LES SIMILITUDES PLANES

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1 LES SIMILITUDES PLANES Table des matières 1 Transformation du plan Définition Propriété : application réciproque Composée de transformations Définition Exemples Théorème Les similitudes planes Définition Propriété sur les distances R.O.C Les isométries Propriétés Une classification des similitudes Définitions Propriété : angle d une similitude directe Écriture complexe d une similitude directe Rappel sur les isométries Propriété R.O.C Propriété : similitudes et points fixes R.O.C Caractérisation d une similitude directe Cas particuliers Propriété : décomposition d une similitude directe Propriété : similitude directe qui transforme un couple de points R.O.C Similitudes indirectes Propriété : décomposition d une similitude indirecte Propriété : écriture complexe d une similitude indirecte

2 1 Transformation du plan 1.1 Définition On dit que f, une application du plan dans lui même, est une transformation du plan lorsque f est une bijection du plan c est dire que pour tout point M du plan il existe un unique antécédent M par f. Les isométries les translations, les rotations, les symétries) sont des transformations du plan. Les homothéties sont des transformations du plan. L application identité, notée id, qui à un point M associe le même point M, est aussi une transformation du plan. 1.2 Propriété : application réciproque Soit f une transformation du plan. L application du plan dans lui même qui à tout point N associe l unique point M tel que fm) = N est aussi une transformation du plan. Elle est appelée transformation réciproque de f et notée f 1. On a alors fm) = N M = f 1 N). Exemples La translation de vecteur u est la transformation réciproque de la translation de vecteur u. La rotation de centre Ω et d angle θ est la transformation réciproque de la rotation de centre Ω et d angle θ L homothétie de centre Ω et de rapport de rapport k. 1 k est la transformation réciproque de l homothétie de centre Ω et La symétrie d axe est sa propre transformation réciproque. On dit pour cette dernière qu elle est involutive. Montrons que f 1 est une application du plan. Si f est une transformation alors pour tout point N du plan il existe unique un point M tel que fm) = N. On peut ainsi considérer l application f 1 du plan dans lui même qui à tout point N associe le point M, soit M = f 1 N). Nous avons vu que f 1 était une application du plan dans lui même, montrons que f 1 est une transformation. Autrement dit que pour tout point M, le point N tel que f 1 N) = M est unique. On fait un raisonnement par l absurde. On suppose qu il existe deux points N et N, tels que M = f 1 N) = f 1 N ). Cette dernière égalité nous indique que fm) = N mais aussi fm) = N et donc N = N. Géométrie plane Page 2 Francis Rignanese

3 Similitudes planes 1.3 Composée de transformations Définition Soit f et g deux transformations du plan. L application composée, notée g f est une transformation qui associe à tout point M du plan le point M tel que g f)m) = g[fm)] = gm 1 ) = M. M f M 1 g f g Exemples La composition de deux translations de vecteurs u et v est la translation de vecteur u + v. La composition de deux homothéties de rapport k 1 et k 2 de même centre Ω est l homothétie de rapport k 1 k 2 et de centre Ω. La composition de deux rotations d angle θ 1 et θ 2 de même centre Ω est la rotation d angle θ 1 +θ 2 et de centre Ω Théorème Soit f et g deux transformations du plan. f 1 f = id La réciproque de la composée g f est une transformation du plan et on a g f) 1 = f 1 g 1. Démonstration du théorème Soit les point M et M tels que fm) = M. On a alors f 1 f ) M) = f 1 [fm)] = f 1 M ) = M Soit fm) = M 1 et gm 1 ) = M. On a alors f 1 g 1) g f)m) = f 1 g 1 g fm) = f 1 g 1 gm 1 ) = f 1 M 1 ) = M Ainsi f 1 g 1) g f) = id et donc g f) 1 = f 1 g 1. Géométrie plane Page 3 Francis Rignanese

4 2 Les similitudes planes 2.1 Définition Une similitude plane est une transformation du plan qui conserve les rapports des distances. A B B Si on nomme A, B et C les images par la similitude s des points A,B et C, on a A B B C = AB BC. C A 2.2 Propriété sur les distances R.O.C Une similitude plane multiplie les distances par un réel strictement positif k. Ce dernier est appelé rapport de la similitude. On a A B = kab. C Soit s une similitude transformant deux points distincts A et B en A et B. A B On nomme k le réel et soit M et N les images de deux points quelconques M et N du plan par s. AB A B Par définition de la similitude M N = AB MN A B MN = M N AB A B AB = M N MN = k. D où M N = kmn. Réciproquement, on suppose que pour tout point M et N ayant pour image M et N par une transformation s l égalité M N = kmn, où k est un réel strictement positif, est vérifiée. Soit A, B, C et D les images respectivement de A, B, C et D par s. On a alors A B = kab et B C = kbc d où A B B C = kab kbc = AB. Et donc s conserve les rapports des BC distances. C est donc une similitude. 2.3 Les isométries Une similitude de rapport 1 est appelée isométrie. Les translations, les rotations, les symétries et leurs composées sont des isométries 2.4 Propriétés Une similitude transforme un triangle en un triangle semblable. Une similitude de rapport k a pour transformation réciproque une similitude de rapport 1 k. La composée de deux similitudes de rapports respectifs k et k est une similitude de rapport k k. Soit ABC un triangle et A B C son image par une similitude de rapport k. On a alors A B = kab, B C = kbc, C A = kca. Ce qui prouve que A B C est semblable ABC. Comme la similitude s est une transformation, sa transformation réciproque s 1 l est aussi. De plus, si M = sm) sn) = N alors M = s 1 M ), N = s 1 N ) et M N = kmn, d où MN = 1 k M N. Géométrie plane Page 4 Francis Rignanese

5 Soit M et N deux points tels que M 1 = sm), N 1 = sn), M = s M 1 ), N = s N 1 ). On alors s sm) = M et s sn) = N et de plus M N = km 1 N 1 = k k MN 2.5 Une classification des similitudes Définitions Une similitude transforme un triangle en un triangle semblable. Elle conserve donc les angles géométriques. On distinguera donc celles qui conservent les angles orientés, les similitudes directes, et celles qui transforment un angle en son opposé, les similitudes indirectes. La translation, la rotation et l homothétie sont des similitudes directes. Un déplacement est une isométrie qui conserve les angles orientés. Les déplacements du plan sont les translations et les rotations. Une isométrie qui inverse les angles orientés est un antidéplacement. Les réflexions sont des exemples de similitudes indirectes. La composée de deux similitudes directes ou de deux similitudes indirectes est une similitude directe, la composée d une similitude directe avec une indirecte est une similitude indirecte Propriété : angle d une similitude directe Soit s la similitude directe qui transforme les points A et B en A et B et M un point quelconque du plan. Le point M = sm) vérifie : AM, A M ) = AB, A B ) [2π] L angle AB, A B ) est appel angle de la similitude directe s. D après la relation de Chasles sur les angles orientés : AM, A M ) = AM, AB )+ AB, A B ) + A B, A M ) [2π]. ) s tant une similitude directe elle conserve les angles orientés : AM, AB = A M, A B ) [2π]. D où AM, A M ) = AB, A B ) [2π] 2.6 Écriture complexe d une similitude directe Rappel sur les isométries L écriture complexe de : la translation de vecteur w d affixe b est z = z +b, similitude directe. l homothétie de centre le point Ω d affixe ω et de rapport le rel k est z = kz ω)+ω, similitude directe. la rotation de centre le point Ω d affixe ω et d angle le réel θ est z = e iθ z ω)+ω, similitude directe. la réflexion d axe O; u) est z = z, similitude indirecte. la réflexion d axe O; v ) est z = z, similitude indirecte. la symétrie centrale de centre O est z = z, similitude directe. Géométrie plane Page 5 Francis Rignanese

6 2.6.2 Propriété R.O.C Une application du plan dans lui même ayant pour écriture complexe z = az +b avec a C,b C est une similitude directe de rapport k = a et d angle un argument de a. Réciproquement, toute similitude directe, de rapport k et d angle θ a une écriture complexe de la forme z = az +b avec a C,b C. On a aussi k = a et θ qui est égal à un argument de a. Soit f l application du plan ayant pour écriture complexe z = az +b. On a alors z = z b et a étant a non nul on en déduit qu à chaque point M du plan d affixe z il existe un unique point M d affixe z tel que fm) = M. f est donc une transformation. Soit fm) = M et fn) = N. On a donc z M = az M +b z M z N = a z M z N z N = az N +b z M z N z M z N = a z M z N = a M N z M z N MN = a D où M N = a MN. f est donc une similitude de rapport a. A M ; A N ) ) ) ) zn z A azn +b az A b zn z A ) = arg = arg = arg = AM; AN. z M z A az M b az A +b z M z A f est directe. Son angle : AM; A M ) ) ) [ ] zm z A azm +b az A b azm z A ) = arg = arg = arg = arga). z M z A z M z A z M z A Réciproquement : soit s la similitude directe de rapport k et d angle θ qui transforme le point A en A et M un point du plan tel que M = sm). Par définition A M = kam et AM; A M ) = θ [2π] d où A M ) AM = k soit z A z M z A z M = k et arg za z M = θ [2π] z A z M Et donc z A z M z A z M = k e iθ soit z M = keiθ z +z A ke iθ z A qui est de la forme z = az +b avec a = ke iθ. 2.7 Propriété : similitudes et points fixes R.O.C Toute similitude directe, autre qu une translation admet un point fixe unique. Une similitude qui admet trois points fixes non alignés est l application identité. Une similitude qui admet deux points fixes A et B est soit l application identité soit la réflexion d axe AB). L écriture complexe d une similitude directe est z = az +b Et si ce n est pas une translation alors en plus d avoir a 0, on a a 1. Le point fixe doit avoir une affixe qui vérifie z = az +b d où z = b 1 a. Par l absurde. Soit A, B et C trois points fixes non alignés d une similitude f de rapport k. A A B B Et donc AB = kab d où k = 1. C C Soit M l image d un point M par f. On suppose M M. On a alors AM = AM, BM = BM et CM = CM Et donc les points A,B et C appartiennent la médiatrice de [MM ]. Géométrie plane Page 6 Francis Rignanese

7 Ce qui n est pas possible car les points A, B et C ne sont pas alignés. Soit A et B deux points distincts et invariants par une similitude f. A A Et donc AB = kab d où k = 1. B B Soit M l image par f d un point M n appartenant pas la droite AB). Si M = M alors f admet trois points invariants non alignés, c est donc l identité. Si M M alors AM = AM et BM = BM et donc AB) est ma médiatrice de [MM ]. Considérons s AB) la réflexion d axe AB) et les images par s AB) f des point A,B et M. sab) f ) A) = s AB) [fa)] = s AB) A) = A sab) f ) B) = s AB) [fb)] = s AB) B) = B sab) f ) M) = s AB) [fm)] = s AB) M ) = M D où s AB) f admet trois points fixes non alignés. C est donc l identité. Et si s AB) f = id alors s AB) s AB) f = s AB) soit f = s AB). Remarque Une similitude directe ayant au moins deux points invariants est nécessairement l application identité. 2.8 Caractérisation d une similitude directe Une similitude directe f qui n est pas une translation est déterminée par la donnée de son centre Ω unique point fixe) son rapport k et son angle θ. On la note f = SΩ;k;θ) Remarque Soit f la similitude directe ayant pour écriture complexe z = az +b avec a C, b C. Si a = 1 et b = 0 alors f = Id. Si a = 1 et b 0 alors f est la translation de vecteur w d affixe b. Si a 1 alors f est la similitude directe ayant un seul point invariant Ω son centre, de rapport k = a et d angle θ = arga). 2.9 Cas particuliers Soit f = SΩ;k;θ) Si k = 1, la similitude f est la rotation rω;θ). Si θ = 0[2π], la similitude f est l homothétie hω;k) Si θ = π, la similitude f est l homothétie hω; k) 2.10 Propriété : décomposition d une similitude directe La composée dans un ordre quelconque d une isométrie et d une homothétie de rapport k est une similitude de rapport k. Remarque Géométrie plane Page 7 Francis Rignanese

8 Soit f une similitude directe qui n est pas une translation, de centre Ω, de rapport k, et d angle θ. f est la composée de l homothétie hω;k) et de la rotation rω;θ). Ces deux applications commutent : f = hω;k) rω;θ) = rω;θ) hω;k). Une homothétie de rapport k est une similitude de rapport k et une isométrie est une similitude de rapport 1. Et donc la composée d une isométrie et d une homothétie de rapport k est une similitude de rapport k Propriété : similitude directe qui transforme un couple de points R.O.C Soient A, B, A et B quatre points du plan tels que A B et A B. Il existe une unique similitude directe qui transforme A en A et B en B. Rechercher une similitude directe qui transforme A en A et B en B revient rechercher deux nombres a et b tels que z A = az A +b z B = az B +b z B z A = az A z B ) a = z B z A z B z A, z A z B ). Et donc b = z A az A = z A z B z A z B z A z A. 3 Similitudes indirectes 3.1 Propriété : décomposition d une similitude indirecte Toute similitude indirecte est la composée d une réflexion et d une similitude directe. La composée d une réflexion quelconque et d une similitude directe est une similitude indirecte puisque une réflexion est une similitude indirecte de rapport 1. Soit f une similitude indirecte et s une réflexion d axe. On pose g = f s. g est la composée de deux similitudes indirectes, c est donc une similitude directe. D autre part g s = f s ) s = f s s = f id = f. 3.2 Propriété : écriture complexe d une similitude indirecte Une transformation est une similitude indirecte si et seulement si son écriture complexe est de la forme z = az+b avec a C,b C. Le rapport de la similitude est alors k = a et son angle θ = arga) [2π]. On a montré qu une similitude indirecte est la composée d une réflexion quelconque et d une similitude directe. Il suffit donc de prendre la réflexion d axe, l axe des abscisses dont l écriture complexe est z = z et une similitude directe dont l écriture complexe est z = az +b. Réciproquement : si f a pour écriture complexe z = az + b alors f est la composée de la réflexion d écriture complexe z = z et de la similitude d écriture complexe z = az +b. Géométrie plane Page 8 Francis Rignanese