Autour des points de Lagrange

Transcription

1 Autour des points de Lagrange Un exemple de thème traité en séance d informatique CPGE MP 2 ème année Christophe Lagoute Professeur de Physique Lycée Bellevue

2 Séances d informatique Familiarisation avec un logiciel de calcul scientifique Durée 2 h MAPLE très utilisé en CPGE

3 Intérêt du thème Contenu physique Mise en œuvre du calcul formel (MAPLE) Mise en œuvre du calcul numérique Outils mathématiques adaptés à la filière MP Ouverture sur les systèmes dynamiques Pré-requis requis de 1ere année Culture générale scientifique Objet de problèmes de concours

4 Que sont les points de Lagrange? Des positions d équilibre du problème des 3 corps «restreint» Des lieux «intéressants» 1. Pour l astrophysique du système solaire 2. Pour la navigation des sondes spatiales Une source d inspiration pour la littérature de science-fiction

5 Pré-requis requis Mécanique du point matériel - 3 lois de Newton - Energétique - Recherche de points d équilibre Loi de la gravitation universelle Problème à deux corps

6 Les objectifs pédagogiques Recherche des points de Lagrange Méthode des perturbations Utilisation appropriée du calcul symbolique Intégration numérique Modes d oscillation Mise en évidence des effets non linéaires Prolongations : Code à N-corps Système chaotique de Sitnikov

7 Episode I Approche théorique Calcul formel

8 Sur la dynamique gravitationnelle L interaction gravitationnelle est la seule des 4 interactions fondamentales à agir à l échelle astronomique => les équations de la dynamique gravitationnelle sont non linéaires

9 Construction du système

10 Restrictions du problème R* galiléen : A 1, A 2 et A 3 dans le plan z=0 m 3 <<m 1 et m 3 <<m 2 A 1 et A 2 en orbites circulaires

11 Etude préliminaire du système A 1, A 2 Résultats de première année : R* * => m 1 R 1 = m 2 R 2 Réduction du problème à deux corps Cas du mouvement circulaire R 3 ω 2 = G(m 1 +m 2 )

12

13 Comment obtenir les points d équilibre de A 3? Réponse systématique des étudiants : On examine la surface de potentiel Ф g (A 3 ), à la recherche d extremumsd

14

15 On trouve un col Coïncide-t-il il avec le centre de masse? non

16 On trouve un col Le point trouvé est animé d un mouvement de rotation uniforme Peut-on envisager que A 3 suive cette trajectoire? l accélération normale étant nulle : non

17

18 Dans R*le potentiel dépend du temps Les étudiants réalisent que la difficulté de l analyse est due à la dépendance temporelle du potentiel dans * : du potentiel dans R* : Ф = Ф(t,A 3 ) Existe-t-il il un meilleur référentiel r rentiel?

19 Le référentiel «tournant» R Ф = Ф (A 3 )

20 Les forces d inertie dans R Inertie de Coriolis (puissance nulle) Inertie d entraînement (force centrifuge) Ф = Ф (A 3 )

21

22

23 Position des points de Lagrange Infaisable pour un élève de MP dans un temps raisonnable Le calcul formel prend la relève!

24

25 Position des points de Lagrange A 1, A 2 et L 4 forment un triangle équilatéral

26

27 Stabilité de L 4 et L 5 Question des étudiants : Pourquoi étudier la stabilité, puisque L 4 et L 5 sont des maximums? Réponse du professeur : Parce que vous oubliez la force de Coriolis Comment étudier la stabilité d un point d équilibre en présence d une force qui ne dérive pas d une énergie potentielle?

28 Méthode des perturbations On étudie le mouvement de A 3 au voisinage du point d équilibre (L 4 ) On écrit la 2 ème loi de Newton au voisinage de L 4 : => on linéarise en x(t) et y(t) Avec l aide du calcul formel

29

30 Méthode des perturbations On obtient un système linéaire d équations différentielles : avec : La solution s écrit :

31 Méthode des perturbations La stabilité est garantie s il n y a pas de divergence de la solution => pas de valeur propre à partie réelle strictement positive

32 Stabilité de L 4 et L 5 La condition nécessaire et suffisante de stabilité s écrit :

33 Conclusion de l épisode I Revisite de la mécanique de 1ère année Grapheur permet de découvrir les 5 points de Lagrange Le calcul formel donne rapidement : La configuration en triangle équilatéral A 1,A 2,L 4 La condition de stabilité de L 4 et L 5

34 Episode II Trajectoires Calcul numérique

35 Les équations du mouvement La 2ème loi de Newton donne :

36 Intégration numérique Méthode de Runge-Kutta au 4ème ordre Au voisinage de L 4 :

37 Intégration numérique La force de Coriolis confine A 3 autour de L 4 Pourquoi une telle trajectoire?

38 Intégration numérique

39 Analyse de x(t) Pour interpréter x(t), les étudiants proposent une analyse spectrale :

40 Contenu spectral de x(t) La résolution des équations linéarisées a introduit 4 valeurs propres opposées deux à deux : ±0,088 j et ±0,135 j => On les retrouve dans le spectre

41 Contenu spectral de x(t) Autre interprétation : Equations de deux oscillateurs couplés : => Il existe deux modes propres

42 Description de la trajectoire Au voisinage de L 4 le mouvement s écrit : C est une ellipse de Lissajous, dont le centre est mobile sur une autre ellipse de Lissajous Evocation de la théorie des épicycles des anciens grecs

43 Description de la trajectoire La trajectoire reste confinée autour de L 4 dans une zone dont la dimension est de l ordre de grandeur de la perturbation

44 Précision sur la notion de stabilité L équilibre d un système est stable si, suite à une perturbation, le système retourne à cet équilibre ou si le mouvement engendré reste faible et confiné autour de cet équilibre

45 Au-delà de L 4 Que se passe-t-il si l on s écarte encore un peu plus de L 4?

46

47 Encore plus loin de L 4 On passe progressivement d un système linéaire à un système non linéaire L enrichissement spectral est la signature des effets non linéaires Si l on s écarte encore plus de L 4?

48

49 Conclusion de l épisode II Le mouvement présente deux fréquences caractéristiques La trajectoire ressemble à une épicycle Un équilibre est stable en cas de confinement de faible amplitude Les effets non linéaires produisent un enrichissement spectral

50 Poursuite du thème (pour les 5/2) Episodes III et IV Développement d un code 3-corps 3 non restreint, puis N-corps Etude d un système chaotique à 3 corps : le système de Sitnikov A 3 A 2 C A 1

51