( ) 3 La factorisation 3.1 mise en évidence simple (révision)

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Mireille Bénard
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1 3 La factorisation 3.1 mise en évidence simple (révision) Procédé qui permet de factoriser un polynôme en mettant en évidence un facteur commun à tous les termes. Exemples : ( ) a x + x x x x + x ) )5 10 5( ) ) ( + 3 ) 3 3 ) ( ) )( + ) + 5( + ) ( + )( + 5) ) ( 3) + ( + 1)( 3) + ( 3)( + 3) ( x 3)( x 3) + ( x + 1)( x 3) + ( x 3)( x + 3) ( x 3) ( x 3) + ( x + 1) + ( x + 3) ( x 3)( 4x + 1) )( 1) 3( 1 x ) x ( x 1) + 3( 1+ x ) x ( x 1) + 3( x 1) ( x 1)( x + 3) )( + 1)( + 6) ( )( 3 + 9) ( x + 1) ( x + 3) ( x ) 3( x + 3) ( x + 3) ( x 1) 3( x ) + ( x + 3) x + 3x + 6 ( x + 3)( x + 8) )3 ( 4)( + 1) + 6x 8x + ( 3x 4)( x 3) ( 3x 4)( x + 1) + x ( 3x 4) + ( 3x 4)( x 3) ( 3x 4) ( x 1) x ( x 3) ( 3x 4)( 4x ) ( 3x 4) ( x 1) ( 3x 4)( x 1) b x x c a b ab ab a b d x y z x y z x y z x y z x yz z e x x x x x f x x x x x g x x h x x x x i x x

2 3. La mise en évidence double Procédé qui permet de factoriser un polynôme en deux étapes. La première étape consiste à effectuer une simple mise en évidence sur des groupes de termes du polynôme de façon à faire ressortir un binôme commun à tous les termes. La deuxième étape consiste à mettre en évidence le binôme commun afin d'obtenir un produit de facteurs. Exemples : 3 a )9 x 1xy + 6xy 8y ( ) ( ) 3x 3x 4y + y 3x 4y ( 3x 4y )( 3x + y ) b a a + ab b ) a ( a 5) b ( a 5) ( a 5)( 3a + b ) + c )6 ax 3ay + 10bx 5by 4x + y 3a ( x y ) 5b ( x y ) ( x y ) ( x y )( 3a + 5b ) +

3 3.3 La différence de carrés Une différence de deux carrés est une expression algébrique de la forme: a b Toute différence de deux carrés est factorisable. Il suffit d'appliquer l'identité remarquable: Exemples : a )9 x 4y b ( 3x + y )( 3x y ) )36 x 5 ( 6x + 5 )( 6x 5 ) ( x + ) (( x + 1) + 5) (( x + 1) 5) ( x + 6)( x 4) ( x + 3) ( x ) 4( x + 3)( x ) ( + ) ( + ) ( ) ( ) ( 5x + 6) ( x + 4) c ) 1 5 d )3 x 5 x 1 3x ( x + 1) 3x + 5 ( x + 1) e ) x y z xy + z xy + z ( a + b )( a b )

4 3.4 Factorisation d'un trinôme par la méthode de la somme et du produit Avant de factoriser un trinôme de la forme ax²+bx+c on calcule son discriminant : b 4ac Si 0 le trinôme ne peut pas se factoriser Si 0le trinôme est factorisable en utilisant la règle suivante : Exemple #1 - Faire une simple mise en évidence (sur tous les termes) si possible - Chercher deux nombres entiers m et n tel que : - Remplacer Leur somme Sb Leur produit Pa.c ax + bx + c par ax + mx + nx + c - Factoriser le polynôme par mise en évidence double x x pas factorisable La recherche de deux nombres satisfaisant à la fois une somme et un produit donnés remonte probablement aussi loin que le III ème siècle A.V.J.C. On retrouve la résolution de ce problème dans les écrits d Euclide et de Diophante. Exemple # x x factorisable On cherche deux entiers m et n tel que : S et P On trouve m4 et n- x x x x x (en remplaçant bx par mx+nx) x( x + 4) ( x + 4) (mise en évidence double) ( x + 4)( x )

5 Exemple #3 x + 15x factorisable On cherche deux entiers m et n tel que : S15 et P.714 On trouve m1 et n14 x 15x x 1x 14x (en remplaçant bx par mx+nx) x(x + 1) + 7( x + 1) (mise en évidence double) (x + 1)( x + 7) Exemple #4 10x 3x 18 ( 3) factorisable Attention On cherche deux entiers m et n tel que : S-3 et P On trouve m-15 et n1 b ( 3) et non b 3 10x 3x 18 10x 15x 1x 18 + (en remplaçant bx par mx+nx) 5 x(x 3) + 6( x 3) (mise en évidence double) (x 3)(5 x + 6)

6 On peut utiliser la calculatrice graphique pour trouver les entiers m et n 1) Appuyer sur c et ouvrir une page graphique ) Entrer la fonction f(x)produit/x 3) Appuyer sur la touche Ctrl et sur la touche T pour obtenir la table de valeurs

7 Exemple # x xy y Attention ce trinôme présente deux variables mais la procédure reste la même factorisable On cherche deux entiers m et n tel que : S4 et P On trouve m6 et n x xy y (en remplaçant bx par mx+nx) x xy xy y x( x + 6 y ) y( x + 6 y ) (mise en évidence double) ( x y )( x + 6 y )

8 3.5 Trinôme carré parfait Un trinôme de la forme ax²+bx+c est un carré parfait s il possède les caractéristiques suivantes: - a et c sont des carrés - b est le double produit des bases de ces carrés Pour factoriser un trinôme carré parfait: - On vérifie si le trinôme possède les caractéristiques d un carré parfait - On détermine si les facteurs sont des sommes ou des différences selon le signe du terme médian - On détermine les bases des carrés - On écrit directement le carré du binôme Exemple #1: x + 4x x et sont les bases des carrés - Le signe du terme médian est positif, les facteurs sont des sommes x + 4x + 4 ( x + ) Exemple #: x xy y - 3x et 4y sont les bases des carrés - Le signe du terme médian est négatif, les facteurs sont des différences + 9x 4xy 16 y (3 x 4 y ) Exemple #3: 4x + 36x + 81 (x + 9) Exemple #4: 49x 14x + 1 (7x 1) Exemple #5 : x + 6x 9 (1 x 6x + 9) (1 x 3) Attention : Dans un carré parfait seul le terme médian peut être négatif

9 3.6 Complétion du trinôme carré parfait Certains trinômes sont très facilement décomposables, d autres le sont difficilement et d autres ne le sont pas du tout. Pour venir à bout de trinômes récalcitrants, les anciens utilisaient une technique, encore utile aujourd hui, appelée la complétion de carré. (on connaissait la méthode AVJC) Exemple le trinôme 18x 4x + 1 est factorisable car 504 cependant on ne peut trouver deux nombre dont S-4 et P18. Il faut donc utiliser la méthode de la complétion de carré. Pour factoriser un trinôme de la forme ax²+bx+c par la technique de la complétion de carré: - On place a, le coefficient de x², en évidence. - On ajoute et on retranche la quantité nécessaire pour obtenir un trinôme carré b parfait. Cette quantité est 4 - On l écrit sous la forme d une différence de carrés. - On factorise. Exemple #1 : x + x -195 x + x ( x 1)-196 ( x + 1)-14 ( x 1) 14 )( ( x 1)-14 ) ( x 15)( x 13) Des tablettes d argile remontant aussi loin qu au roi babylonien Hammurabi (vers -1700) laissent croire que déjà, à cette époque, on connaissait la méthode de complétion de carré.

10 Exemple # : x 4x 54 ( x x ) ( x x ) (( x ) ) (( x ) ) (( x )( x )) ( x )( x 9) Exemple #4 : x x x x x x x x x + x x + x 3 + ( 3x )( x 3) Exemple #3 : 3x 8x x x x x x x x + x ( x 1) x 3 ( x 1)( 3x 5)

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