composées et 12.7 Principe des travaux virtuels et calcul des déplacements Jeudi 12.6, Principe des travaux virtuels et calcul des déplacements Mardi Calcul de la charge limite des structures hyperstatiques simples Théorèmes fondamentaux de l'analyse limite Jeudi Théorèmes fondamentaux de l'analyse limite Mardi Flambement des poutres Jeudi Flambement des poutres Mardi 20,8 Flambement des poutres Jeudi compléments / révisions Ouvrages de référence : Mécanique des structures, Volume 2, par François FREY et Mécanique du solide, Volume 3, MS (V3) par François FREY , , , , et , , et , , et , , et , , , , , et , , et , , , , , et , , et , , , et , , et , , , et , , et , , et (*) questions aux assistants LSMS 2

3 Semaines N Jour Mardi Chapitres 7.10 et suivants Titres Propriétés mécaniques des matériaux Traction plastique Jeudi 15,4 Flexion plastique plane Flexion plastique plane 2 Programme des semaines 1 à 4 Mardi Torsion uniforme Jeudi Torsion uniforme Contraintes dues à l'effort tranchant 3 4 Mardi Contraintes dues à l'effort tranchant Jeudi Contraintes dues à l'effort tranchant MS (V3) Formes intégrales d'équilibre et cinématique - Travaux virtuels Mardi Énergie (forces et déformations associées) Déformation des poutres soumises à la flexion simple Jeudi 10.3 Déformation des poutres soumises à la flexion simple 3

4 Programme des semaines 5 à Mardi 11,1 Sollicitations composées et 12.7 Principe des travaux virtuels et calcul des déplacements Jeudi 12.6, Principe des travaux virtuels et calcul des déplacements Mardi Calcul de la charge limite des structures hyperstatiques simples Théorèmes fondamentaux de l'analyse limite Jeudi Théorèmes fondamentaux de l'analyse limite Mardi Flambement des poutres Jeudi Flambement des poutres 8 Mardi 20,8 Flambement des poutres Jeudi compléments / révisions Ouvrages de référence : Mécanique des structures, Volume 2, par François FREY et Mécanique du solide, Volume 3, MS (V3) par François FREY 4

5 Tour d horizon sur les notions de RÉSISTANCE et de DÉFORMÉE/ DÉPLACEMENTS 5

6 RÉSISTANCE ÉLASTICITÉ 1ère année Traction et compression Flexion plane Flexion oblique et composée Loi linéaire élastique (Hooke) σ Torsion uniforme (Chap. 8) Contraintes dues à l effort tranchant (Chap. 9) τ 2ème année PLASTICITÉ Critères rhéologiques : (Chap. 7) critères de plastification : von Mises, critères de rupture : courbe intrinsèque, * σ σ e Traction plastique (Chap. 14) Flexion plastique plane (Chap. 15) M pl α = = M e Z W Notion de rotule plastique Sollicitation composée (Chap. 11) 6

7 ÉLASTICITÉ PLASTICITÉ ETATS PLASTIQUES (dans une section) distribution des σ à caractère isostatique Traction plastique (Chap. 14) Flexion plastique plane (Chap. 15) M pl α = = M e Z W Notion de rotule plastique RÉSISTANCE 2ème année Principe des déplacements virtuels (TGC 3, Chap. 7) HYPERSTATICITÉ (d une structure) Calcul de la charge limite des structures hyperstatiques (Chap. 16) Q 16 M lim pl Gain: = = 1,33α Qe 12 M e Théorèmes fondamentaux de l analyse limite (Chap. 17) Théorème statique Théorème combiné λ λ λ + lim Théorème cinématique M pl M M pl M plθ > 0 7

8 DÉFORMÉE / DÉPLACEMENTS 2ème année ÉLASTICITÉ Déformée des poutres soumises à flexion simple (Chap. 10) Forme intégrale de l équilibre et de la cinématique (TGC 3, Chap. 7) Principes des travaux virtuels appliqués aux poutres et calcul des déplacements (Chap. 12) Energie (Chap. 13) Fu ' = ' F u 2 dv 2 M dx = EI Théorème de la force unité vx ( ) par intégration N dx V dx M dx = + + 1uA N1 V1 M1 Ru 1 R L EA L GB L EI Théorème de réciprocité de Betti 8

9 Etapes d analyse d un problème de résistance type de section matériau z y Coupe A-A A A q [N/m] L F [N] sécurité (γ ) méthodes de calcul (modèles) matériau charges méthode des σ admissibles méthode semi-probabiliste 3 piliers{ THEORIE Equilibre (principe d équivalence, liant efforts intérieurs et les contraintes) Cinématique (sections planes restent planes Bernoulli) Loi constitutive - élastique (Hooke) - plastique (pour les matériaux ductiles, un bon compromis : comportement élastiqueparfaitement plastique) ETAPES DE RESOLUTION Etape 1: (statique) Réduire les charges extérieures appliquées en efforts intérieurs dans les sections (N, V, M, T ) Etape 2 : Résoudre les inconnues en (3 piliers) terme de contraintes σ et déformations ε Etape 3 : (modèle de matériau) Etape 4 : Calculer σ * (σ * au point le plus sollicité de la section la plus sollicitée!) Vérifier la résistance σ * σ e (ici, l acier, en méthode semi-probabiliste) les déplacements (flèches max.) traction compression σ ESSAIS ε Caractéristiques des matériaux (E, G, ) Résistance σ e (ici, l acier) Modèles de comportement à la ruine (plasticité, rupture) von Mises Courbe intrinsèque (Mohr-Coulomb) 9

10 7. Propriétés élasto-plastiques des matériaux 10

11 Comportement constitutif des matériaux Essai uniaxial en traction sur un matériau polycristallin σ e σ courbe σ (ε ) σ nlle limite élastique ε el ε (écrouissage) pl E 1 ε e = σ e /E E t = dσ /dε E 1 σ t déchargement élastique ε élastique (loi de Hooke) plastique F 11

12 Critères de plasticité et rupture 1. Introduction Propriétés En 1D, la transition du comportement est bien visible : σ t! σ e! Mais en 2D et 3D quel jeu de σ ij? entrée en plasticité ou apparition de la rupture? 12

13 Rappel sur les tenseurs déviateur et sphérique Soit σ ij le tenseur contrainte caractérisant l état de contrainte en un point O d un solide 1 1 σij = σδ 0 ij + sij avec σ0 = σii = σx + σy + σz 3 3 ou encore, matriciellement, ( ) σ0 0 0 σ11 σ0 σ12 σ13 σ = 0 σ 0 + σ σ σ σ σ 0 σ31 σ32 σ33 σ 0 Tenseur volumétrique ou contrainte sphérique Tenseur déviatorique ou déviateur des contraintes 13

14 Propriétés En plasticité, on définit des hypothèses restrictives d application : une distribution des contraintes homogène et uniforme (St Venant) on ne tient pas compte du facteur temps (sans viscosité, ) on est dans un stade de faibles déformations (bien avant la rupture) La plasticité décrit deux étapes de comportement : a) La condition (ou critère) d atteinte de l état plastique b) Le comportement d écrouissage une fois cette état plastique est atteint : le durcissement ("hardening") plastique du matériau l adoucissement ("softening") plastique du matériau 14

15 Propriétés a) Condition ou critère de plastification pl F( σij, εij ) = 0 pl εij est le tenseur des déformations plastiques σ ij est le tenseur des contraintes La formule F (σ ij, C, ) = 0 s appelle un : critère de plasticité (ou de rupture) avec, C propriétés mécaniques typiques du matériau (σ e, k ) F = ( σ σ ) 2k = 0 Tresca

16 Propriétés a) Condition ou critère de plastification Tout critère défini par une fonction doit être convexe et : Si F < 0, on est dans le critère ni plasticité ni rupture Si F = 0, on est sur le critère plasticité (ou rupture) Si F > 0, hors critère, est impossible. 16

17 a) Condition ou critère de plastification F est aussi appelée la surface plastique F > 0 F < 0 F = 0 17

18 Propriétés b) Comportement après plastification La différence fondamentale entre les déformations élastiques et plastiques vient du fait que les déformations plastiques sont fonctions du chemin ou de l histoire des contraintes lors de l application des sollicitations Formulation incrémentale des déformations e pl pl e ij ij ij ij ij Selon Hill, 1950, dw = dw - dw = σ ( dε dε ) = σ dε Ainsi, l accroissement (incrément) des déformations plastiques est régi par une loi d écoulement et on parle d écoulement plastique 18

19 Propriétés b) Comportement après plastification Pendant l écoulement plastique, le seuil de plasticité "F " peut évoluer. On parle de loi d écrouissage 19

20 Critères de plasticité et rupture 2. Premières idées Critère de la contrainte max(rankine) Plasticité ou rupture sous la contrainte principale maximale σ 3 σ I = σ e ou σ t σ III = σ e ou σ c Limite beaucoup trop la compression triaxiale σ 1 σ 2 Critère cubique 20

21 Critère de la déformation max (Saint-Venant) Plasticité ou rupture sous la déformation principale maximale σ 3 ε I = ε e ou ε t ε III = ε e ou ε c σ 2 Rankine Coupe σ 1 = 0 Ces deux critères, quasi 1D, sont trop simplistes 21

22 Critères de plasticité et rupture 3. Plasticité des métaux 1) Tresca (1864)-Guest (1900), ou τ max Plasticité lignes de Lüders à 45 τ max est déterminant! σ Généralisation : τ max, 3D est déterminant!!! σ σ σ 2 I III = C τ max 45 σ 22

23 Critère à 1 paramètre, C, typique du matériau. Trouver C? Essai de traction pure σ Ι = σ e et σ ΙΙΙ = 0 C = σ e /2 Critère de Tresca-Guest-τ max σ Ι σ ΙΙΙ = σ e (1) Linéaire Pas d effet de σ ΙΙ 23

24 FTresca = ( σ1 σ2 ) 2k = 0 Prisme hexagonal de Tresca 24

25 Critères de plasticité et rupture 3. Plasticité des métaux 2) von Mises (1913)-Huber (1904) Cylindre circonscrit au prisme 1 2 I σ 2 II + σii σ 2 III + σ III σ 2 ) ( ) ( I ) ( σ = σ Une seule équation (par commodité...) Quadratique Pas d arêtes (peu naturelles ) Toutes les contraintes principales (σ II!) Meilleur vis-à-vis des essais (hasard!) e 25

26 1 J2 = IIs = s s 2 ij ij F = J k = von Mises = ème invariant du tenseur déviateur des contraintes J (( σ σ ) ( σ σ ) ( σ σ ) )/ 6 26

27 Critères de plasticité et rupture 4. Critère de géotechnique 1) Mohr (1900)-Coulomb (1773) Coulomb observe et admet une loi de rupture F(σ, τ, C, ) = 0 linéaire τ = c σ tgφ Critère à deux paramètres: c cohésion φ angle de frottement interne La courbe intrinsèqueest linéaire Applications : sols cohérents (argiles, limons), certaines roches (grès, calcaires ), voire le béton, la brique et la fonte τ c φ σ 27

28 F F Mohr - Coulomb Mohr - Coulomb = ( σ σ ) ( σ σ ) sinφ 2ccosφ = 0 = τ σtgφ c = 0 Pyramide (plan déviatorique en hexagone irrégulier) Mohr-Coulomb 3 Hexagone régulier de Tresca = limite de Mohr-Coulomb quand ϕ

29 F F Mohr - Coulomb Mohr - Coulomb = ( σ σ ) ( σ σ ) sinφ 2c cosφ = 0 = τ σtgφ c = 0 29

30 c φ σ c σ t Matériau pulvérulent (sables ) Matériau sans cohésion : c = 0 et σ t = σ c = 0 φ seul paramètre (angle de talus naturel) Liaison avec les resistances à la traction σ t et à la compression σ c : φ τ σ c 1 σ c σ = σ t c σ t sinφ = 2 σ + σ c t 30

31 Critères de plasticité et rupture 4. Critère de géotechnique 2) Drucker-Prager (1952) σ 3 Cône enveloppant le critère de Mohr-Coulomb une seule équation et pas d arêtes. Equation : J 2 + AIσ B = 0 Critère à deux paramètres. Si A 0, Drucker-Prager von Mises σ 1 Drucker- Prager Mohr- Coulomb 1 3 σ

32 I 1 = σ ii 1 ij ij et ij σij δij Drucker-Prager 1 2 1er invariant du tenseur des contraintes 1 I J2 = ss s = 2 3 F = ai + J k = 0 2ème invariant du tenseur déviateur des contraintes 32

33 Relations entre les paramètres de Drucker-Prager et ceux de Mohr-Coulomb F ai J k Drucker-Prager = 1+ 2 = 0 2sinφ 6C cosφ En compression axiale : a = k = 33 ( sin φ) 33 ( sin φ) 2sinφ 6C cosφ En extension axiale : a = k = 33 ( + sin φ) 33 ( + sin φ) 33

34 Propriétés élasto-plastiques des matériaux Mots-clés à retenir impérativement tenseur des contraintes est la somme d une partie volumétrique et d une partie déviatorique la plasticité est décrite par deux étapes : le critère de plasticité (passage d un état élastique à un état plastique) avec la notion de l existence d une surface plastique (3D) le comportement après plastification (écrouissage) développement de modèles de comportement plastique modèle de von Mises (acier) modèle de Mohr-Coulomb (sol) 34