Chapitre 6. Système de second ordre : -Etude temporelle-

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1 hapitre 6 Système de second ordre : -Etude temporelle- 6. Définition : Un système linéaire continu et invariant d'entrée e(t) et de sortie s(t), est dit de second ordre, lorsqu il est régit par une équation différentielle linéaire à coefficients constants de second ordre de la forme : Ou sous une forme canonique : d s(t) ds(t) a. +a. a.s(t) b.e(t) d s(t) ds(t) (E) : +.m...s(t) K..e(t) Soit en divisant par ² : d s(t).m ds(t) (E) :. +. s(t) K.e(t) K : Gain statique (gain en régime permanent). s( ) K e( ). m: Facteur (ou coefficient) d amortissement (m>). : Pulsation propre du système non amorti ou pulsation naturelle (rad/s). 6. Fonction de transfert : En appliquant la transformation de aplace à l une des deux équations différentielles (E) ou (E) précédentes (avec des conditions initiales nulles), on obtient : (E) S( p).( p².m..p ²) K. ².E( p) D'où la fonction de transfert d'un système de second ordre: H( p) S( p) K. ² K E( p) p².m..m.p ².p².p ² H. Kesraoui

2 6.3 Schéma bloc : e schéma bloc d'un système de second ordre est de la forme suivante : K. ² p².m..p ² E( p) S( p) Ou encore K E( p) S( p).m.p².p ² 6.4 Exemples : 6.4. ircuit -- : On considère le système électrique suivant : i(t) e(t) s(t) omme on a vu pour le système du premier ordre, la fonction de transfert de ce système peut être déterminée par deux méthodes : Méthode : En déterminant en premier lieu l équation différentielle liant s(t) à e(t) : di d s ds ds s(t) i(t). i. et e..i s e.... s d s ds.m. nd syst de ordre s e K ; ;. m D où la fonction de transfert : H( p) S( p) K.m E( p) p p p p Méthode : En passant du domaine temporel au domaine de aplace: ;.p;.p I(p) p E(p) /p S(p) H. Kesraoui

3 S( p).i( p).p ;.p E( p).p.i( p) (p p ) /.p.i( p) S( p) D où : H( p) E( p) p p 6.4. Deux cellules - en cascade : On considère le circuit électrique suivant formé de deux cellules - : i(t) i (t) i (t) e(t) s(t) En utilisant l une des deux méthodes utilisées dans l exemple précédent, on peut aisément montrer que ce circuit électrique est un système de second ordre : K H( p) S( p) K.m /. m.5 E( p) p 3.p p p 6.5 égimes de fonctionnement : Notons par D(p) le dénominateur de H(p) : D( p) p².m..p ² es pôles de H(p) sont les solutions de l équation D(p)= D( p) p².m..p ² (.m. ) 4. ² 4. ².(m ). Suivant les valeurs de m, on distingue trois cas : m> :'est le régime apériodique : e système est hyperamorti H( p) possède pôles réels: p =.( m m ) et p =.( m m ) m= Δ : égime apériodique critique H(p) possède un pôle double: p =p =-m. m< Δ :égime pseudopériodique : e système est faiblement amorti H( p) possède pôles complexes conjugués: p =.( m j m ) et p =.( m j m ) H. Kesraoui 3

4 s(t) hapitre 6 : Système de second ordre (Etude temporelle) 6.6 éponse indicielle : On se propose de déterminer la réponse d un système de second ordre à un échelon d amplitude E : e(t)=e.u(t) E( p) E p. S( p) KE. ² H( p) S( p) H( p).e( p) S( p) E( p) p.( p².m..p ²) Trois cas se présentent suivant le régime de fonctionnement : 6.6. égime apériodique (m>) : D( p) p².m..p ² ( p p ).( p p ) (Avec p =.( m m ) ) S( p) KE. ² KE. ² p.( p².m..p ²) p.( p p ).( p p ) / a décomposition en éléments simples de S(p) et la transformée de aplace inverse permettent de déterminer s(t) : S( p) s(t) K.E..( p.e p.e ) p.t p.t p p 6.6. égime apériodique critique : m= omme son nom l indique c est un cas particulier du régime apériodique. KE. ² D( p) ( p m. ²) S( p) s(t) KE. (.t).e.t p.( p ) évolution de s(t) (pour différentes valeurs de m ) est donnée par la figure 6.: m= m= m= ATTENTION: pente nulle à l'origine t (sec) Fig 6. éponse indicielle unitaire (E=) d un système de second ordre (K=, m={,,3}, = 5 rad/s) H. Kesraoui 4

5 s(t) hapitre 6 : Système de second ordre (Etude temporelle) emarque : On remarque bien la ressemblance de la réponse indicielle du système de second ordre hyper amorti (ou à fort amortissement) avec celle du premier ordre, toutefois il est important de noter que la pente de la tangente à l origine est nulle. allure de la sortie présente une légère courbure au début de son évolution égime pseudopériodique (m<) : KE. ² S( p) s(t) K.E..e.sin( p.t ) p.( p².m..p ²) m..t Table p.4 p. m² arccos(m)..8.6 Tp Fig 6. éponse indicielle unitaire (E=) d un système de second ordre t (sec) (K=, m=.3, = 5 rad/s) a réponse présente la forme d une sinusoïde amortie de pulsation pulsation ou pulsation propre amortie (rad/s)), de pseudo période : emarque : T p... m². p p (c est la pseudo a réponse indicielle d un système de second ordre tend vers la valeur finale K.E, sauf que le comportement du système à faible amortissement est oscillant, il présente un dépassement, contrairement à celui du système à fort amortissement où la valeur finale est atteinte sans jamais la dépasser. ette propriété du non dépassement est exigée dans certains asservissements où le dépassement est interdit. H. Kesraoui 5

6 6.7 Temps de réponse (à 5%) (ou temps de stabilisation): omme on a vu pour le système de premier ordre, le système de second ordre est caractérisé par le temps de réponse à 5% ou temps de stabilisation qui peut être déterminé par deux méthodes : 6.7. Méthode analytique : Si le régime est pseudopériodique (m<), le temps de réponse (à 5%) est déterminé par la relation : tr(5%) 3 m. Si le régime est apériodique (m>), le temps de réponse (à 5%) est déterminé par la relation : tr(5%) 6.m 6.7. Méthode graphique : A partir de l abaque du temps de réponse à 5% en fonction du coefficient d'amortissement et de la pulsation propre su système non amorti d'un système du deuxième ordre : Fig 6.3 ourbe du tr(5%) d un système de second ordre tr(5%). en fonction de m H. Kesraoui 6

7 Démarche : Pour une pulsation naturelle fixée, le temps de réponse est fonction du facteur d'amortissement du système. En effet, pour un système très peu amorti, le régime transitoire dure longtemps à cause de la lente décroissance de l'amplitude des oscillations, et pour un système très amorti, il dure longtemps, à cause cette fois de la lenteur de son départ. Sur la figure précédente, on voit que le temps de réponse à 5% est minimal pour un coefficient d'amortissement de.7 environ. A partir d un facteur d amortissement m donné (en abscisse), on projette sur la courbe puis sur l axe des ordonnés afin de déterminer son image tr(5%).. Il suffit alors de diviser par la pulsation propre non amortie pour déduire tr(5%). H. Kesraoui 7