Magnétisme et supraconductivité

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1 Magnétisme et supraconductivité Yann Gallais Matériaux et Phénomènes Quantiques, Université Paris Diderot

2 Magnétisme en matière condensée Le magnétisme est la science des effets coopératifs et collectifs des moments magnétiques dans la matière condensée T>T N T<T N Le magnétisme est un phénomène purement quantique: un exemple unique de phénomène collectifs quantique à l échelle macroscopique (comme la supraconductivité) Rôle clé dans l établissement de la théorie des transitions de phase et du concept de symétrie brisée (Ising ) Illustration d un phénomène émergent dus aux interactions: «more is different» P. W. Anderson. Science, New Series, Vol. 177, No (Aug. 4, 1972), pp

3 Plan du cours Magnétisme sans interaction Magnétisme atomique Moments magnétiques localisés Environnement Magnétisme localisé en interaction Interactions d échange Modèle de champ moyen du ferromagnétisme Domaines et magnétisme aux basses dimensions Au delà du champ moyen Hamiltonien d Heisenberg: du classique au quantique Ondes de spin ferromagnétiques et antiferromagnétiques Magnétisme frustré et liquides de spin Magnétisme itinérant Paramagnétisme d un gaz d électrons libres Instabilité magnétique de Stoner Effets Hall quantiques

4 Moment magnétique classique moment magnétique élémentaire! dµ = IdS! anneau de courant = dipôle magnétique orienté perpendiculairement au plan de l anneau Sous champ :! dµ force de Laplace (charge ponctuelle): F = qv! force agissant sur un fil dr: sur un contour fermé! i!! df i = 0 dm!! i,f/o = 0 si! / /dµ I ds df = dn! ev =!dr! ev = Idr df! df! 2! x O 1 df! df! 4! 3 [ µ ] = A.m 2 dr df!

5 Moment magnétique classique! cas général: dµ et!!! df i = 0 non-colinéaires i dm!! i,f/o! 0 df un couple s exerce sur la boucle!! 1 dm!! 1,F/O! dµ df! 3 dm!! 3,F/O z y x couple résultant: dc!!! = dm!! 1,F/O + dm!! 3,F/O =! dµ!! dµ mouvement de précession du moment! autour du champ! Précession classique de Larmor dµ

6 Lien avec le moment cinétique mouvement de charge = mouvement de masse moment cinétique associé L = mr!v µ =! L γ: facteur gyromagnétique µ / /L / /ds!! dµ I! dµ = IdS! ds équation du mouvement: théorème du moment cinétique dl dt = M! = µ! dµ dt =!µ! modèle classique de l orbite électronique circulaire L = mr!!!r = m!r 2 u! z µ = IS = e! 2! r2 u! z = e!r2 2 u! z µ = e 2m L dynamique classique du moment magnétique (pas de dissipation) x v! =!!!r! µ L note: e<0 donc direction opposée! µ =! e 2m L

7 Aimantation et énergie magnétique! H = µ 0 (H! + M! ) induction magnétique (T)! champ magnétique (A.m-1 ) aimantation (A.m -1 ) µ 0 = 4π.10-7 V s A -1 m -1 M µ =! d 3 rm! (r)! M = 1 assemblée de moments magnétiques: V travail du couple magnétique: W =! C.d!! =! C d! =! µsin! d! = µ(1 cos) énergie potentielle 0 0 U =!µ. note: n inclut pas l énergie électromagnétique moment magnétique µ =! U!! µ ϕ C = µ! i µ i assemblée de moments magnétiques U =! 1 V!. µ i =!M!. i! M =! U aimantation H!

8 Thermodynamique d un système magnétique classique Energie interne du = TdS! Md Energie libre F =U!TS df =!SdT! Md Note: à T=0K M =! U =! F Fonction de partition d un système de N électrons Z = dr 1... dr N dp 1... dp N e!!u (r 1... p N ) énergie interne entropie U = avec! = 1 k T dr 1... dr N dp 1... dp N U(r 1...p N )e!!u (r 1... p N ) Z =! 1 Z #Z #! =! #ln Z #! S =!k dr 1... dr N dp 1... dp N P(r 1...p N )ln P(r 1...p N ) = k ln Z + U T avec P(r 1...p N ) = e!!u (r 1... p N ) Z # F =!k T ln Z M =! F & # % ( = k T ln Z & énergie libre aimantation % ( $ ' $ ' T T

9 Magnétisme classique? Théorème de ohr-van Leeuwen: de l impossibilité d une aimantation macroscopique dans un système électronique classique (1911 ohr / 1919 van Leeuwen) Z = dr 1... dr N dp 1... dp N e!!u (r 1... p N ) Impulsion généralisée sous champ magnétique p! p ea Z est inchangé car uniquement un décalage de l intégration sur les p # Z et F sont indépendants de A () M =! F & % ( $ ' T # = k T ln Z & % ( $ ' T = 0 image classique: compensation des moments magnétiques du volume par le moment magnétique associée aux orbites périphériques qui font «des ricochets»

10 Origine quantique du magnétisme électronique La présence de moments magnétiques électroniques doit être justifiée d un point de vue quantique QUANTUM MECHANICS THE KEY TO UNDERSTANDING MAGNETISM Nobel Lecture, 8 December, 1977 J.H. VAN VLECK Harvard University, Cambridge, Massachusetts, USA Le magnétisme est un effet essentiellement quantique 2 types de magnétisme: - Magnétisme itinérant: les électrons sont délocalisés (métaux). espace des k (bandes) - Magnétisme localisé: espace réel (isolants/ interactions fortes)

11 Magnétisme atomique quantique électron de l atome d H sous champ magnétique H 0 = p2 2m +V(r! ) H = 1 2m (p! ea ) 2 +V(r ) = H 0! e 2m (A.p + p.a )+ e 2 2m A2 relation d anti-commutation jauge de Coulomb A =!r H = H 0! e m A.p + e 2m A2 = H 0! e m 2 # A.p + p.a = A.p + i (!.A + A.! ) = 2A.p + # i!.a!!. (A!) =!.A! + A.!! # p = i!!.a = 1 2!.( r ) = 1 2 ((! # ).r $.(! # r )) = 0 si est constant ( r ).p 2 8m ( r ) 2!L # # # moment cinétique = r! p + e2 e<0 relation cyclique (!r ).p =.(r! p ) =.L H = H 0!!e 2m #.L # + e2 8m (# r # ) 2 = H 0 + µ.l + e2 8m ( r ) 2 µ =! e 2m Magnéton de ohr

12 Diamagnétisme et paramagnétisme H = H 0 + µ.l + e2 8m (!r ) 2 µ =! e 2m = !24 J.T!1 = !5 ev.t!1 terme paramagnétique H z en terme diamagnétique H dia en 2 l=0 états propres de H 0! (! r ) = R nl (r).y l m (,#) l=1 Partie radiale Harmonique sphérique!! bons nombres quantiques pour H 0 : n, l et m orbitales: 1s (n=0, l=0), 2s (n=1, l=0), 2p (n=1, l=1), etc dégénérescence: 2l+1 l=2

13 Diamagnétisme et paramagnétisme H = H 0 + µ.l + e2 8m (!r ) 2 terme paramagnétique H z H z =!µ para. µ para µ para =!µ.l abaissement de l énergie si L 2 l, m l = l(l +1) l, m l L µ para / / similaire au cas classique mais L est quantifié! L z l, m l = m l l, m l m l! [l,l] µ =! e 2m = !24 J.T!1 = !5 ev.t!1 H Z 1-1 moment magnétique permanent levée de dégénérescence E(m l ): effet Zeeman l=1 (1T )! 0.1meV =0 0 m l =1 m l =0 m l =-1