CHAPITRE #2 LA FACTORISATION. Factoriser un polynôme signifie écrire ce polynôme sous la forme d un produit de facteurs.

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1 CHAPITRE # LA FACTORISATION 1. La factorisation 1.1La mise en évidence simple Factoriser un polynôme signifie écrire ce polynôme sous la forme d un produit de facteurs. La mise en évidence simple est une méthode qui permet de factoriser un polynôme composé de monômes qui contiennent tous un même facteur commun. Pour factoriser, il suffit alors d appliquer la règle de la distributivité de la multiplication sur l addition: Développer ab + ac = a (b + c) Factoriser Faire les exemples suivants: ( ) 4 3 a) 6x + 15x 18x = 3x x + 5x 6 = ( ) + = ( + ) = ( + ) ( ) + ( + ) = ( + )( + ) ( ) + ( + )( ) + ( )( + ) = ( x-3)( x 3) + ( x+ 1)( x 3) + ( x 3)( x+ 3) = ( x-3) ( x 3) + ( x + 1) + ( x + 3) = ( x-3)( 4x + 1) b) 5x 10 5 x c) 1ab 18ab 6ab a 3b d) 1xyz 14xyz 8xyz 7xyz 3z y 4z e) xx+ 5 x x x 5 f) x 3 x 1 x 3 x 3 x 3 Emmanuel Duran La factorisation page1

2 b g b g b g b g b g b g g) x x x = x x x = x x x 1 = bx 1gbx + 3g h) x +1 x + 6 x 3x + 9 = b gb g b gb g b g b g b g b g x +1 x + 3 x 3 x + 3 = bx bx + 1g 3bx g = bx +3g x + 3x + 6 = bx +3gb x + 8g i) 3x- 4 x x 8x 3x 4 x 3 b gb g + b gb g = b3x- 4gbx 1g xb3x 4g b3x 4gbx 3g b3x- 4gbx + 1g + x + bx 3g = b3x- 4gb4x g = b3x- 4gb4x g = Exercices: page 174 #4,5, 7 à 11 feuille: Factorisation mise en évidence simple Emmanuel Duran La factorisation page

3 1.. La mise en évidence double La mise en évidence double est une méthode qui permet de factoriser des polynômes en regroupant les monômes qui contiennent un facteur commun. Il suffit alors d appliquer la mise en évidence simple dans chacun des regroupements: ac + ad + bc + bd = (ac + ad) + (bc + bd) = a(c + d) + b(c + d) = (c + d)(a + b) Faire les exemples suivants: a) 3 9x 1xy + 6xy 8y = 3x( 3x 4y ) + y( 3x 4y ) = ( 3x 4y ) 3x + y b) 6a 15a + ab 5b = 3a a 5 + b a 5 = a 5 3a + b c) 6ax 3ay + 10bx 5by 4x + y = 3a x y + 5b x y x y = x y 3a + 5b Exercices: page 178 # 1 à 4 feuille: Factorisation mise en évidence répétée Emmanuel Duran La factorisation page3

4 1.3. Différence de deux carrés Une différence de deux carrés est une expression algébrique de la forme a² - b² Toute différence de deux carrés est factorisable. Il suffit d appliquer l identité remarquable: a² - b² = (a + b)(a - b) Faire les exemples suivants: ( ) ( ) ( )( ) 9x 4y = 3x y = 3x+ y 3x y ( ) ( ) ( )( ) 36x 5 = 6x 5 = 6x + 5 6x 5 ( ) ( ) ( )(( ) ) ( )( ) x = x x+ 1 5 = x+ 6 x 4 = 4( x + 3)( x ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )(( ) ( )) ( )( ) 3x + 5 x+ 1 = 3x+ 5 + x+ 1 3x + 5 x + 1 = 5x+ 6 x xy z = xy z xy + z Exercices: page 18 #3 à 15 page 185 Maîtrise 8 à 10, 1 à 15, 17, 18, 6 page 189 Capsule Feuille: Factorisation différence de carrés Emmanuel Duran La factorisation page4

5 1.4. Factorisation d un trinôme par la méthode de la somme et du produit Avant de factoriser un trinôme de la forme ax²+bx+c on calcule son discriminant )=b²- 4ac Si 0, le trinôme ne peut pas se factoriser Si 0, on peut le factoriser en utilisant la règle suivante: - faire une simple mise en évidence (sur tous les termes) si c est possible. - on cherche deux nombres entiers m et n tel que mn = ac et m+n = b - on remplace ax²+bx+c par ax²+mx+nx+c - on factorise ax²+mx+nx+c par mise en évidence double. Exemples: La recherche de deux nombres satisfaisant à la fois une somme et un produit donnés remonte probablement aussi loin que le III ème siècle A.V.J.C. On retrouve la résolution de ce problème dans les écrits d Euclide et de Diophante. #1 x²+4x+9 pas factorisable car )= -0 # x²+x-8 )=36 mn = -8 m+n = m=4 n= - x²+4x-x-8 = x(x+4) -(x+4) = (x+4)(x-) #3 9x²+16x-4 (x+)(9x-) #4 x²+4xy-1y² Ce trinôme présente deux variable mais la procédure est la même mn = -1 et m+n = 4 m=6 n= - x² + 6xy -xy -1y² = x(x+6y) -y(x+6y)=(x+6y)(x-y) #5 x²+4xy+y² = (x²+1xy+11y²) = (x²+1xy+11xy+11y²) = (x(x+y)+11y(x+y)) = (x+y)(x+11y) Exercices: Feuille: Factorisation trinôme ax²+bx+c page 19 #1,,3 page 196 #1,,4,5 Feuille: Factorisation d un trinôme par la méthode de la somme et du produit Emmanuel Duran La factorisation page5

6 1.5 Trinôme carré parfait Un trinôme de la forme ax²+bx+c est un carré parfait s il possède les caractéristiques suivantes: - a et c sont des carrés - b est le double produit des bases de ces carrés Pour factoriser un trinôme carré parfait: - On vérifie si le trinôme possède les caractéristique d un carré parfait - On détermine si les facteurs sont des sommes ou des différences selon le signe du terme médian - On détermine les bases des carrés - On écrit directement le carré du binôme Exemple #1: x²+4x+4 - x et sont les bases des carrés - Le signe du terme médian est positif, les facteurs sont des sommes Exemple #: 9x²-4xy+16y² Exemple #3: 4x²+36x+81 Exemple #4: 49x²-14x+1 x²+4x+4 = (x+)² - 3x et 4y sont les bases des carés - Le signe du terme médian est négatif, les facteurs sont des différences 9x²-4xy+16y² = (3x-4y)² Exercices: Feuille: Factorisation trinômes carrés parfaits page 196 #3,6,7 et 8 Emmanuel Duran La factorisation page6

7 1.6 Complétion du trinôme carré parfait Certains trinômes sont très facilement décomposables, d autres le sont difficilement et d autres ne le sont pas du tout. Pour venir à bout de trinômes récalcitrants, les anciens utilisaient une technique, encore utile aujourd hui, appelée la complétion de carré. (on connaissait la méthode AVJC) Exemple le trinôme 18x 4x+ 1 est factorisable car = 504cependant on ne peut trouver deux nombre dont S=-4 et P=18. Il faut dons utiliser la méthode de la complétion de carré. Pour factoriser un trinôme de la forme ax²+bx+c par la technique de la complétion de carré: - On place a, le coefficient de x², en évidence. - On ajoute et on retranche la quantité nécessaire pour obtenir un trinôme carré b parfait. Cette quantité est 4 - On l écrit sous la forme d une différence de carrés. - On factorise. Exemple #1: x x x + x x x ( x + x+ 1) ( x + x+ 1) 196 ( x ) ( x )( x+ 1 14) ( x+ 15)( x 13) Des tablettes d argile remontant aussi loin qu au roi babylonien Hammurabi (vers -1700) laissent croire que déjà, à cette époque, on connaissait la méthode de complétion de carré. Emmanuel Duran La factorisation page7

8 Exemple #: x 4x+ 54 ( x 1x+ 7) ( x 1x + + 7) 4 4 ( x 1x ) ( x x ) ( x ) 6 3 ( x + ) ( x ) ( x ) ( x ) Emmanuel Duran La factorisation page8

9 Exemple #3: 3x 8x+ 5 3 x 3 x 8 5 x x x x x + x ( x 1) x 3 ( x 1)( 3x 5) Exercices: page 0 # 7,8,9,11,1,13,3 page 07 capsule Feuille Factorisation: Trinômes carrés parfaits Emmanuel Duran La factorisation page9

10 Exemple #4: Factorisation du trinôme ax + bx+ c par la méthode de complétion de carré ax + bx+ c b c a x + x+ a a b b b c a x + x + + a 4a 4a a b b 4ac a x+ a 4a b b 4ac b b 4ac a x+ + x+ a 4a a 4a b b 4ac b b 4ac a x+ + x+ a a a a b+ b 4ac b b 4ac a x+ x + a a Programme pour la calculatrice graphique Emmanuel Duran La factorisation page10