LES SIMILITUDES PLANES

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "LES SIMILITUDES PLANES"

Transcription

1 LES SIMILITUDES PLANES Table des matières 1 Transformation du plan Définition Propriété : application réciproque Composée de transformations Définition Exemples Théorème Les similitudes planes Définition Propriété sur les distances R.O.C Les isométries Propriétés Une classification des similitudes Définitions Propriété : angle d une similitude directe Écriture complexe d une similitude directe Rappel sur les isométries Propriété R.O.C Propriété : similitudes et points fixes R.O.C Caractérisation d une similitude directe Cas particuliers Propriété : décomposition d une similitude directe Propriété : similitude directe qui transforme un couple de points R.O.C Similitudes indirectes Propriété : décomposition d une similitude indirecte Propriété : écriture complexe d une similitude indirecte

2 1 Transformation du plan 1.1 Définition On dit que f, une application du plan dans lui même, est une transformation du plan lorsque f est une bijection du plan c est dire que pour tout point M du plan il existe un unique antécédent M par f. Les isométries les translations, les rotations, les symétries) sont des transformations du plan. Les homothéties sont des transformations du plan. L application identité, notée id, qui à un point M associe le même point M, est aussi une transformation du plan. 1.2 Propriété : application réciproque Soit f une transformation du plan. L application du plan dans lui même qui à tout point N associe l unique point M tel que fm) = N est aussi une transformation du plan. Elle est appelée transformation réciproque de f et notée f 1. On a alors fm) = N M = f 1 N). Exemples La translation de vecteur u est la transformation réciproque de la translation de vecteur u. La rotation de centre Ω et d angle θ est la transformation réciproque de la rotation de centre Ω et d angle θ L homothétie de centre Ω et de rapport de rapport k. 1 k est la transformation réciproque de l homothétie de centre Ω et La symétrie d axe est sa propre transformation réciproque. On dit pour cette dernière qu elle est involutive. Montrons que f 1 est une application du plan. Si f est une transformation alors pour tout point N du plan il existe unique un point M tel que fm) = N. On peut ainsi considérer l application f 1 du plan dans lui même qui à tout point N associe le point M, soit M = f 1 N). Nous avons vu que f 1 était une application du plan dans lui même, montrons que f 1 est une transformation. Autrement dit que pour tout point M, le point N tel que f 1 N) = M est unique. On fait un raisonnement par l absurde. On suppose qu il existe deux points N et N, tels que M = f 1 N) = f 1 N ). Cette dernière égalité nous indique que fm) = N mais aussi fm) = N et donc N = N. Géométrie plane Page 2 Francis Rignanese

3 Similitudes planes 1.3 Composée de transformations Définition Soit f et g deux transformations du plan. L application composée, notée g f est une transformation qui associe à tout point M du plan le point M tel que g f)m) = g[fm)] = gm 1 ) = M. M f M 1 g f g Exemples La composition de deux translations de vecteurs u et v est la translation de vecteur u + v. La composition de deux homothéties de rapport k 1 et k 2 de même centre Ω est l homothétie de rapport k 1 k 2 et de centre Ω. La composition de deux rotations d angle θ 1 et θ 2 de même centre Ω est la rotation d angle θ 1 +θ 2 et de centre Ω Théorème Soit f et g deux transformations du plan. f 1 f = id La réciproque de la composée g f est une transformation du plan et on a g f) 1 = f 1 g 1. Démonstration du théorème Soit les point M et M tels que fm) = M. On a alors f 1 f ) M) = f 1 [fm)] = f 1 M ) = M Soit fm) = M 1 et gm 1 ) = M. On a alors f 1 g 1) g f)m) = f 1 g 1 g fm) = f 1 g 1 gm 1 ) = f 1 M 1 ) = M Ainsi f 1 g 1) g f) = id et donc g f) 1 = f 1 g 1. Géométrie plane Page 3 Francis Rignanese

4 2 Les similitudes planes 2.1 Définition Une similitude plane est une transformation du plan qui conserve les rapports des distances. A B B Si on nomme A, B et C les images par la similitude s des points A,B et C, on a A B B C = AB BC. C A 2.2 Propriété sur les distances R.O.C Une similitude plane multiplie les distances par un réel strictement positif k. Ce dernier est appelé rapport de la similitude. On a A B = kab. C Soit s une similitude transformant deux points distincts A et B en A et B. A B On nomme k le réel et soit M et N les images de deux points quelconques M et N du plan par s. AB A B Par définition de la similitude M N = AB MN A B MN = M N AB A B AB = M N MN = k. D où M N = kmn. Réciproquement, on suppose que pour tout point M et N ayant pour image M et N par une transformation s l égalité M N = kmn, où k est un réel strictement positif, est vérifiée. Soit A, B, C et D les images respectivement de A, B, C et D par s. On a alors A B = kab et B C = kbc d où A B B C = kab kbc = AB. Et donc s conserve les rapports des BC distances. C est donc une similitude. 2.3 Les isométries Une similitude de rapport 1 est appelée isométrie. Les translations, les rotations, les symétries et leurs composées sont des isométries 2.4 Propriétés Une similitude transforme un triangle en un triangle semblable. Une similitude de rapport k a pour transformation réciproque une similitude de rapport 1 k. La composée de deux similitudes de rapports respectifs k et k est une similitude de rapport k k. Soit ABC un triangle et A B C son image par une similitude de rapport k. On a alors A B = kab, B C = kbc, C A = kca. Ce qui prouve que A B C est semblable ABC. Comme la similitude s est une transformation, sa transformation réciproque s 1 l est aussi. De plus, si M = sm) sn) = N alors M = s 1 M ), N = s 1 N ) et M N = kmn, d où MN = 1 k M N. Géométrie plane Page 4 Francis Rignanese

5 Soit M et N deux points tels que M 1 = sm), N 1 = sn), M = s M 1 ), N = s N 1 ). On alors s sm) = M et s sn) = N et de plus M N = km 1 N 1 = k k MN 2.5 Une classification des similitudes Définitions Une similitude transforme un triangle en un triangle semblable. Elle conserve donc les angles géométriques. On distinguera donc celles qui conservent les angles orientés, les similitudes directes, et celles qui transforment un angle en son opposé, les similitudes indirectes. La translation, la rotation et l homothétie sont des similitudes directes. Un déplacement est une isométrie qui conserve les angles orientés. Les déplacements du plan sont les translations et les rotations. Une isométrie qui inverse les angles orientés est un antidéplacement. Les réflexions sont des exemples de similitudes indirectes. La composée de deux similitudes directes ou de deux similitudes indirectes est une similitude directe, la composée d une similitude directe avec une indirecte est une similitude indirecte Propriété : angle d une similitude directe Soit s la similitude directe qui transforme les points A et B en A et B et M un point quelconque du plan. Le point M = sm) vérifie : AM, A M ) = AB, A B ) [2π] L angle AB, A B ) est appel angle de la similitude directe s. D après la relation de Chasles sur les angles orientés : AM, A M ) = AM, AB )+ AB, A B ) + A B, A M ) [2π]. ) s tant une similitude directe elle conserve les angles orientés : AM, AB = A M, A B ) [2π]. D où AM, A M ) = AB, A B ) [2π] 2.6 Écriture complexe d une similitude directe Rappel sur les isométries L écriture complexe de : la translation de vecteur w d affixe b est z = z +b, similitude directe. l homothétie de centre le point Ω d affixe ω et de rapport le rel k est z = kz ω)+ω, similitude directe. la rotation de centre le point Ω d affixe ω et d angle le réel θ est z = e iθ z ω)+ω, similitude directe. la réflexion d axe O; u) est z = z, similitude indirecte. la réflexion d axe O; v ) est z = z, similitude indirecte. la symétrie centrale de centre O est z = z, similitude directe. Géométrie plane Page 5 Francis Rignanese

6 2.6.2 Propriété R.O.C Une application du plan dans lui même ayant pour écriture complexe z = az +b avec a C,b C est une similitude directe de rapport k = a et d angle un argument de a. Réciproquement, toute similitude directe, de rapport k et d angle θ a une écriture complexe de la forme z = az +b avec a C,b C. On a aussi k = a et θ qui est égal à un argument de a. Soit f l application du plan ayant pour écriture complexe z = az +b. On a alors z = z b et a étant a non nul on en déduit qu à chaque point M du plan d affixe z il existe un unique point M d affixe z tel que fm) = M. f est donc une transformation. Soit fm) = M et fn) = N. On a donc z M = az M +b z M z N = a z M z N z N = az N +b z M z N z M z N = a z M z N = a M N z M z N MN = a D où M N = a MN. f est donc une similitude de rapport a. A M ; A N ) ) ) ) zn z A azn +b az A b zn z A ) = arg = arg = arg = AM; AN. z M z A az M b az A +b z M z A f est directe. Son angle : AM; A M ) ) ) [ ] zm z A azm +b az A b azm z A ) = arg = arg = arg = arga). z M z A z M z A z M z A Réciproquement : soit s la similitude directe de rapport k et d angle θ qui transforme le point A en A et M un point du plan tel que M = sm). Par définition A M = kam et AM; A M ) = θ [2π] d où A M ) AM = k soit z A z M z A z M = k et arg za z M = θ [2π] z A z M Et donc z A z M z A z M = k e iθ soit z M = keiθ z +z A ke iθ z A qui est de la forme z = az +b avec a = ke iθ. 2.7 Propriété : similitudes et points fixes R.O.C Toute similitude directe, autre qu une translation admet un point fixe unique. Une similitude qui admet trois points fixes non alignés est l application identité. Une similitude qui admet deux points fixes A et B est soit l application identité soit la réflexion d axe AB). L écriture complexe d une similitude directe est z = az +b Et si ce n est pas une translation alors en plus d avoir a 0, on a a 1. Le point fixe doit avoir une affixe qui vérifie z = az +b d où z = b 1 a. Par l absurde. Soit A, B et C trois points fixes non alignés d une similitude f de rapport k. A A B B Et donc AB = kab d où k = 1. C C Soit M l image d un point M par f. On suppose M M. On a alors AM = AM, BM = BM et CM = CM Et donc les points A,B et C appartiennent la médiatrice de [MM ]. Géométrie plane Page 6 Francis Rignanese

7 Ce qui n est pas possible car les points A, B et C ne sont pas alignés. Soit A et B deux points distincts et invariants par une similitude f. A A Et donc AB = kab d où k = 1. B B Soit M l image par f d un point M n appartenant pas la droite AB). Si M = M alors f admet trois points invariants non alignés, c est donc l identité. Si M M alors AM = AM et BM = BM et donc AB) est ma médiatrice de [MM ]. Considérons s AB) la réflexion d axe AB) et les images par s AB) f des point A,B et M. sab) f ) A) = s AB) [fa)] = s AB) A) = A sab) f ) B) = s AB) [fb)] = s AB) B) = B sab) f ) M) = s AB) [fm)] = s AB) M ) = M D où s AB) f admet trois points fixes non alignés. C est donc l identité. Et si s AB) f = id alors s AB) s AB) f = s AB) soit f = s AB). Remarque Une similitude directe ayant au moins deux points invariants est nécessairement l application identité. 2.8 Caractérisation d une similitude directe Une similitude directe f qui n est pas une translation est déterminée par la donnée de son centre Ω unique point fixe) son rapport k et son angle θ. On la note f = SΩ;k;θ) Remarque Soit f la similitude directe ayant pour écriture complexe z = az +b avec a C, b C. Si a = 1 et b = 0 alors f = Id. Si a = 1 et b 0 alors f est la translation de vecteur w d affixe b. Si a 1 alors f est la similitude directe ayant un seul point invariant Ω son centre, de rapport k = a et d angle θ = arga). 2.9 Cas particuliers Soit f = SΩ;k;θ) Si k = 1, la similitude f est la rotation rω;θ). Si θ = 0[2π], la similitude f est l homothétie hω;k) Si θ = π, la similitude f est l homothétie hω; k) 2.10 Propriété : décomposition d une similitude directe La composée dans un ordre quelconque d une isométrie et d une homothétie de rapport k est une similitude de rapport k. Remarque Géométrie plane Page 7 Francis Rignanese

8 Soit f une similitude directe qui n est pas une translation, de centre Ω, de rapport k, et d angle θ. f est la composée de l homothétie hω;k) et de la rotation rω;θ). Ces deux applications commutent : f = hω;k) rω;θ) = rω;θ) hω;k). Une homothétie de rapport k est une similitude de rapport k et une isométrie est une similitude de rapport 1. Et donc la composée d une isométrie et d une homothétie de rapport k est une similitude de rapport k Propriété : similitude directe qui transforme un couple de points R.O.C Soient A, B, A et B quatre points du plan tels que A B et A B. Il existe une unique similitude directe qui transforme A en A et B en B. Rechercher une similitude directe qui transforme A en A et B en B revient rechercher deux nombres a et b tels que z A = az A +b z B = az B +b z B z A = az A z B ) a = z B z A z B z A, z A z B ). Et donc b = z A az A = z A z B z A z B z A z A. 3 Similitudes indirectes 3.1 Propriété : décomposition d une similitude indirecte Toute similitude indirecte est la composée d une réflexion et d une similitude directe. La composée d une réflexion quelconque et d une similitude directe est une similitude indirecte puisque une réflexion est une similitude indirecte de rapport 1. Soit f une similitude indirecte et s une réflexion d axe. On pose g = f s. g est la composée de deux similitudes indirectes, c est donc une similitude directe. D autre part g s = f s ) s = f s s = f id = f. 3.2 Propriété : écriture complexe d une similitude indirecte Une transformation est une similitude indirecte si et seulement si son écriture complexe est de la forme z = az+b avec a C,b C. Le rapport de la similitude est alors k = a et son angle θ = arga) [2π]. On a montré qu une similitude indirecte est la composée d une réflexion quelconque et d une similitude directe. Il suffit donc de prendre la réflexion d axe, l axe des abscisses dont l écriture complexe est z = z et une similitude directe dont l écriture complexe est z = az +b. Réciproquement : si f a pour écriture complexe z = az + b alors f est la composée de la réflexion d écriture complexe z = z et de la similitude d écriture complexe z = az +b. Géométrie plane Page 8 Francis Rignanese

Les similitudes. Définition Une isométrie est une transformation du plan conservant les distances.

Les similitudes. Définition Une isométrie est une transformation du plan conservant les distances. Mme Morel-Spécialité math-cours similitudes 1 Les similitudes 1 Vocabulaire, rappels 1.1 Transformations du plan Définition 1.1.1. Une application f du plan dans lui même est une tranformation si f est

Plus en détail

Cours : SIMILITUDES PLANES.

Cours : SIMILITUDES PLANES. A la fin de ce chapitre vous devez être capable de : définir une similitude plane à partir de la conservation des rapports des distances. en déduire la définition du rapport de similitude. faire le lien

Plus en détail

IIº ) Similitudes du plan ( généralités) Le plan complexe est muni d un repère orthonormé direct (O;u ; v ) Iº ) TRANSFORMATIONS DU PLAN

IIº ) Similitudes du plan ( généralités) Le plan complexe est muni d un repère orthonormé direct (O;u ; v ) Iº ) TRANSFORMATIONS DU PLAN Les similitudes planes Le plan complexe est muni d un repère orthonormé direct (O;u ; v ) Iº ) TRANSFORMATIONS DU PLAN s 1 Soit f une fonction du plan dans lui même. On dit que f est une transformation

Plus en détail

Similitudes directes du plan

Similitudes directes du plan Similitudes directes du plan I Transformations du plan - Déplacements Définition On dit qu'une application f du plan dans lui-même est une transformation si f est une bijection du plan dans lui-même, c'est-à-dire

Plus en détail

Similitudes planes. I Transformations du plan. Définition. Propriété (voir démonstration 01) Exemple. Exercice 01. Exercice 02. Exemple.

Similitudes planes. I Transformations du plan. Définition. Propriété (voir démonstration 01) Exemple. Exercice 01. Exercice 02. Exemple. Similitudes planes I Transformations du plan On dit qu'une application f du plan dans lui-même est une transformation si f est une bijection du plan dans lui-même, c'est-à-dire si pour tout point N du

Plus en détail

TRANSFORMATIONS ET NOMBRES COMPLEXES

TRANSFORMATIONS ET NOMBRES COMPLEXES TRANSFORATIONS ET NOBRES COPLEXES Table des matières Applications géométriques des nombres complexes. Arguments d un nombre complexe........................................... Ensemble de points du plan.

Plus en détail

() Compléments de géométrie 1 / 33

() Compléments de géométrie 1 / 33 Compléments de géométrie () Compléments de géométrie 1 / 33 1 Compléments de géométrie dans le plan complexe 2 Calcul barycentrique 3 Transformations du plan complexe () Compléments de géométrie 2 / 33

Plus en détail

Isométries planes. 1 Transformations du plan. 1.1 Dé nitions. 1.2 Composition

Isométries planes. 1 Transformations du plan. 1.1 Dé nitions. 1.2 Composition Isométries planes 1 Transformations du plan 1.1 Dé nitions Dé nition 1 Une transformation f du plan est une application du plan dans lui-même telle que pour tout point M 0 duplan,ilexisteununique point

Plus en détail

Proposition1.1. (i) Le composé d une rotation et d une translation (ou d une translation et d une rotation) est une rotation de même angle.

Proposition1.1. (i) Le composé d une rotation et d une translation (ou d une translation et d une rotation) est une rotation de même angle. Géométrie affine 0. Objet du cours. L objet de ce cours est de présenter les principales idées et les résultats importants de la géométrie élémentaire dans le cadre réel affine et dans le cadre réel euclidien,

Plus en détail

ISOMETRIES DANS LE PLAN

ISOMETRIES DANS LE PLAN Année Scolaire Isométrie 2011-2012 Terminale Association des Professeurs de Mathématiques de la Région de Sikasso et Sympathisants ISOMETRIES DANS LE PLAN 7 ème ASSEMBLEE GENERALE Koutiala Du 28 au 30

Plus en détail

(Isométrie et produit scalaire)

(Isométrie et produit scalaire) 1. Définitions et propriétés Définition (d une isométrie) Soit f une application du plan dans lui-même. On dit que f est une isométrie du plan si elle conserve la distance c est-à-dire pour tous points

Plus en détail

SIMILITUDES. 2. Composées de transformations élémentaires Soit t1 et t2 deux transformations, on cherche la nature de leur composée t2ot1.

SIMILITUDES. 2. Composées de transformations élémentaires Soit t1 et t2 deux transformations, on cherche la nature de leur composée t2ot1. SIMILITUDES I. RAPPELS SUR LES TRANSFORMATIONS ELEMENTAIRES def une transformation S du plan est une bijection du plan dans lui-même ; ceci signifie que * à tout point M du plan est associé un unique point

Plus en détail

Transformations du plan Chap 10 : et de l espace

Transformations du plan Chap 10 : et de l espace Transformations du plan Chap 10 : et de l espace Les définitions et propriétés sont valides aussi bien dans le plan que dans l espace. I. Définitions Définition 1 : On appelle transformation du plan (ou

Plus en détail

( ) ( ) Terminale S Chapitre 10 «Nombres complexes 2 ème partie» Page 1 sur 9. I) Forme exponentielle. 1) Argument du produit

( ) ( ) Terminale S Chapitre 10 «Nombres complexes 2 ème partie» Page 1 sur 9. I) Forme exponentielle. 1) Argument du produit Terminale S Chapitre 0 «Nombres complexes ème partie» Page sur 9 I) Forme exponentielle ) Argument du produit Propriété : Soient deux nombres complexes et d'arguments respectifs θ et θ. A B A B Alors un

Plus en détail

SIMILITUDES PLANES. - Considérons deux points distincts M et N. f étant une similitude, f conserve les rapports de distances.

SIMILITUDES PLANES. - Considérons deux points distincts M et N. f étant une similitude, f conserve les rapports de distances. 1 ) TRANSFORMATIONS DU PLAN SIMILITUDES PLANES On dit qu'une application f du plan dans lui-même est une transformation si f est une bijection du plan dans lui-même, c'est-à-dire si pour tout point N du

Plus en détail

et z B alors le vecteur AB a pour affixe le iy B. Alors par définition les coordonnées = x B, z B, z C et z D, z C = z B

et z B alors le vecteur AB a pour affixe le iy B. Alors par définition les coordonnées = x B, z B, z C et z D, z C = z B Chapitre 9 Nombres complexes et géométrie Dans tout ce chapitre on se place dans un repère orthonormal direct du plan complexe O ; i ; j. 1. Affixe d un vecteur Définitions et conséquences Définition :

Plus en détail

EXERCICES SUR LES ISOMÉTRIES ET SIMILITUDES Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako. Exercice 1

EXERCICES SUR LES ISOMÉTRIES ET SIMILITUDES Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako. Exercice 1 EXERCICES SUR LES ISOMÉTRIES ET SIMILITUDES Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako Exercice 1 Le plan affine euclidien P est rapporté au repère orthonormé ( O ; i ; j ). Soit f l application

Plus en détail

III. Géométrie du plan

III. Géométrie du plan 1 Repérage dans le plan 11 Repérage cartésien Définition 1 On appelle base du plan un couple ( i, avec i et deux vecteurs non colinéaires du plan Tout vecteur u du plan s exprime de manière unique comme

Plus en détail

Sylvain ETIENNE 2003/2004 PLC 1 Exposé 27

Sylvain ETIENNE 2003/2004 PLC 1 Exposé 27 HOMOTHETIES ET TRANSLATIONS ; TRANSFORMATION VECTORIELLE ASSOCIEE. INVARIANTS ELEMENTAIRES : EFFET SUR LES DIRECTIONS, L ALIGNEMENT, LES DISTANCES APPLICATIONS A L ACTION SUR LES CONFIGURATIONS USUELLES.

Plus en détail

TRANSFORMATIONS DU PLAN

TRANSFORMATIONS DU PLAN TRANSFORMATIONS DU PLAN On appelle transformation plane (ou transformation du plan) dans lui-même tout procédé qui, à partir de n importe quel point M du plan, permet de construire un point M du plan.

Plus en détail

Les nombres complexes

Les nombres complexes Les nombres complexes 8 novembre 009 Table des matières Définitions Forme algébrique Représentation graphique Opérations sur les nombres complexes Addition et multiplication Inverse d un nombre complexe

Plus en détail

LES NOMBRES COMPLEXES

LES NOMBRES COMPLEXES LES NMBRES CMPLEXES Table des matières Écriture algébrique d un nombre complee Définitions Propriétés 3 Somme, produit et inverse 4 Équation dans C Représentation géométrique d un nombre complee 4 Définitions

Plus en détail

Dans l ensemble du chapitre, on considère le plan muni d un repère orthonormal. est un nombre «complexe» (au sens de «composé» défini avec

Dans l ensemble du chapitre, on considère le plan muni d un repère orthonormal. est un nombre «complexe» (au sens de «composé» défini avec 1/Les Nombres Complexes Chapitre 4 Les Nombres Complexes. I. Définitions Objectif : On veut «construire» un ensemble de nombres contenant l ensemble des nombres réels, muni de deux opérations qui généralisent

Plus en détail

Transformations du plan et de l espace

Transformations du plan et de l espace [http://mp.cpgedupudelome.fr] édité le 24 septembre 2016 Enoncés 1 Montrer que si A et B sont des points fies de f alors la droite (AB) est invariante par f. Eercice 5 [ 0218 ] [Correction] Soient A, B,

Plus en détail

Théorème de l angle inscrit. Cocyclicité. Applications

Théorème de l angle inscrit. Cocyclicité. Applications Théorème de l angle inscrit. Cocyclicité. Applications Introduction : On se place dans plan affine euclidien orienté. On suppose connu : - Angles orientés de vecteurs, relation de Chasles - Pour un triangle

Plus en détail

I) Fiche : Transformations du plan et de l'espace.

I) Fiche : Transformations du plan et de l'espace. I) Fiche : Transformations du plan et de l'espace. E désigne l espace affine euclidien orienté associé à l'espace vectoriel euclidien orienté E muni d'une base orthonormale directe canonique B. On fixe

Plus en détail

Si une isométrie fixe trois points non alignés de P, c est l identité de P.

Si une isométrie fixe trois points non alignés de P, c est l identité de P. Isométries du plan Nous allons représenter les isométries du plan par des opérations algébriques. ais un peu de géométrie sera nécessaire au préalable. Nous considérons ici le plan euclidien P, c est-à-dire

Plus en détail

Université de Rennes Préparation au CAPES de mathématiques Feuille d exercices de géométrie

Université de Rennes Préparation au CAPES de mathématiques Feuille d exercices de géométrie Université de Rennes 1 2008-2009 Préparation au CAPES de mathématiques Feuille d exercices de géométrie Géométrie affine Exercice n 1 1) Montrer qu une partie non vide Γ d un espace affine réel X est un

Plus en détail

COURS DE SPÉCIALITÉ MATHÉMATIQUES Terminale S

COURS DE SPÉCIALITÉ MATHÉMATIQUES Terminale S COURS DE SPÉCIALITÉ MATHÉMATIQUES Terminale S Valère BONNET (postmaster@mathsaulycee.info) 15 mars 2007 Lycée PONTUS DE TYARD 13 rue des Gaillardons 71100 CHALON SUR SAÔNE Tél. : (33) 03 85 46 85 40 Fax

Plus en détail

1.1 Nombres complexes

1.1 Nombres complexes Université de Provence 011 01 Mathématiques Générales I Parcours PEIP Cours : Nombres complexes 1 Définitions 11 Nombres complexes Définition 1 On appelle nombre complexe tout élément z de la forme z a

Plus en détail

SIMILITUDES DANS LE PLAN

SIMILITUDES DANS LE PLAN SIMILITUDES DANS LE PLAN Jean Chanzy Université de Paris-Sud 1 Transformations du plan : Dans tout le chapitre, on désigne par P le plan ( habituel ) «R» en tant qu ensemble de points M dont les coordonnées

Plus en détail

Les transformations du plan

Les transformations du plan Les transformations du plan 6. Nombres complexes et transformations du plan... 6. Equations analytiques... 6. Les translations... 64. Les homothéties... 4 65. Les rotations... 5 66. Similitudes... 6 67.

Plus en détail

Une transformation f du plan est une fonction du plan dans lui-même qui, à tout point M associe un point M bien défini.

Une transformation f du plan est une fonction du plan dans lui-même qui, à tout point M associe un point M bien défini. Transformations d plan FICHE Dans ce cors, on va étdier des transformations d plan P : Une transformation f d plan est ne fonction d plan dans li-même qi, à tot point M associe n point M bien défini f

Plus en détail

Inversion complexe et cocyclicité

Inversion complexe et cocyclicité Inversion complexe et cocyclicité Jean-Marie Lion Université de Rennes Brève introduction aux nombres complexes L addition et la multiplication dans C sont définies de la façon suivante : si z = x + iy

Plus en détail

Géométrie dans le plan

Géométrie dans le plan Géométrie dans le plan Exercice 1. Montrer que l ensemble des z C tels que soient alignés les points d affixe z, iz et i est un cercle de centre Ω ( 1, 1 ) dont on donnera le rayon. Allez à : Correction

Plus en détail

UNIVERSITÉ DE CERGY Année U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques

UNIVERSITÉ DE CERGY Année U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques 1 UNIVERSITÉ DE CERGY Année 01-014 U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques Chapitre III : Complexes 1 Le Plan complexe 1.1 Introduction Dans tout ce chapitre,

Plus en détail

Transformations. Exemple : Dans une rotation, il y a un seul point invariant : le centre de la rotation.

Transformations. Exemple : Dans une rotation, il y a un seul point invariant : le centre de la rotation. Transformations 1. Généralités 1.1. Transformations Définition : On appelle transformation du plan (respectivement de l'espace), une bijection du plan (respectivement de l'espace) dans lui-même, c'est

Plus en détail

Vecteurs. I Translation. 1. Définition :

Vecteurs. I Translation. 1. Définition : Vecteurs I Translation Soit A et B deux points du plan. On appelle translation qui transforme A en B la transformation du plan qui a tout point M associe le point M tel que [AM ] et [BM] aient le même

Plus en détail

Nombres complexes - Équations et forme trigonométrique

Nombres complexes - Équations et forme trigonométrique Lycée Paul Doumer 0-04 TS Cours Nombres complexes - Équations et forme trigonométrique Contents Équation du second degré. Racines carrées..................................... Équation du second degré à

Plus en détail

BTS Mécanique et Automatismes Industriels. Nombres complexes

BTS Mécanique et Automatismes Industriels. Nombres complexes BTS Mécanique et Automatismes Industriels, Année scolaire 006 007 Table des matières. Les différentes écritures. - Forme algébrique d un nombre complexe. - Représentation géométrique d un nombre complexe.3

Plus en détail

Chapitre : ISOMETRIES PLANES

Chapitre : ISOMETRIES PLANES [COURS DE MATHEMATIQUES NIVEAU TC] 15 jin 2012 Chapitre : ISOMETRIES PLANES I. GENERALITES 1. Définition On appelle isométrie d plan tote transformation plan dans li-même qi conserve les distances ; c'est-à-dire

Plus en détail

LES ISOMÉTRIES DU PLAN Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako

LES ISOMÉTRIES DU PLAN Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako LE IOÉTRIE DU PLAN ite athstice de Adama Traoré Lcée Technique Bamako I Définitions: a Activité : oit f : P P oit a N d image tel que N comparer les distances d (, N et d (, N -- -- Réponse : d (, N d

Plus en détail

Transformations. 1 Généralités. 2 Transformations usuelles. 2.1 Translation. 2.2 Homothétie

Transformations. 1 Généralités. 2 Transformations usuelles. 2.1 Translation. 2.2 Homothétie 1 Généralités Transformations Dé nition 1 Une transformation f du plan est une bijection du plan dans lui-même (tout point du plan possède un unique antécédent par f). Remarque 1 Une projection sur une

Plus en détail

TRANSFORMATIONS DU PLAN

TRANSFORMATIONS DU PLAN 1 Généralités TRNSFRTINS DU PLN 1.1 Définitions Une transformation du plan est une application bijective du plan dans lui-même. utrement dit, c est un mécanisme qui associe à tout point du plan un point

Plus en détail

Terminale S - Nombres Complexes

Terminale S - Nombres Complexes Exercice - 1 Terminale S - Nombres Complexes Ecrire le nombre complexe z = 1 + i 3 sous sa forme exponentielle En déduire la forme algébrique de z 5 Exercice - 2 2iπ On pose ω = e 5 1 Calculer ω 5 et prouver

Plus en détail

Chapitre 7. Les nombres complexes. Objectifs du chapitre : item références auto évaluation. forme algébrique d un nombre complexe

Chapitre 7. Les nombres complexes. Objectifs du chapitre : item références auto évaluation. forme algébrique d un nombre complexe Chapitre 7 Les nombres complexes Objectifs du chapitre : item références auto évaluation forme algébrique d un nombre complexe résolution d équation du second degré dans C forme exponentielle d un nombre

Plus en détail

Transformations anes du plan et de l'espace

Transformations anes du plan et de l'espace Transformations anes du plan et de l'espace PCSI 2 Dans tous le chapitre, (E, ( )) désigne un espace vectoriel euclidien de dimension 2 (parties 1 et 2) ou 3 (partie 3). On notera la norme euclidienne

Plus en détail

NOMBRES COMPLEXES. Jean Chanzy. Université de Paris-Sud. u 3 + v 3 = q. = q = p3 27. u 3 + v 3 u 3 v p3. q v 3 = q p3.

NOMBRES COMPLEXES. Jean Chanzy. Université de Paris-Sud. u 3 + v 3 = q. = q = p3 27. u 3 + v 3 u 3 v p3. q v 3 = q p3. NMBRES CMPLEXES Jean Chanz Université de Paris-Sud Nécessité d introduire l ensemble C : Considérons l équation 3 5 4 = 0. Elle a pour solution évidente = 4. Le trinôme 3 5 4 se factorise en ( 4)( + b

Plus en détail

Première S 2 mai 2011

Première S 2 mai 2011 Première S mai 011 Exercices 11 1 Homothétie 1 Mathématiques Soit ABC un triangle, ( Γ ) son cercle circonscrit et O le centre de ( Γ ) Soit H le milieu de [BC] et D le point de ( Γ ) diamétralement opposé

Plus en détail

d(m 1,M 2 )=d(m 1,M 2). Proposition Une translation, une rotation ou une symétrie axiale est une isométrie du plan.

d(m 1,M 2 )=d(m 1,M 2). Proposition Une translation, une rotation ou une symétrie axiale est une isométrie du plan. Chapitre 1 Les isométries 19 juin 003 Définition 1.0.1 On appelle isométrie du plan une transformation, f, qui conserve les distances, c est-à-dire pour tout M 1,M,siM 1 = f(m 1 ),M = f(m ),ona d(m 1,M

Plus en détail

Chapitre 9 Les nombres complexes

Chapitre 9 Les nombres complexes Chapitre 9 Les nombres complexes Vocabulaire-représentation Définition des nombres complexes Définition Nombres complexes, partie réelle, partie imaginaire) On introduit i, un nombre qui vérifie i = On

Plus en détail

TS Applications géométriques des nombres complexes Cours

TS Applications géométriques des nombres complexes Cours TS Applications géométriques des nombres complexes Cours I. Forme trigonométrique d un nombre complexe non nul (O ; u ; v ) est un repère orthonormal direct du plan complexe 1. Module et argument d un

Plus en détail

Similitudes directes

Similitudes directes Similitudes directes Cours maths Terminale S Similitudes directes : Après de brefs rappels concernant les similitudes en général, on choisit dans ce module de s intéresser exclusivement au cas des similitudes

Plus en détail

SIMILITUDES DIRECTES PLANES

SIMILITUDES DIRECTES PLANES SIMILITUDES DIRECTES PLANES Nom de l étudiant: MOUNTOUMJOU Abdel Aziz Nom de l encadreur de l ENS: M. NNANG Hubert, MC, UY1 Nom de l inspecteur: M. TCHOUTIO Moise Nom de l encadreur du Lycée: M. FOTSING

Plus en détail

M = b d. a b ou M =. b a

M = b d. a b ou M =. b a Ce texte est extrait du cours optionnel de géométrie de l année universitaire 1999/2000. B.Ingrao Étude du groupe orthogonal dans le cas du plan. Dans ce qui suit, l espace est de dimension 2 ; en conséquence

Plus en détail

On dit que M est l origine du vecteur et N son extrémité.

On dit que M est l origine du vecteur et N son extrémité. ❶ - Vecteurs I-- Définition d un vecteur Définition : Lorsqu on choisit deux points distincts M et N dans cet ordre, on définit : - une direction : celle des droites parallèles à (MN) ; - un sens : de

Plus en détail

V. TRANSFORMATIONS AFFINES ET ISOMÉTRIES

V. TRANSFORMATIONS AFFINES ET ISOMÉTRIES V. TRANSFORMATIONS AFFINES ET ISOMÉTRIES En géométrie du plan cartésien réel R 2, on a étudié des transformations. Notamment les translations, les rotations, les symétries axiales et les homothéties. Ce

Plus en détail

Isométries affines et vectorielles

Isométries affines et vectorielles Chapitre 3 Isométries affines et vectorielles Objectifs de ce chapitre 1. Rappels sur les isométries vectorielles.. Groupe orthogonal en dimension et 3. Détermination d une isométrie vectorielle en dimension

Plus en détail

NOMBRES COMPLEXES. Ph DEPRESLE. 11 janvier Les nombres complexes-forme algébrique d un nombre complexe 2

NOMBRES COMPLEXES. Ph DEPRESLE. 11 janvier Les nombres complexes-forme algébrique d un nombre complexe 2 NOMBRES COMPLEXES Ph DEPRESLE janvier 06 Table des matières Les nombres complexes-forme algébrique d un nombre complexe Opérations dans l ensemble C. Addition dans C...........................................

Plus en détail

Géométrie plane et nombres complexes

Géométrie plane et nombres complexes chapitre 9 Page 1/ Géométrie plane et nombres complexes Exercice 1 Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O; u, v On considère les points A, B, C et D d'axes respectives 1, i, 1

Plus en détail

Cours de terminale S Les nombres complexes

Cours de terminale S Les nombres complexes Cours de terminale S Les nombres complexes V. B. et S. B. Lycée des EK 20 décembre 2014 Définition Vocabulaire Conséquences Définition Il existe un ensemble, noté C, d éléments appelés nombres complexes,

Plus en détail

TS - Maths - Révisions Nombres complexes

TS - Maths - Révisions Nombres complexes TS - Maths - Révisions Nombres complexes Exercice 1 LIBAN 01 On considère la suite de nombres complexes z n définie par z 0 = i et pour tout entier naturel n : z n+1 = 1 + iz n. Les parties A et B peuvent

Plus en détail

Pour simplier, on prend E = R 2, pas forcément euclidien dans ce paragraphe. ( ) Un vecteur u, ou x

Pour simplier, on prend E = R 2, pas forcément euclidien dans ce paragraphe. ( ) Un vecteur u, ou x Isométries anes I Rappel sur les applications anes 1 I.A Dénition........................................... 1 I.B Relation entre une application ane et sa partie linéaire................. 1 I.C Exemples

Plus en détail

NOMBRES COMPLEXES ET TRIGONOMÉTRIE

NOMBRES COMPLEXES ET TRIGONOMÉTRIE CHAPITRE 2 NOMBRES COMPLEXES ET TRIGONOMÉTRIE 1 Rappels de trigonométrie tanα sinα π 2 M(α) π α cosα 0 3π 2 Figure 2.1 Sinus, cosinus, tangente Définition 2.1 La tangente d un nombre réel x, notée tan

Plus en détail

Exercices corrigés sur les similitudes

Exercices corrigés sur les similitudes (guesmi.b) Exercices corrigés sur les similitudes Exercice 1: Dans le plan orienté, on considère un triangle OAB direct et rectangle en O. On désigne par J le milieu de [AB]. M est un point variable de

Plus en détail

Correction Bacalauréat S Centres Etrangers Juin 2007

Correction Bacalauréat S Centres Etrangers Juin 2007 Correction Bacalauréat S Centres Etrangers Juin 00 Exercice. Modélisation de l expérience aléatoire : l univers Ω est l ensemble des combinaisons (choix non ordonnés et sans répétition de trois éléments

Plus en détail

I. Nombres complexes. 1 Corps C des nombres complexes

I. Nombres complexes. 1 Corps C des nombres complexes 1 Corps C des nombres complexes Théorème 1. Il existe un ensemble C des nombres complexes qui possède les propriétés suivantes : C contient R. C est muni d une addition et d une multiplication qui suivent

Plus en détail

P R O D U I T S C A L A I R E.

P R O D U I T S C A L A I R E. ère S 00/005 Produit scalaire J TAUZIEDE P R O D U I T S C A L A I R E I- DEFINITION ET PREMIERES PROPRIETES ) Produit scalaire de deux vecteurs colinéaires Définition Soit u et v deux vecteurs colinéaires

Plus en détail

Géométrie dans les petits espaces affines euclidiens

Géométrie dans les petits espaces affines euclidiens Maths PCSI Cours Table des matières Géométrie dans les petits espaces affines euclidiens 1 Problèmes de distance 2 1.1 Equation normale d un hyperplan.................................. 2 1.2 Distance d

Plus en détail

Géométrie dans les espaces préhilbertiens

Géométrie dans les espaces préhilbertiens 13 Géométrie dans les espaces préhilbertiens Pour ce chapitre (E, ) est un espace préhilbertien et est la norme associée. 13.1 Mesures de l angle non orienté de deux vecteurs non nuls L inégalité de Cauchy-Schwarz

Plus en détail

Les nombres complexes

Les nombres complexes DERNIÈRE IMPRESSION LE 17 février 016 à 15:35 Les nombres complexes Table des matières 1 Introduction 1.1 Un problème historique......................... 1. Création d un nouvel ensemble.....................

Plus en détail

Dans tout ce qui suit, on se place dans un espace vectoriel euclidien E de dimension 2.

Dans tout ce qui suit, on se place dans un espace vectoriel euclidien E de dimension 2. Chapitre 3 Les angles 3.1 Angles orientés de vecteurs du plan 3.1.1 Groupe des rotations Dans tout ce qui suit, on se place dans un espace vectoriel euclidien E de dimension 2. Définition 3.1 On appelle

Plus en détail

Géométrie. δmaths BAC MATHS. M. Ezeddine ABDA DeltaMaths

Géométrie. δmaths BAC MATHS. M. Ezeddine ABDA DeltaMaths Géométrie BAC MATHS δmaths M. Ezeddine ABDA DeltaMaths Nombres complexes * +. Si, alors il existe un unique couple tel que. est la forme algébrique du nombre complexe. : la partie réelle de. : la partie

Plus en détail

Cours 2 nde D. CRESSON

Cours 2 nde D. CRESSON Cours 2 nde D. CRESSON 15 novembre 2008 Chapitre 1 LES NOMBRES I Ensembles de nombres 1 Dénomination On note N l ensemble des nombres entiers naturels N = {0; 1; 2; 3;...; 1643722;...} On note Z l ensemble

Plus en détail

Les transformations du plan

Les transformations du plan DERNIÈRE IPRESSION LE 28 juin 2016 à 19:23 Les transformations du plan Table des matières 1 Définition et propriétés 2 1.1 Transformation.............................. 2 1.2 Isométrie..................................

Plus en détail

Nombres complexes et application à la géométrie

Nombres complexes et application à la géométrie Nombres complexes et application à la géométrie I) Représentation graphique d un nombre complexe Le plan est muni d un repère orthonormé (O,u,v). 1) Affixe d un point a) Définition Si M est le point de

Plus en détail

( ) = 1, Im( z 1 ) = 2. ( ) = 0, Im( z 2 ) = 1. ( ) = 7, Im( z 3 ) = 0. = 1+ 2i. Re z 1 = i. Re z 2 z 3. z 1. = 7. Re z 3

( ) = 1, Im( z 1 ) = 2. ( ) = 0, Im( z 2 ) = 1. ( ) = 7, Im( z 3 ) = 0. = 1+ 2i. Re z 1 = i. Re z 2 z 3. z 1. = 7. Re z 3 I Forme algébrique d un nombre complexe 1 Il existe un ensemble noté et appelé ensemble des nombres complexes qui vérifie les propriétés suivantes : " ; L'ensemble est muni d'une addition et d'une multiplication

Plus en détail

Transformations et triangles isométriques. Avertissement: il existe d'autres transformations que celles vues en collège.

Transformations et triangles isométriques. Avertissement: il existe d'autres transformations que celles vues en collège. Table des matières I- Les transformations vues au collège... 1 I-1- De quoi s'agit-il?... 1 Avertissement: il existe d'autres transformations que celles vues en collège.... 1 I-2- La symétrie centrale....

Plus en détail

HOMOTHÉTIES - TRANSLATIONS - ROTATIONS

HOMOTHÉTIES - TRANSLATIONS - ROTATIONS HOOTHÉTIES - TRASLATIOS - ROTATIOS I s - Propriétés On appelle translation de vecteur u, l'application qui à un point associe l'unique point tel que = u On la note souvent t u (ou simplement t lorsqu'il

Plus en détail

Module : Algèbre 1 (S1)

Module : Algèbre 1 (S1) Université Mohammed V Faculté des Sciences-Rabat Département de Mathématiques ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Module

Plus en détail

Nombres Complexes Exercice 1. [5 pts] Équations

Nombres Complexes Exercice 1. [5 pts] Équations Nombres Complexes Exercice 1. [5 pts] Équations On se propose d étudier les solutions de l équation (E) z + 1 = 0 1. Vérifier que pour tout nombre complexe z, on a : z + 1 = (z + 1)(z z + 1). En déduire

Plus en détail

Chapitre 9 : Géométrie vectorielle

Chapitre 9 : Géométrie vectorielle Chapitre 9 : Géométrie vectorielle I Notion de vecteur 1 Translation et vecteur Soit A et B deux points du plan La translation qui transforme A en B associe à tout point C du plan l unique point D tel

Plus en détail

NOMBRES COMPLEXES. avec une calculatrice TI on écrit par exemple 5^(1/3) et on obtient environ 1,71. On a donc 3 5 1,71

NOMBRES COMPLEXES. avec une calculatrice TI on écrit par exemple 5^(1/3) et on obtient environ 1,71. On a donc 3 5 1,71 NMBRES CMPLEXES I - Représentation géométrique Rappel Pour tout réel k, il existe un unique nombre réel dont le cube est k. Ce nombre est appelé racine cubique de k. Il est noté 3 k ou aussi k n a par

Plus en détail

La Réunion 2010 BAC S Corrigé maths

La Réunion 2010 BAC S Corrigé maths La Réunion BAC S Corrigé maths J.-P. W. er juillet Exercice (commun) 6 points Partie A ) a) Sur ] ;+ [, la fonction affine (x x+ ) est strictement croissante et est à valeurs dans ];+ [, intervalle sur

Plus en détail

4 Racines n-ièmes d un nombre complexe Racines n-ièmes de l unité Racines n-ièmes d un nombre complexe quelconque...

4 Racines n-ièmes d un nombre complexe Racines n-ièmes de l unité Racines n-ièmes d un nombre complexe quelconque... Le corps C des nombres complexes Table des matières 1 Définitions algébrique et géométrique de C 1 1.1 Définition de C............................................. 1 1. Structure algébrique de C.......................................

Plus en détail

Chapitre 4. Applications

Chapitre 4. Applications Chapitre 4 Applications 1. Définitions et exemples Définition 4.1 Soient E et F deux ensembles. Une application f de E dans F est un procédé qui permet d associer à chaque élément x de E un unique élément

Plus en détail

MESURES ALGÉBRIQUES ET BARYCENTRES. I Mesures algébriques 2. 1 Définition 2. 2 Propriétés 2. II Barycentres 3

MESURES ALGÉBRIQUES ET BARYCENTRES. I Mesures algébriques 2. 1 Définition 2. 2 Propriétés 2. II Barycentres 3 MESURES ALGÉBRIQUES ET BARYCENTRES Table des matières I Mesures algébriques 2 1 Définition 2 2 Propriétés 2 II Barycentres 3 1 Barycentre d un système de deux points pondérés 3 1.1 Définitions.......................................................

Plus en détail

MATHÉMATIQUES II. Soit IP le plan vectoriel IR 2 muni du produit scalaire usuel et orienté par la base

MATHÉMATIQUES II. Soit IP le plan vectoriel IR 2 muni du produit scalaire usuel et orienté par la base MATHÉMATIQUES II Soit IP le plan vectoriel IR 2 muni du produit scalaire usuel et orienté par la base canonique (, ij) On notera o = (,) 00 l origine du plan Tout élément ( xy, ) de IP peut s interpréter

Plus en détail

BAC BLANC TS. x = t y = 2 t z = 2 2 t t. Proposition 5 : «la droite (AG) admet pour représentation paramétrique

BAC BLANC TS. x = t y = 2 t z = 2 2 t t. Proposition 5 : «la droite (AG) admet pour représentation paramétrique BAC BLANC TS La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l appréciation des copies. Exercice (5 points, non spécialistes) Polynésie juin 6 Pour

Plus en détail

Module et Argument d un nombre complexe

Module et Argument d un nombre complexe I Module et Argument d un nombre complexe Tout point M du plan peut être repéré par un couple de coordonnées polaires (r, θ) (r > 0, θ réel) M r est la distance OM ; θ est une mesure de l angle ( u, OM).

Plus en détail

THEOREME DE THALES. 3 e. Trois situations possibles où le théorème de Thalès peut s'appliquer : N [AC] et M [AC]

THEOREME DE THALES. 3 e. Trois situations possibles où le théorème de Thalès peut s'appliquer : N [AC] et M [AC] THEOREME DE THALES 3 e Hypothèses de départ Dans ce chapitre nous travaillerons avec les hypothèses suivantes : - (d1) et (d2) sont deux droites sécantes en un point A. - B et M sont deux points appartenant

Plus en détail

CHAPITRE 4 : Les nombres complexes

CHAPITRE 4 : Les nombres complexes CHAPITRE 4 : Les nombres complexes 1 Définition... 1.1 Théorème... 1. Définitions... 1.3 Théorème... Nombre complexe conjugué... 3.1 Définition... 3. Théorème 1... 3.3 Théorème... 3.4 Théorème 3... 5 3

Plus en détail

Corrigé du Baccalauréat S Antilles-Guyane 23 juin 2009

Corrigé du Baccalauréat S Antilles-Guyane 23 juin 2009 Corrigé du Baccalauréat S Antilles-Guyane 3 juin EXERCICE 4 points. On peut dénombrer les cas possibles à l aide d un tableau : Dé Dé A B C D A AA AB AC AD B BA BB BC BD C CA CB CC CD D DA DB DC DD Les

Plus en détail

TRANSLATION et VECTEURS : Composition de deux symétries centrales. 3ème_Chap.5_Translation et Vecteurs

TRANSLATION et VECTEURS : Composition de deux symétries centrales. 3ème_Chap.5_Translation et Vecteurs TRANSLATION et VECTEURS : Composition de deux symétries centrales 1 Activité «avant de démarrer» p200 LIEN ENTRE TRANSLATION ET VECTEUR 2 I VECTEURS 1. Définition Un vecteur est défini par une direction,

Plus en détail

CLASSE DE SECONDE ACTIVITES GEOMETRIQUES. TRIANGLES ISOMÉTRIQUES ET SEMBLABLES.

CLASSE DE SECONDE ACTIVITES GEOMETRIQUES. TRIANGLES ISOMÉTRIQUES ET SEMBLABLES. LSSE E SEONE TIVITES GEOMETRIQUES. TRINGLES ISOMÉTRIQUES ET SEMLLES. 1. L isométrie. 1.1 éfinition de l isométrie. Une isométrie du plan est une transformation du plan qui conserve les longueurs. tout

Plus en détail

Isométries : Déplacements - Antidéplacements

Isométries : Déplacements - Antidéplacements 4 ème année Maths Isométries : Déplacements - Antidéplacements Novembre 009 A LAATAOUI Exercice n 1 : ABCD est n carré direct ; ( AB, AD) [ est la médiatrice d segment [ BC Soit f ne isométrie distincte

Plus en détail

NOMBRES COMPLEXES (Partie 3)

NOMBRES COMPLEXES (Partie 3) NOMBRES COMPLEXES (Partie 3) 1 Dans tout le chapitre, on munit le plan d'un repère orthonormé direct ( O; u! ; v! ). I. Forme exponentielle d un nombre complexe 1) Définition Posons f (θ) = cosθ + isinθ.

Plus en détail

LE PROBLÈME DE SIN PAN Aziz El Kacimi

LE PROBLÈME DE SIN PAN Aziz El Kacimi LE PROBLÈME DE SIN PAN Aziz El Kacimi La légende raconte que Sin Pan, géomètre chinois d antan, voulait fonder une académie de géométrie. Il a demandé à l empereur de l époque de lui céder un terrain pour

Plus en détail

Correction Baccalauréat S Amérique du Nord Mai 2008 http ://www.maths-express.com

Correction Baccalauréat S Amérique du Nord Mai 2008 http ://www.maths-express.com Correction Baccalauréat S Amérique du Nord Mai 28 http ://www.maths-express.com Exercice. Voir la figure finale à la fin de l exercice! 2. (a) Le cercle Γ est l ensemble des points M du plan tels que AM

Plus en détail

Géométrie transformation du plan.

Géométrie transformation du plan. Géométrie transformation du plan. I. Cercle 2 A. Définitions 2 B. Positions relatives d une droite et d un cercle 2 C. Positions relatives de deux cercles 2 II. 2 A. Construction à la règle et au compas

Plus en détail