Calcul des éléments de charpentes métalliques

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1 Calcul ds élémnts d charpnts métalliqus III.1 Elémnts Soumis à la Traction Simpl Soumis à un traction suivant sa sction, un barr n acir s allong uniformémnt jusqu à un crtain limit, applé limit d élasticité. Il y a révrsibilité du phénomèn : si la charg st supprimé, la barr d acir rprnd sa dimnsion initial (loi d Hoo). Un élémnt soumis à la traction simpl st dimnsionné à la résistanc. Il faut vérifir qu : p p Antt : ffort normal pondéré l plus défavorabl [ g] : limit élastiqu [g/ mm 2 ] A ntt : sction ntt [mm 2 ] La sction ntt «A ntt» st la sction qui présnt la plus court lign d ruptur, ll st infériur à la sction brut «A brut» t dépnd du nombr d trous qu ll travrs t d lur disposition. a/ Cas ds trous régulièrmnt distribués : A n A brut/un plaqu b. dtr A ntt/un plaqu A brut/brut/un plaqu - 2.d tr. b F F A ntt A brut - n.d tr. Lign d ruptur probabl Pag 1

2 b/ Cas où ls trous n sont pas régulièrmnt distribués : - Lign A-B-C-D : A E H A n,1 b.- 2.d tr. b F B C d1 F d2 d3 d4 I J F t 1 t 2 - Lign A-B-F-G : A n,2 b.- 2..d tr.t 1 +.d 1 - Lign A-B-F-C-D : D G K l 1 l 2 l 3 A n,3 b.-3..d tr.(t 1+ t 2 ) +.(d 1+ d 2 ) - Lign H-I-F-J-K : Où di : rprésnt la distanc diagonal ntr boulon. A n,4 b.-3..d tr.(t 1+ t 2 ) +.(d 3+ d 4 ) B : Ls sctions ntts sont calculés pour un plaqu. L xprssion donnant ls valurs d chmin d ruptur st : L diamètr ds trous st calculé n fonction du diamètr ds boulons : d tr d bl + 1 mm pour d 14 mm d tr d bl + 2 mm d tr d bl + 3 mm A ntt A brut - n..d tr - Σ t i + Σ d i pour d 24 mm pour d 27 mm III.2 Elémnts Soumis à la Comprssion Simpl Ls déformations dus à la comprssion n jount pas toujours un rôl détrminant sur ls élémnts d structur vrticaux. En rvanch, un phénomèn d instabilité applé «flambmnt» apparait à partir d un crtain charg t n fonction du rapport xistant ntr la sction t la hautur d l élémnt considéré. L flambmnt st un form d instabilité propr aux élémnts comprimés élancés tls qu ls potaux, colonns t barrs comprimés. Pag 2

3 y l 0 x l 0 y z y z Lorsqu (ffort d comprssion) croît, l état d équilibr d l élémnt comprimé (n particulir ls élémnts élancés) évolu vrs un état curvilign fléchi (c st un flxion latéral) applé «flambmnt» x Rappl théoriqu : L flambmnt simpl affct ls piècs soumiss à la comprssion simpl. Son étud st du à EULER. Sa théori st fondé sur un poutr bi-articulé à ss xtrémités, soumis à un ffort normal d comprssion appliqué dans l ax OZ. Lorsqu croit, à partir d 0, l état d équilibr rctilign initial évolu vrs un état curvilign fléchi. D après la loi fondamntal d la flxion, issu d la résistanc ds matériaux, l momnt fléchissant s écrit : Equilibr différntill d scond ordr, dont la solution général st : Pag 3

4 La résolution d l équation slon ls conditions aux limits - Pour z0, y(0)0, B0 - Pour zl 0, y(l 0 )0, A sinα l 0 0, Alors : Sinα l 0 0, α l 0 π D où Si 0 alors 0 donc pas d déformation t la poutr rst rctilign, donc au minimum K1 c qui conduit a un valur minimal d : En introduisant la longuur d flambmnt l, ll s écrit alors : Avc Pour m1 Elémnt articulé dans ls dux (02) xtrémités ; m2 Elémnt articulé dans un xtrémité t ncastré dans l autr ; m4 Elémnt ncastré dans ls dux (02) xtrémités ; m1/4 Elémnt ncastré dans un xtrémité t libr dans l autr. A la forc critiqu d Eulr, corrspond un contraint critiqu, A étant la sction droit d la A poutr. Pag 4

5 Avc i : rayon d giration minimal Avc λ : Élancmnt imal d la pièc t l f : longuur d flambmnt l f α.l 0 (MPa) 235 π ² E λ² λ 93 λ Lorsqu : > aucun risqu d flambmnt t la ruin st attint pour ; < Il y a ruin par flambmnt lorsqu. Calcul sous l ffort d comprssion : L dimnsionnmnt ds élémnts comprimés s fait à la stabilité t non à la résistanc. Vérification à la stabilité : K Vérification à la résistanc : Avc : A : Contraint imal pondéré à la comprssion : Effort d comprssion imal pondéré à la comprssion A : sction transvrsal K : cofficint d flambmnt, il dépnd d l élancmnt d la pièc t d la nuanc d acir : K f ( λ, nuanc). Pag 5

6 Ls règls CM66 proposnt ds tablaux donnant K n fonction d λ (voir tablau) λ : Élancmnt d la pièc l avc : l f α.l λ f 0 i i : rayon d giration I min : momnt d inrti minimum d l élémnt A : Sction transvrsal i min I min A l 0 α 1 α 2 α 0.7 α 0.5 α 1 Elémnt articulé dans ls dux (02) xtrémités α 2 Elémnt ncastré dans un xtrémité t libr dans l autr α 0.7 Elémnt articulé dans un xtrémité t ncastré dans l autr α 0.5 Elémnt ncastré dans ls dux (02) xtrémités Cas particulir : Pour ls barrs à trillis, la longuur d flambmnt st égal a : Montants t diagonals : l f 0.8 l 0 Mmbrurs supériurs t infériurs : l f 0.9 l 0 Rmarqu : L dimnsionnmnt ds élémnts comprimés s ffctu par tâtonnmnt (vérification à la résistanc t à la stabilité). Pag 6

7 DIMESIOEMET DES ELEMETS COMPRIMEES Etap d dimnsionnmnt 1. Dscnt d charg (évaluation) 2. Combinaison d charg 3. Détrmination d l x t l y 4. Prndr un élancmnt moyn λ Détrmination du cofficint d flambmnt K 0 6. Calculr «(A brut ) nc» avc (A brut ) nc K 0 7. Choisir un sction brut «(A brut ) ch» avc (A brut ) ch (A brut ) nc 8. Détrmination d λ ( λ x t λ y ) corrspondant à (A brut ) ch t à K 1 9. Vérification Si : K 1 (A brut ) ch Si : K 1 (A ) brut ch > Il faut rdimnsionnr la sction II.3 Elémnts Soumis à la flxion Simpl Ls poutrs sont ds élémnts d charpnt qui travaillnt ssntillmnt n flxion sous l action d chargs vrticals. Ells sont utilisés n construction métalliqu comm : solivs pour soutnir un planchr, poutrs principals d ponts, limons d scalir, tablir d un pont, tc. On utilis l plus souvnt dux (02) sorts d poutrs : ds poutrs à âms plins ( IPE, IP, HEA, P.R.S, ) t ds poutrs à trillis ( composés). Pag 7

8 - L dimnsionnmnt ds élémnts soumis à la flxion simpl s fait à la résistanc. a- Vérification à la résistanc Il faut vérifir qu : Avc : pf pf M pf W x t W x I xx V pf M : Momnt fléchissant pondéré par rapport à l ax x-x W x : Momnt d résistanc par rapport à l ax x-x I xx : Momnt d inrti par rapport à l ax x-x V : Distanc ntr l ax nutr t la fibr la plus éloigné Pag 8

9 b- Vérification à la flèch Il faut vérifir qu : f f f adm Avc : L f élémnts d couvrtur (panns, lisss, tc...) adm 200 L f Poutrs principals, solivs, adm 300 f adm : flèch admissibl L : porté Flèchs d qulqus poutrs avc différnts Chargmnt t différnts mods d appui Rmarqu : La vérification d la condition d flèch doit s fair sans pondération ds chargs t surchargs. Pag 9

10 ORGAIGRAMME DE CALCUL POUR LES TROIS CAS DE SOLLICITATIO (TRACTIO, COMPRESSIO ET FLEXIO SIMPLE) 1. Calcul Sous un Effort d Traction Slon ls règls CM66 & Additif 80 Effort Axial d Traction pt Typ d Sction Brut tt A. A n. Avc : 2. Calcul Sous un Effort d Comprssion Slon ls règls CM66 Effort Axial d Comprssion A. Avc :. Pag 10

11 3. Calcul Sous momnt d flxion Slon ls règls CM66 Momnt d flxion imal M M f Wx Vérification à la résistanc f f adm f Vérification d la flèch Pag 11

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