Les équations aux dérivées partielles

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1 Didier Cassereau Laboratoire d Imagerie Biomédicale, UPMC CNRS INSERM, Paris, France ESPCI - Promotion 133

2 Généralisation du problème des équations différentielles plusieurs degrés de liberté en espace (1D, 2D ou 3D) éventuellement un degré de liberté en temps Quelques exemples souvent rencontrés en simulation numérique l équation d onde transitoire 1 2 u c 2 t 2 = 2 u x 2 [ + 2 u y u z 2 ] l équation de diffusion u t = x ( D u ) x l équation de Poisson 2 u x u = ρ(x, y) y2 2/35

3 L équation de Poisson Approche numérique résolution par différences finies généralisation des méthodes d Euler ou RK remplacement des dérivées partielles par développements de Taylor Maillage limité à une portion du plan xy { xi = x 0 + i x 0 i < I y j = y 0 + j y 0 j < J Conditions aux bords du domaine? 3/35

4 L équation de Poisson Développement de Taylor à l ordre 2 2 u u(x + x, y) + u(x x, y) 2u(x, y) x2 x 2 2 u u(x, y + y) + u(x, y y) 2u(x, y) y2 y 2 en notation discrète 1 x 2 (u i+1,j + u i 1,j 2u i,j ) + 1 y 2 (u i,j+1 + u i,j 1 2u i,j ) = ρ i,j 4/35

5 L équation de Poisson Réindexation 2D = 1D { 0 i < I 0 j < J = k = ij + j, 0 k < IJ nouvelle formulation de la solution (ε x = x 2, ε y = y 2 ) ε x (u k+j+1 + u k J 1 ) + ε y (u k+1 + u k 1 ) 2(ε x + ε y )u k = ρ k Attention : relations différentes sur les frontières du domaine conditions aux limites sur la solution ou ses dérivées lié directement au problème physique que l on résoud 5/35

6 L équation de Poisson Condition de Dirichlet : la solution est nulle en dehors du domaine 1 x 2 (u i+1,j + u i 1,j 2u i,j ) + 1 y 2 (u i,j+1 + u i,j 1 2u i,j ) = ρ i,j sur le côté gauche (i = 0) = 1 x 2 (u 1,j 2u 0,j ) + 1 y 2 (u 0,j+1 + u 0,j 1 2u 0,j ) = ρ 0,j sur le côté droit (i = I 1) = 1 x 2 (u I 2,j 2u I 1,j )+ 1 y 2 (u I 1,j+1 +u I 1,j 1 2u I 1,j ) = ρ I 1,j idem en bas (j = 0) et en haut (j = J 1) 6/35

7 L équation de Poisson Condition de Neumann : la dérivée normale est nulle aux bords 1 x 2 (u i+1,j + u i 1,j 2u i,j ) + 1 y 2 (u i,j+1 + u i,j 1 2u i,j ) = ρ i,j sur le côté gauche (i = 0) 1 x 2 (u 1,j u 0,j ) + 1 y 2 (u 0,j+1 + u 0,j 1 2u 0,j ) = ρ 0,j sur le côté droit (i = I 1) 1 x 2 (u I 2,j u I 1,j ) + 1 y 2 (u I 1,j+1 + u I 1,j 1 2u I 1,j ) = ρ I 1,j idem en bas (j = 0) et en haut (j = J 1) 7/35

8 L équation de Poisson - exemple Potentiel électrostatique en présence de lignes de charge V 2 x 2 + V 2 y 2 = ρ ε 0 ρ = densité volumique de charges ε 0 = permissivité électrique du vide condensateur, domaine 0 x 1 u.a., 0 y 1 u.a. ligne de charges + : 0.25 x 0.75 u.a., y = 0.4 u.a. ligne de charges : 0.25 x 0.75 u.a., y = 0.6 u.a. conditions de Dirichlet maillage de l espace avec N = 65 points = inversion d une matrice /35

9 L équation de Poisson - exemple Matrice très creuse (sparse matrix) nombre de termes : (env. 136 Mo) termes non nuls : (rapport 855) Méthodes d inversion pivot de Gauss si on a la place en mémoire Jacobi ou Gauss-Seidel + stockage sparse avec éventuellement sur-relaxation x i,k+1 = (1 ω)x i,k + ω b i a ij x j,k+1 a ii j<i j>i a ij x j,k ω : facteur de relaxation à choisir de manière optimale 9/35

10 L équation de Poisson - résultats points, 136 Mo, 51 secondes de calcul 10/35

11 L équation de Poisson - résultats points, 2.2 Go, 57 minutes 11/35

12 Problème aux valeurs initiales Formulation générale à une dimension (conservation du flux F) u t = x ( F( u) ) Exemple : équation d onde à une dimension Variables intermédiaires r = u x r t = ( ) u t x = u 2 u2 = c2 t2 x 2 u et s = t = ( u x t s t = 2 u t 2 = c2 2 u x 2 = u x ) = s x ( c 2 u x ) = x (c2 r) 12/35

13 Transformation de l équation d onde 1D r t = ( ) u = t x x s t = 2 u t 2 = c2 2 u x 2 = u x ( u t ) = s x ( c 2 u x ) = x (c2 r) = t ( r s ) }{{} u = x ( 0 1 c 2 0 ) ( r s ) } {{ } F( u) 13/35

14 Cas particulier de l équation (x, t) d ordre 1 Forme générale de l équation u u = c t x Résolution par différences finies, maillage de l espace et du temps { xj = x 0 + j x u t n = t 0 + n t n,j = u(t n, x j ) approximation d Euler en temps (plus simple) u t u n+1,j u n,j t approximation du deuxième ordre en espace (plus précis) u x u n,j+1 u n,j 1 2 x 14/35

15 Cas particulier de l équation (x, t) d ordre 1 Relation d itération u n+1,j = u n,j c t 2 x (u n,j+1 u n,j 1 ) Algorithme FTCS (Forward Time Centered Space) schéma explicite (calcul direct au temps n + 1 en fonction de la solution au temps n implémentation très simple reste à définir l état initial u 0,j, j, et les conditions aux bords droit et gauche = Stabilité de l itération? 15/35

16 Stabilité de l itération Cas particulier des solutions stationnaires monochromatiques u(t, x) = e i2πft v(x) v(x) = v 0 e ikx avec k = 2πf /c (nombre d onde) Solution analytique discrétisée en posant χ(k) = e i2πf t u n,j = v 0 e i2πfn t e ikj x = v 0 χ(k) n e ikj x Analyse de la stabilité - approche de Neumann : comportement de l itération pour une solution de la forme u n,j = χ(k) n e ikj x 16/35

17 Stabilité de l itération u n+1,j = u n,j c t 2 x (u n,j+1 u n,j 1 ) u n,j = χ(k) n e ikj x = χ(k) = 1 i c t x sin(k x) = χ(k) = 1 + ( c t x sin(k x) ) 2 > 1 k Méthode intrinsèquement instable numériquement 17/35

18 Algorithme FTCS - première variante On réduit nos ambitions en terme de précision on conserve l approximation d ordre 1 en temps u t u n+1,j u n,j t on se limite à l ordre 1 en espace également = Relation d itération u x u n,j+1 u n,j x u n+1,j = u n,j c t x (u n,j+1 u n,j ) 18/35

19 Algorithme FTCS - première variante Etude de la stabilité χ(k) = 1 + c t (1 cos(k x)) x } {{ } 1 i c t x sin(k x) = χ(k) > 1 k (exception cos(k x) = 1) Méthode intrinsèquement instable numériquement 19/35

20 Algorithme FTCS - deuxième variante La dérivée spatiale est calculée à gauche et non à droite on conserve l approximation d ordre 1 en temps u t u n+1,j u n,j t on se limite à l ordre 1 en espace également = Relation d itération u x u n,j u n,j 1 x u n+1,j = u n,j c t x (u n,j u n,j 1 ) 20/35

21 Algorithme FTCS - deuxième variante Etude de la stabilité χ(k) = 1 c t x (1 cos(k x)) + i c t x sin(k x) = χ(k) 1 avec la condition c t x 1 Condition CFL (Courant-Friedrichs-Lewy) indispensable pour assurer la stabilité numérique (CFL à 1D) c t x 1 21/35

22 Algorithme FTCS - stabilisation de Lax Variante de l algorithme FCTS on conserve l ordre 1 en temps on conserve l ordre 2 en espace on remplace u n,j par (u n,j+1 + u n,j 1 )/2 = Relation d itération u n+1,j = u n,j+1 + u n,j 1 2 c t 2 x (u n,j+1 u n,j 1 ) 22/35

23 Algorithme FTCS - stabilisation de Lax Etude de la stabilité χ(k) = cos(k x)) i c t x sin(k x) = χ(k) = cos(k x) 2 + Condition CFL c t x 1 ( c t x ) 2 sin(k x) 2 En général, χ(k) dépend de k, donc de la fréquence 23/35

24 Les conditions aux bords du domaine Domaine limité en temps on spécifie les conditions initiales on itère sur un nombre fini de pas temporels Domaine limité en espace maillage d une partie seulement de l espace physique conditions aux bord du domaine conditions de Dirichlet : champ nul aux bords du domaine conditions de Neumann : dérivée du champ nulle aux bords du domaine conditions intermédiaires : PML (Perfectly Matched Layer) 24/35

25 Exemple 1 : propagation d une déformation le long d une corde vibrante Problème physique corde vibrante de longueur L, tendue à chaque extrémité (tension T) µ = densité linéaire de masse : µ = m/ x condition de Dirichlet à droite mouvement imposé à gauche, suivi de condition de Dirichlet densité linéaire de masse non constante µ 1 sur la moitié gauche de la corde µ 2 sur la moitié droite de la corde Equation du mouvement 2 u t 2 = c2 2 u x 2, c = T µ 25/35

26 Exemple 1 : propagation d une déformation le long d une corde vibrante Développement de Taylor au deuxième ordre u(t + t) u(t) + tu (t) + t2 2 u (t) = u(t t) u(t) tu (t) + t2 2 u (t) 2 u(t, x) t 2 2 u(t, x) x 2 u(t + t, x) + u(t t, x) 2u(t, x) t 2 u(t, x + x) + u(t, x x) 2u(t, x) x 2 26/35

27 Exemple 1 : propagation d une déformation le long d une corde vibrante Relation d itération maillage spatial avec un pas x, N points maillage temporel avec un pas t u n+1,j = 2u n,j u n 1,j + ( c t x ) 2 [u n,j+1 + u n,j 1 2u n,j ] condition CFL : t = x/c max condition de Dirichlet à droite : u n,j = 0, j N mouvement imposé à gauche : u n,0 = e n ( e(n t)) e(t) fonction temporelle décrivant la vibration imposée 27/35

28 Exemple 1 : propagation d une déformation le long d une corde vibrante En live..../corde -N1000 -S1./corde -N1000 -S2./corde -N4000 -S1./corde -N4000 -S2 28/35

29 Exemple 2 : équation de diffusion Problème physique diffusion de la chaleur à 1D u t = D 2 u x 2 état initial u(t = 0, x) = f (x) donné condition de Dirichlet aux bords droit et gauche maillage spatial avec un pas x maillage temporel avec un pas t 29/35

30 Exemple 2 : équation de diffusion Développement de Taylor u t u n+1,j u n,j t 2 u x 2 u n,j+1 + u n,j 1 2u n,j x 2 = u n+1,j = u n,j + D t x 2 (u n,j+1 + u n,j 1 2u n,j ) Condition de Dirichlet : u n,j = 0, j < 0 (bord gauche) u n,j = 0, j N (bord droit) Schéma explicite FTCS 30/35

31 Exemple 2 : équation de diffusion Analyse de la stabilité numérique : solution particulière de la forme u n,j = χ(k) n e ikj x = χ(k) = 1 4 D t x 2 sin2 ( k x 2 ) = Condition de stabilité : t x2 2D Problème : relation quadratique entre t et x x x/2 : t t/4 31/35

32 Exemple 2 : équation de diffusion Régularisation par approche BTCS - méthode implicite on calcule la dérivée spatiale au temps n + 1 et non au temps n = u n+1,j u n,j t = D u n+1,j+1 + u n+1,j 1 2u n+1,j x 2 schéma implicite, plus de calcul direct au temps n + 1 en fonction du temps n = αu n+1,j 1 + (1 + 2α)u n+1,j αu n+1,j+1 = u n,j 32/35

33 Exemple 2 : équation de diffusion Régularisation par approche BTCS - méthode implicite Conditions de Dirichlet aux bords A = 1 + 2α α 0 0 α 1 + 2α α α α 0 0 α 1 + 2α = u n+1 = A 1 u n La matrice peut être inversée une bonne fois pour toutes 33/35

34 Exemple 2 : équation de diffusion Analyse de la stabilité numérique : solution particulière de la forme u n,j = χ(k) n e ikj x = χ(k) = D t ( k x x 2 sin2 2 ) = Méthode inconditionnellement stable 34/35

35 Exemple 2 : équation de diffusion En live..../diffusion -N100 -T /diffusion_implicite -N100 -T Matlab: draw_diffusion./diffusion -N100 -T /diffusion_implicite -N100 -T Matlab: draw_diffusion 35/35