TS 2016 Cours Complété Ch8. Probabilité Conditionnelle

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1 1. Un exemple de construction d arbre pondéré : On étudie une certaine allergie et son lien éventuel avec un antécédent familial (parent ou grand parent souffrant de la même allergie). On prélève au hasard une personne dans la population étudiée. On note l événement "la personne est allergique" et l événement "la personne présente un antécédent familial". On suppose que P() = 0, 1, que parmi les personnes allergiques, 70% ont un antécédent familial et que parmi les personnes non allergiques, seulement 2% ont un antécédent familial allergique. On s intéresse à la probabilité P() qu un individu ait un antécédent familial, et à la probabilité P () qu un individu soit allergique, sachant qu il a un antécédent familial. 1) Illustrer la situation par un arbre pondéré. 2) En déduire P(). P() = P( ) + P( ) = 0, 1 0, 7 + 0, 9 0, 02 = 8, 8% 3) Cet arbre permet-il le calcul de P ()? Non 4) Pour le calcul de P () il faudrait connaître l arbre dit "inversé" ci-contre. e cet arbre "inversé", donner l expression de P( ) en fonction de P() et P (). P( ) = P() P () En déduire alors P (). P( ) = 0, 088 P () = 0, 1 0, 7 ; 0, 07 lors P () = 0, 088 = 35 79, 5% 44 5) e même calculer P( ) puis P (). P() = 1 P() = 91, 2%, arbre 1 ; P( ) = 0, 1 0, 3 = 0, 03, arbre "inversé" ; P( ) = P() P () Soit 0, 03 = 0, 912 P () P () = 0, 03 3, 29% 0, 912 Vérifier P () P () 24. P () P () 79, 5 3, On peut interpréter ce résultat en disant que le risque d allergie est 24 fois plus important lorsqu on a des antécédents familiaux que lorsqu on en a pas. arbre arbre "inversé" 0, 1 0, 9 P ( ) P ( ) 0, 7 0, 3 0, 02 0, 98 P () P () 1/ 7

2 2. Probabilité Conditionnelle : 1) éfinition : On considère une expérience aléatoire, Ω son univers, et p la probabilité définie sur cet univers. On note un événement de probabilité non nulle, alors pour tout événement B on note P (B) la probabilité de B sachant définie par P (B) = P( B) P() soit P( B) = P() P (B) 2) Propriété : L application P définie ci-dessus qui à tout événement B fait correspondre P (B) est une probabilité. C est à dire : à chaque issue P fait correspondre un réel de [0; 1] et la somme des probabilités de chaque issue vaut 1. Notons Ω = {ω 1 ; ω 2,, ω n }, Chaque P( ω i) P() 0, quotient de valeurs positives P (ω 1 ) + P (ω 2 ) + + P (ω n ) = P( ω 1) P() ce qui implique chaque P( ω i) 1 P() 3) Règles d utilisation d un arbre pondéré : + P( ω 2) P() + + P( ω n) P() = P() P() = 1,. La somme des probabilité inscrites sur les branches issues d un même noeud vaut 1.. La probabilité d un chemin est le produit des probabilités inscrites sur les branches de ce chemin.. La probabilité d un événement correspondant à plusieurs chemins est la somme des probabilités de ces chemins.. Les probabilités portées par les branches de niveau supérieur à 1, sont des probabilités conditionnelles. Exemple : Passer en couleur sur l arbre ci-contre en rouge P() + P(B) + P(C) = 1, P () P () P () événement et, événement et, en bleu P( ) = P() P (), en vert P( ou B E) = P() P ()+P(B) P B (E) P (B) P (C) B P B(E) C P B(E) E E événement événement B et E, B E B et E, B E pplication 1 : eux urnes contiennent chacune deux boules noires et 3 boules rouges. On tire au hasard une boule de l urne U 1, on note sa couleur et on la place dans l urne U 2. On tire ensuite une boule dans l urne U 2. On note N 1 et les événements "la boule tirée dans l urne U 1 est noire" et "la boule tirée dans l urne U 2 est noire". a) Représenter la situation par un arbre de probabilités. 0, 5 0, 4 N 1 0, 5 0, 6 N b) Calculer la probabilité que les deux boules soient noires. P(deux boules noires) = P(N 1 ) P N1 ( ) = 0, 4 0, 5 = 0, / 7

3 pplication 2 : Pour fabriquer un objet, un artisan constitue un stock important d un certain type de pièces auprès de trois fournisseurs f, g et h. La moitié des pièces du stock provient de f, 30% provient de g le reste provient de h. La proportion de pièces défectueuses est de 1% chez f, de 2% chez g et de 5% chez h. On prélève au hasard une pièce dans le stock. Quelle est la probabilité qu elle soit défectueuse? f 0, 01 0, 5 0, 99 0, 3 g 0, 02 0, 98 0, 2 h 0, 05 0, 95 P() = P(f) P f () + P(g) P g () + P(h) P h () = 0, 5 0, , 3 0, , 2 0, 05 = 2, 1% 3/ 7

4 3. Événements Indépendants : On considère une expérience aléatoire, Ω son univers et P une probabilité définie sur Ω. 1) éfinition événements incompatibles : On rappelle que deux événements et B sont incompatibles s ils ne peuvent se produire simultanément, en même temps. ans ce cas B = et P( B) = 0. Exemple : On lance un dé cubique équilibré, on note le numéro de la face supérieure. l événement obtenir un nombre pair et B l événement obtenir 1 ou 3 sont incompatibles. Ces événements ne peuvent pas être réalisés en même temps. 2) éfinition événements indépendants : eux événements et B, sont indépendants si le fait de savoir réalisé ne modifie pas la probabilité d obtenir B. eux événements et B de probabilité non nulle, sont indépendants si P (B) = P(B) ce qui équivaut à P B () = P() soit encore P( B) = P() P(B). Exemple : e l exemple précédent les événements et B ne sont pas indépendants. En effet probabilité d obtenir 3 ou 5 sachant qu on a obtenu un nombre pair est nulle, P (B) = 0. Pourtant P(B) = 2 6 = 1 3. Prouver les équivalences P( B) = P() P(B) P (B) = P(B) P B () = P(). P( B) P() P(B) P( B) = P() P(B) P (B) = = = P(B) P() P() P B () = P( B) P(B) = P() P(B) P(B) = P() pplication 1 : ans une population, un individu est atteint par la maladie m 1 avec la probabilité 0,05 et par la maladie m 2 avec la probabilité 0,14. On choisit au hasard un individu dans cette population. On admet que les événements M 1 "l individu a la maladie m 1 " et "l individu a la maladie m 2 " sont indépendants. 0, 05 M 1 0, 14 0, 86 0, 95 M 1 0, 14 a) Quelle est la probabilité de l événement E "l individu a contracté au moins une de ces deux maladies"? P(E) = 1 0, 95 0, 86 = 0, 183 = 18, 3% b) Présenter dans un tableau les probabilités des événements M 1, M 1, M 1 et M 1. 0, 86 Intersection M 1 M 1 0,007 0,133 0,043 0,817 c) éterminer la probabilité de l événement "l individu présente une seule de ces deux maladies". P() = 0, 05 0, , 95 0, 14 = 0, 176 = 17, 6% 4/ 7

5 3) ROC. Propriété : Lorsque et B sont indépendants LORS et B le sont aussi Preuve : Soit et B indépendants, c est à dire P( B) = P() P(B), P( B) P(B) P( B) autre part P B () = =, on remarque P(B) = P( B) + P( B). P(B) P(B) P(B) P() P(B) Lorsque et B indépendants P B () = = 1 P() = P(), c est à dire et B indépendants. P(B) pplication 2 : On extrait au hasard un jeton d un sac contenant six jetons, trois sont rouge, numérotés 1 ; 2 et 3, deux sont bleus numérotés 1 et 2, et un seul est vert numéroté 1. On considère les évenements R "le jeton est rouge", U "le numéro est 1" et "le numéro est 2". Les événements R et U sont-ils indépendants? et R et? et R et? P(U) = 3 6 = 0, 5 et P R(U) = 1 3, P R(U) P(U), R et U ne sont pas indépendants. P() = 2 6 et P R() = 1 3, P R() = P(), R et sont indépendants. La propriété précédente assure alors R et indépendants. 5/ 7

6 4. Partition de l univers : Revenons à la remarque P(B) = P( B) + P( B) et généralisons. 1) éfinition : Soit Ω un ensemble et E 1, E 2 E n des parties de Ω. On dit que E 1, E 2 E n est une partition de Ω si ces parties sont deux à deux disjointes et leur union vaut Ω. 2) Propriété : À savoir mettre en oeuvre, ormule des probabilités Totales Soit E 1, E 2 E n une partition de Ω pour laquelle aucun des événements E i n a une probabilité nulle et un événement, LORS événement = ( E 1 ) ( E 2 ) ( E n ) probabilité OU et Somme P() = P( E 1 ) + ( E 2 ) + + P( E n ) probabilité conditionnelle P() = P E1 () P(E 1 ) + P E2 () P(E 2 ) + + P En () P(E n ) 3) Remarque P(B) = P( B) + P( B), et forment une partition de Ω. pplication : ans un supermarché, on réalise une étude sur la vente de bouteilles de jus de fruits sur une période d un mois. 40% des bouteilles vendues sont des bouteilles de jus d orange ; 25% des bouteilles de jus d orange vendues possèdent l appellation "pur jus" 20% des bouteilles de jus de fruit vendues possèdent l appellation "pur jus". Notons Or l événement "us d Orange" et l événement "Pur us". La situation peut être représentée par l arbre suivant ; 0, 25 Or 0, 4 0, 6 Or 0, et P() = 0, 2 Partie : 1) éterminer la proportion des bouteilles "pur jus" parmi les bouteilles qui ne sont pas de jus d orange. Nous cherchons P Or (), P() = P(Or) P Or () + P(Or) P Or () Soit 0, 2 = 0, 4 0, , 6 P Or (), lors P Or () = 1 6 2) Une bouteille passée en caisse et prélevée au hasard est une bouteille de "pur jus". Calculer la probabilité que ce soit du jus d orange. Nous cherchons P (Or), P (Or) = P(Or ) P() = P Or() P(Or) P() = 0, 25 0, 4 0, 2 = 1 2 Partie B : fin d avoir une meilleure connaissance de sa clientèle, le directeur du supermarché fait une étude sur un lot de quatre bouteilles de jus de fruits vendues. On rappelle que 20% des bouteilles de jus de fruit vendues possèdent l appellation "pur jus". On admet que le stock de bouteilles présentes dans le supermarché est suffisamment important pour que le choix de ces quatre bouteilles puisse être assimilé à un tirage au sort avec remise. éterminer la probabilité pour qu au moins trois bouteilles de cet échantillon de bouteilles soient "pur jus". On arrondira le résultat au millième. On répète 4 fois de manière indépendante le même schéma de Bernoulli, avec une probabilité 0,2 de succès à chaque tirage. X compte le nombre de succès, nombre de bouteilles pur jus, lors X suit une loi binomiale de paramètre n = 4 et p = 0, 2. 6/ 7

7 Nous Cherchons P(X 3), P(X 3) = P(X = 3) + P(X = 4) = ( ) 3 4 0, 2 3 0, ( 4 4) 0, 2 4 0, 8 0 = 1 0, 2 4 = 0, , 0016 = 0, , 027 7/ 7